每日一题-01-爬楼梯

 

# 每日一题-01

爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶

2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶 + 1 阶

1 阶 + 2 阶

2 阶 + 1 阶

求解：

1直接利用递推公式
$$
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
$$

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1){
            return 1;
        }else if(n == 2){
            return 2;
        }else{
            return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
        }
        return 0;
    }
};

会超出时间限制

原因：

​ 由于每一次在进行递归运算的时候，每一个节点都需要从头开始计算，存在大量的重复运算，改进思路可以将 每一次的计算结果保存在数组中，然后下次进行求解时候，可以对数组进行查询，降低时间复杂度。

2.利用数组保存计算结果

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int *mem = new int[n+1];
        return climbStairsMem(n,mem);
    }
public:
    int climbStairsMem(int n,int mem[]){
        if(mem[n] > 0){
            return mem[n];
        }else if(n == 1){
            mem[n] = 1;
        }else if(n == 2){
            mem[n] = 2;
        }else{
            mem[n] = climbStairsMem(n-1,mem)+climbStairsMem(n-2,mem);
        }
        return mem[n];
    }
};

3.利用动态规划进行求解

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int * dp = new int[n+1];
        if(n == 1){
            return 1;
        }
        
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3; i<=n ;i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }

        return dp[n];
    }
};

4.改进动态规划

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int pre,ppre,num;
        if(n == 1){
            return 1;
        }
        ppre = 1;
        pre = 2;
        for(int i = 3; i<=n ;i++){
            num = ppre + pre;
            ppre = pre;
            pre = num;
        }

        return pre;
    }
};

动态规划，由于在进行下一次更新的时候我们只需要前两次的数据，因此只需要将前两次的pre和ppre保存下来用来更新下一次的pre。

5.矩阵快速幂

因此我们只要能快速计算矩阵 M 的 n 次幂，就可以得到 f(n) 的值。

class Solution {
public:
    vector<vector<long long>> multiply(vector<vector<long long>> &a, vector<vector<long long>> &b) {
        vector<vector<long long>> c(2, vector<long long>(2));
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        return c;
    }

    vector<vector<long long>> matrixPow(vector<vector<long long>> a, int n) {
        vector<vector<long long>> ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    int climbStairs(int n) {
        vector<vector<long long>> ret = {{1, 1}, {1, 0}};
        vector<vector<long long>> res = matrixPow(ret, n);
        return res[0][0];
    }
};

6.利用通项公式

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = sqrt(5);
        double fibn = pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
        return (int)round(fibn / sqrt5);
    }
};