双序列动态规划

双序列动态规划

状态定义

往往是\(f[n][m]\)的二维状态，\(n,m\)为两个序列的长度

状态转移

往往是与\(f[i][j-1]\),\(f[i-1][j]\),\(f[i-1][j-1]\)有关

例

P1140

\(f[i][j]\)表示A串\([0,i]\)匹配B串\([0,j]\)所得最大价值

正解

\(f[i][j]=max(f[i][j-1]+table[b[j]]['-'],f[i-1][j]+table[a[i]]['-'],f[i-1][j-1]+table[a[i]][b[j]])\)

暴力

若\(b[j]\)与A串匹配\(f[i][j]=max(f[k-1][j-1]+table[a[k]][b[j]]+sum[i]-sum[k])\)

否则与空串\(f[i][j]=f[i][j-1]+table[b[j]]['-']\)

其中\(sum[i]\)表示A串与空串匹配价值的前缀和

求解目标\(f[n][m]\)

for(int i=1;i<=n;i++){
	sum[i]=sum[i-1]+t[g(a[i])][g('-')];
}
f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
	f[0][i]=f[0][i-1]+t[g(b[i])][g('-')];
	f[i][0]=f[i-1][0]+t[g(a[i])][g('-')];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		/*
		f[i][j]=f[i][j-1]+t[g(b[j])][g('-')];
		for(int k=i;k;k--){
			f[i][j]=max(f[i][j],f[k-1][j-1]+t[g(a[k])][g(b[j])]+sum[i]-sum[k]);
		}
		*/
		f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+t[g(a[i])][g(b[j])],max(f[i-1][j]+t[g(a[i])][g('-')],f[i][j-1]+t[g(b[j])][g('-')]));
	}
}

P1439

\(f[i][j]\)表示A串\([0,i]\)和B串\([0,j]\)的最长公共子序列的长度

如果\(a[i]==b[j],f[i][j]=f[i-1][j-1]+1\)

否则\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])\)

求解目标\(f[n][m]\)

P2758

\(f[i][j]\)表示将A串\([0,i]\)转化为B串\([0,j]\)的最小代价

如果\(a[i]==b[j],f[i][j]=f[i-1][j-1]\)

否则\(f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][j],f[i-1][j-1])+1\)

求解目标\(f[n][m]\)

for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0]=i;
for(int i=0;i<=m;i++)f[0][i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+1);
		f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+1);
		f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
		if(a[i]==b[j])f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]);
	}
}

P2679

\(f[i][j][k]\)表示从A串\([0,i]\)中取出k个不重叠子串顺次连接，所形成的新字符串与B串\([0,j]\)相等

若不选\(a[i]\)，\(f[i][j][k]=f[i-1][j][k]\)

若选\(a[i]\),\(f[i][j][k]=Sum(f[i-t][j-t][k-1])\)

所以\(f[i][j][k]=f[i-1][j][k]+Sum(f[i-t][j-t][k-1])\)

优化:

令\(sum[i][j][k]=Sum(f[i-t][j-t][k-1])\)

显然，若\(a[i]==b[j]\),\(sum[i][j][k]=sum[i-1][j-1][k]+f[i-1][j-1][k-1]\)

否则\(sum[i][j][k]=0\)

省略第一维

求解目标\(f[m][K]\)

注意取模

for(int i=0;i<=n;i++){
	f[0][0]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=m;j>=1;j--){
		for(int k=K;k>=1;k--){
			if(a[i]==b[j])sum[j][k]=(sum[j-1][k]+f[j-1][k-1])%mod;
			else sum[j][k]=0;
			f[j][k]=(f[j][k]+sum[j][k])%mod;
		}
	}
}

acwing30

\(f[i][j]\)表示A串\([i,n]\)和B串\([j,m]\)是否匹配

如果b[j]为正常字符或\(.\)，\(f[i][j]=f[i+1][j+1]\)

如果为\(*\)

复制\(0\)个，\(f[i][j]=f[i][j+2]\)

否则，\(f[i][j]=f[i+1][j]\)

初始化\(f[n][m]=1\)

求解目标\(f[0][0]\)

class Solution {
public:
    vector<vector<int> >f;
    int n,m;
    bool isMatch(string s, string p) {
        n=s.length(),m=p.length();
        f=vector<vector<int> >(n+1,vector<int>(m+1,-1));
        f[n][m]=1;
        return dp(0,0,s,p);
    }
    int dp(int i,int j,string &s,string &p){
        if(f[i][j]!=-1)return f[i][j];
        if(j==m){
            return f[i][j]=(i==n);
        }
        bool mat=(i<n&&(s[i]==p[j]||p[j]=='.'));
        bool ans=0;
        if(j+1<m&&p[j+1]=='*'){
            ans=dp(i,j+2,s,p)||(mat&&dp(i+1,j,s,p));
        }else{
            ans=mat&&dp(i+1,j+1,s,p);
        }
        return f[i][j]=ans;
    }
};