算法第二章上机实验报告

1、实践题目名称

7-1 最大子列和问题

2、问题描述

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

• 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
• 数据2：102个随机整数；
• 数据3：103个随机整数；
• 数据4：104个随机整数；
• 数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6

-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20

3、算法描述

int DivideAndConquer ( int List[], int left, int right ) {
int MaxLeftSum, MaxRightSum;    //存放左右子问题的解。
int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;    //存放跨分界线的结果。

int LeftBorderSum, RightBorderSum;
int center, i;

    /*递归的终止条件，子列只有1个数字*/
if ( left == right ) {
        if ( List[left] > 0 ) return List[left];
        else return 0;
}
    /* “分”的过程 */

center = ( left + right ) / 2;    //找到中分点。
MaxLeftSum = DivideAndConquer ( List, left, center );    //递归求左子列和。
MaxRightSum = DivideAndConquer ( List, center+1, right );    //递归求右子列和。

    /*求跨分界线的最大子列和*/ MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
        for ( i = center; i >= left; i-- ) {
              LeftBorderSum += List[i];
             if ( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
              MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
}//左边扫描结束。

MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
         for ( i = center+1; i <= right; i++ ) {
                RightBorderSum += List[i];
                if ( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
                MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
}//右边扫描结束。

    /*返回“治”的结果*/
return Max3 ( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}
/*此函数用于保持接口相同*/
int MaxSubseqSum ( int List[], int N ) {
return DivideAndConquer ( List, 0, N-1 );
}

 

 

4、算法时间及空间复杂度分析（要有分析过程）

一开始用的暴力算法：

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
int k,sum=0,max=0;
cin>>k;
int a[k];
for(int i=1;i<=k;i++)
{cin>>a[i];
sum=sum+a[i];
if(sum>max) max=sum;
else if(sum<0) sum=0;
}
cout<<max;
}

这个暴力算法既简便又易懂，但为了更理解分治法，后来还是用了分治法来做题。

n<=c时，T(n)=(1)

n>c时T（n)=2T(n/2)+O(n)

分治法的时间复杂度为O(nlogn)。空间复杂度O（n），用于存储输入的数据。

 

 

5、心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

暴力发易懂简洁，单时间复杂度、空间复杂度较大，计算更大量的数据时会运行的很慢。在运行数据很大的时候需要学聪明点，尽量选时间复杂度较低的算法。分治法，是将大问题拆分成许多个小问题，而不是像我一开始那样将问题之分成两步，想法过于简单。