LeetCode 730. Count Different Palindromic Subsequences (区间DP)
题意
给一个字符串S，求它所有子序列中不同非空回文串的数量。字符串由 'a' 'b' 'c' 'd' 四个字母组成。
由于题目要求的是不同回文串。 abba 的回文串子序列为 a，b，aba，abba 其中 aba 只能算一次。
最近做 区间DP 的题，习惯起手写
for (int l = 0; l < n; l++) { for (int s = 0; s + l < n; s++) { int e = s + l; ..... } }
外层枚举区间长度，内层枚举区间起始位置。
设 dp[i][j] 表示 S[i...j] 子序列中包含的回文串的数量。
解法1、枚举回文串第一个字母
设回文串第一个字母是 a 则最后一个字母也要是 a 然后找到在区间 [s,t] 中第一个和最后一个 a 的位置 x 和 y ，则，首字母为 a 的回文串个数为 dp[x-1][y+1]
因为，如果使用的不是两边的 a 而是内部的 a 作为边界，能发现内部 a 做边界组成的回文串 两边的 a 做边界时都组成。
最后再用两边的 a 组成 aa 以及 单个 a。当范围内只存在一个 a 时，则能贡献的子串只有 1 个。
很难受的是直接递推超时了，递归才勉强能过。。。
class Solution { public: int countPalindromicSubsequences(string S) { // dp[i][j] 表示 s[i...j] 包含的子序列个数 int n = S.size(); vector<vector<int>> pos(4, vector<int>()); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0)); for (int i = 0; i < n; i++) { pos[S[i] - 'a'].push_back(i); } return dfs(S, pos, dp, 0, n - 1); } int dfs(string &S, vector<vector<int>> &pos, vector<vector<int>> &dp, int s, int t) { if (s + 1 >= t) return t - s + 1; if (dp[s][t]) return dp[s][t]; int ans = 0; for (int i = 0; i < 4; i++) { if (pos[i].empty()) continue; auto first_pos = lower_bound(pos[i].begin(), pos[i].end(), s); auto end_pos = upper_bound(pos[i].begin(), pos[i].end(), t) - 1; if (first_pos == pos[i].end() || *first_pos > t) continue; int f = *first_pos, e = *end_pos; ans = (ans + 1) % 1000000007; if (f != e) ans = (ans + 1) % 1000000007; if (f + 1 < e) { ans = (ans + dfs(S, pos, dp, f + 1, e - 1)) % 1000000007; } } return dp[s][t] = ans; } };
求 S[s..e] 的回文串数
当 S[s] != S[e] 时，可得公式
dp[s][e] = dp[s+1][e] + dp[s][e-1] - dp[s+1][e-1];
即 （包含s + 两边都不含的） 和 （包含e+ 两边都不含的）- 两边都不含的
当 S[s] == S[e] 时 还用上面的公式会出现重复。
比如 aaa ，计算 dp[0][2] 时 ，dp[0][1] 包含 (aa) 和 dp[1][2] 包含的 aa 重复但是没有被减去。
而如果想要减去重复部分，就要找到和边界位置相同的字母。假设边界字母是 a，
当没有和边界位置相同的字母， dp[s][e] = dp[s+1][e-1]（两边都不含的）+ dp[s+1][e-1]（两边都不含的 + 两边的字母）+ 1 （两边的字母组成 aa） + 1 （单个首字母 a）
当存在和边界位置相同的字母，且只有一个，dp[s][e] = dp[s+1][e-1]（两边都不含的）+ dp[s+1][e-1]（两边都不含的 + 两边的字母）+ 1 （两边的字母组成 aa）
当存在和边界位置相同的字母，且有多个（2个及以上） 中间的组成的，可能会和中间的a加上边界之后重复，比如 a(aaa)a 中间组成a aa aaa 加上两边的a 就变成了 aaa aaaa aaaaa 那么 aaa就重复计算了，找到除了边界的两个a，最外层的两个a，设位置是 low 和 high 那么，dp[low+1][high-1] 中所有子序列和low high 组成的回文串与和s e 组成的回文串都会重复。所以要减去dp[low+1][high-1]。dp[s][e] = dp[s+1][e-1] * 2 - dp[low + 1][high - 1];
其实我也不是很懂。。。。瞎写的。。。真的好难啊。。。。
class Solution { public: int countPalindromicSubsequences(string S) { int n = S.size(); int dp[n][n]; int mod = 1e9 + 7; for (int l = 0; l < n; l++) { for (int s = 0; s + l < n; s++) { int e = s + l; if (l <= 1) { dp[s][e] = l + 1; } else if (S[s] == S[e]) { int low = s + 1, high = e - 1; // 寻找最近的和 S[s]（S[e]） 相同的字母的位置 while (low <= high && S[low] != S[e]) low++; while (high >= low && S[high] != S[e]) high--; if (low > high) dp[s][e] = dp[s+1][e-1] * 2 + 2; else if (low == high) dp[s][e] = dp[s+1][e-1] * 2 + 1; else dp[s][e] = dp[s+1][e-1] * 2 - (low + 1 < high ? dp[low + 1][high - 1] : 0); } else { dp[s][e] = dp[s+1][e] + dp[s][e-1] - dp[s+1][e-1]; } dp[s][e] = (dp[s][e] % mod + mod) % mod; } } return dp[0][n - 1]; } };
