Tarjan（连通性相关）笔记

概念有点多

点（vertex）、边（edge）

无向图中

若图中存在两点可以到达，则称这两个点是 连通的（connected）

若图中任意两点都连通，则称该无向图为 连通图（connected graph）

若图 \(G\) 中存在一个连通子图 \(H\)（\(H\subseteq G\)），没有严格更大的连通子图 \(I\) 使 \(H \varsubsetneqq I\)，则称 \(H\) 为 \(G\) 的 连通分量（connected component）（极大连通子图）

若图中删去某一条边，会使这个连通图分裂成两个不相连的子图，则称这条边为 桥 / 割边，类似地，若删去某一个点（以及与它相连的边），使所在的连通图分裂，则称这个点为割点

（有割点不一定有桥，有桥不一定有割点）

若图中不存在割边，则称该图为边双连通图（edge double connected graph）

若图中不存在割点，则称该图为点双连通图（vertex double connected graph）

无向图的极大边双连通子图称为 边双连通分量（edge double connected component，e-DCC）

无向图的极大点双连通子图称为 点双连通分量（vertex double connected component，v-DCC）

有向图中

若图中存在单向路径 u -> v，则称 u 可达 v

若图中任意两点都互相可达，则称该有向图为 强连通图（strongly connected graph）

若不强连通的有向图把有向边变为无向边的无向图为连通图，则称该图为弱连通图（weakly connected graph）

与无向图的连通分量类似，有 强连通分量（strongly connected component，SCC）（极大强连通子图）、弱连通分量（weakly connected component）（极大弱连通子图）

dfs 搜索一个有向图 \(G\)，产生一颗搜索树，对于 \(G\) 中的边有分类：

树枝边（tree edge），在搜索树中就有的边，即搜索过程经过的边
反祖边（back edge），指向祖先的边
前向边（forword edge），指向子树的边（实际上没屁用的概念 qwq，因为显然这种边放到搜索树中不可能形成环）
横叉边（cross edge），右子树的点指向左子树的点的边（左子树指向未访问过的右子树，实际上就是一条树枝边）

强连通分量 scc

若一个点在一个 scc 中，则它一定在一个环路中，若搜索树中要形成环，只有两种情况

一是直接有返祖边
二是经过横叉边，再向上经过反祖边

引入两个变量：

dfn[u] 表示 u 的时间戳；low[u] 表示从 u 开始往下走，能达到的最小时间戳

判定：low[u] = dfn[u]，

此时该点是所属 scc 的“最高点”，因为若还能往上走形成更大的环，则一定有 low[u] < dfn[u]

在这里也说明，在 dfs 时，我们一定要更新的是 low，避免 scc 的节点提前被判定（单个点是显然成立的）

时间复杂度 \(O(n + m)\)

code

void tarjan(int u)
{
	low[u] = dfn[u] = ++ idx;
	in_stk[u] = true;
	stk.push(u);
	
	for (re i = h[u]; i; i = e[i].next)
	{
		int v = e[i].to;
		
		if (!dfn[v]) // tree edge
		{
			tarjan(v);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
		}
		else if (in_stk[v]) // back edge / cross edge
			low[u] = min(low[u], low[v]);
	}
	
	if (low[u] == dfn[u])
	{
		int ver;
		do
		{
			ver = stk.top();
			stk.pop();
			in_stk[ver] = false;
			
			... // id / size ...
			
		}while (ver != u); // （先执行再判断）多执行一次，方便将 u 也一同弹出
		cnt ++; 
	}
}

scc 缩点

因为每个 scc 里的点都是可以互相到达的，所以很多时候都可以把环看成一个点

发现一般的有向图缩点后，会形成 DAG，在 DAG 上就可以进行很多别的操作啦

想要实现缩点也很 easy

只要再遍历一遍所有点以及它的邻点，若两点分属不同的 scc，则将两 scc 的 id 连一条边即可。

还有 DAG 上求拓扑序的问题，有一个结论：scc 的递减 id 序列就是 DAG 的拓扑序

简单理解一下就是，从上往下递归，到叶子节点赋予小的 scc id，往上回溯时 scc id 变大。

割边/桥 -> 边双连通分量 e-DCC

有性质：e-DCC 中的任意两点都存在有两条没有公共边的路径

要求 e-DCC，也就是把图中的割边求出来，剩下的连通块就是 e-DCC

那么，对于一条边 x -> y，若它是桥，则，桥判定：dfn[x] < low[y]

感性理解一下就是，y 这个点，除了 x -> y 这条边，没有别的边可以让 low[y] 变得更小了，也就是桥，那么 y 所在的子树也就是 e-DCC

注意：在跑无向图构成的搜索树中，显然是没有横叉边和返祖边的存在的

求完桥，dfs 搜一遍即可。

tip：对于无向图，用边的编号判重边，用 ^1 时，链式前向星存图边计数器 idx 初始化 idx = 1，这样存双向边就能 2, 3 4, 5 ..... 成对编号

code 1

void tarjan(int u, int id)
{
	low[u] = dfn[u] = ++ idx;
	
	for (re i = h[u]; i; i = e[i].next)
	{
    	int v = e[i].to;
		
		if (!dfn[v])
		{
			tarjan(v, i);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (dfn[u] < low[v])
				bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true;
		}
		else if (i != (id ^ 1))
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
}

void dfs(int u)
{
	edcc[u] = cnt;
	for (re i = h[u]; i; i = e[i].next)
	{
		int v = e[i].to;
		if (edcc[v] || bridge[i]) continue;
		dfs(v);
	}
}

同时，还有一种方法，其实在构成搜索树时，我们就把这个无向图看成了有向图，每条边至多访问一遍，被抽象为有向图的无向图中的一个强连通分量，在原图中是一定一个边双联通分量。那么可以仿照求 scc 的思路求 e-dcc

code 2

void tarjan(int u, int id)
{
	low[u] = dfn[u] = ++ idx;
	stk.push(u);
	
	for (re i = h[u]; i; i = e[i].next)
	{
		int v = e[i].to;
		
		if (!dfn[v])
		{
			tarjan(v, i);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
		}
		else if (i != (id ^ 1))
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
	if (dfn[u] == low[u])
	{
		...
	}
}

e-DCC 缩点

我们在求 e-DCC 时，标记了割边的编号

那么缩点就很容易了，只需便利一遍所有边，若为割边，则对连点所在的 e-DCC 连边

可以发现，缩完点后，图中只剩下割边，也就是形成了一棵树或森林

割点 -> 点双连通分量 v-DCC

对于图中某个点 x 及其儿子 y， 割点判定：

若 \(x\not = root\)，\(dfn[x] \leq low[y]\)
若 \(x = root\)，则应至少存在两组 \(y_1,y_2\)，使 \(dfn[x] \leq low[y_1],~low[y_2]\)

因为在搜索树中，非根节点（且有儿子，非叶子节点）一定至少有两条边连着它，而根节点不一定有多个儿子节点。

tip：注意，这里求割点，对于已访问的入点，必须 low[u] = min(low[u], dfn[v])，而不能用入点的 low[v] 更新，因为如果出现了入点已访问过，那么说明出现了环，而注意到我们的判定 \(dfn[x] \leq low[y]\) 的实际含义是入点在 不经过出点 的情况下，不能绕行其他节点到达更早访问的点，则可以判定出点为割点。

所以若用 low[v] 更新，则代表 穿过出点，不合法。

求割点 code

void tarjan(int u) // 每次传入 u = root
{
	low[u] = dfn[u] = ++ idx;
	int cnt = 0;
	
	for (re i = h[u]; i; i = e[i].next)
	{
		int v = e[i].to;
		
		if (!dfn[v])
		{
			tarjan(v);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (dfn[u] <= low[v])
			{
				cnt ++;
				if (u != root || cnt > 1) cut[u] = true;
 			}
		}
		else 
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
}

求 v-dcc code

void tarjan(int u)
{
	low[u] = dfn[u] = ++ idx;
	stk.push(u);
//	int kid = 0;
	
	if (u == root && h[u] == 0)
	{
		vdcc[++ cnt].push_back(u);
		return;
	}
	
	for (re i = h[u]; i; i = e[i].next)
	{
		int v = e[i].to;
		
		if (!dfn[v])
		{
			tarjan(v);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (dfn[u] <= low[v])
			{
//				kid ++;
//				if (u != root || kid > 1) cut[u] = true;	
				cnt ++;
				int ver;
				do
				{
					ver = stk.top(); stk.pop();
					vdcc[cnt].push_back(ver);
				}while (ver != v); // 注意这里是个易错点，不要打成 ver != u
				vdcc[cnt].push_back(u);
 			}
		}
		else 
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
}

v-DCC 缩点

对割点裂点。

所以，我们其实可以得到一颗节点数为点双数 + 割点数的树或森林，

考虑遍历整个图，对于每个 v-DCC，把它与它包含的割点连边即可。

最后，如果一道题需要无向图缩点，而并不好确定是点双缩点还是边双缩点，注意：

边双是定义在点上的，即每个点只属于一个边双；点双是定义在边上的，即每条边只属于一个点双

圆方树

这里我讨论的仅仅是用于处理一般图的广义圆方树，仙人掌？是什么，能吃吗 qwq

圆方树，可以说是一种思想，这里我看到主要是用来处理 有环无向图的必经点问题

首先，两点的必经点在无向图上，也就是割点，所以，圆方树就是定义在点双上的

具体地，把原图中的点叫作圆点，而对于每一个点双，我们可以增加一个代表点，叫做方点，

将图重新构造，令所有圆点都连向所在点双（可能多个）的方点上，可以构造出一颗树！而这颗树与原无向图是等价的，圆点维护原来点上的信息，而方点则可以维护该点双上的信息

有树就非常好了

这样要做必经点的问题，就相当于是求给定两点在圆方树上的简单路径上的圆点数量呗，lca 乱搞 ok

练习：

P3854 [TJOI2008] 通讯网破坏
 P4320 道路相遇
 P5058 [ZJOI2004] 嗅探器
 P4606 [SDOI2018] 战略游戏（由两点拓展为 k 个点，可以用虚树做，但我不会，当然也可以维护一个 dfn 序做）

posted @ 2024-07-25 12:20 Zhang_Wenjie 阅读(56) 评论(0) 收藏举报

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昔日龌龊不足夸，来日放荡思无涯。春风得意马蹄疾，一日看尽长安花。

Tarjan（连通性相关）笔记

概念有点多

强连通分量 scc

scc 缩点

割边/桥 -> 边双连通分量 e-DCC

e-DCC 缩点

割点 -> 点双连通分量 v-DCC

v-DCC 缩点

圆方树

公告

$\large{\cal{ZhangWenjie}}$

昔日龌龊不足夸，来日放荡思无涯。 春风得意马蹄疾，一日看尽长安花。

Tarjan（连通性相关） 笔记

概念有点多

强连通分量 scc

scc 缩点

割边/桥 -> 边双连通分量 e-DCC

e-DCC 缩点

割点 -> 点双连通分量 v-DCC

v-DCC 缩点

圆方树

公告

昔日龌龊不足夸，来日放荡思无涯。春风得意马蹄疾，一日看尽长安花。

Tarjan（连通性相关）笔记