并查集1
在计算机科学中，并查集是一种树型的数据结构，其保持着用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。有一个联合-查找算法（union-find algorithm）定义了两个操作用于此数据结构：
- Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。
- Union：将两个子集合并成同一个集合。
因为它支持这两种操作，一个不相交集也常被称为联合-查找数据结构（union-find data structure）或合并-查找集合（merge-find set）。其他的重要方法，MakeSet，用于建立单元素集合。有了这些方法，许多经典的划分问题可以被解决。
MakeSet建立了8个元素。
在几次Union操作后，一些集合合并在一起。
为了更加精确的定义这些方法，需要定义如何表示集合。一种常用的策略是为每个集合选定一个固定的元素，称为代表，以表示整个集合。接着。Find(x)返回x所属集合的代表，而Union使用两个集合的代表作为参数。
并查集森林
并查集森林是一种将每一个集合以树表示的数据结构，其中每一个节点保存着到它的父节点的引用（见意大利面条堆栈）。这个数据结构最早由Bernard A. Galler和Michael J. Fischer于1964年提出，但是经过了数年才完成了精确的分析。
在并查集森林中，每个集合的代表即是集合的根节点。“查找”根据其父节点的引用向根行进直到到底树根。“联合”将两棵树合并到一起，这通过将一棵树的根连接到另一棵树的根。实现这样操作的一种方法是
function MakeSet(x)
x.parent := x
function Find(x) if x.parent == x return x else return Find(x.parent)
function Union(x, y) xRoot := Find(x) yRoot := Find(y) xRoot.parent := yRoot
这是并查集森林的最基础的表示方法，这个方法不会比链表法好，这是因为创建的树可能会严重不平衡；然而，可以用两种办法优化。
第一种方法，称为“按秩合并”，即总是将更小的树连接至更大的树上。因为影响运行时间的是树的深度，更小的树添加到更深的树的根上将不会增加秩除非它们的秩相同。在这个算法中，术语“秩”替代了“深度”，因为同时应用了路径压缩时（见下文）秩将不会与高度相同。单元素的树的秩定义为0，当两棵秩同为r的树联合时，它们的秩r+1。只使用这个方法将使最坏的运行时间提高至每个MakeSet、Union或Find操作
。优化后的MakeSet和Union伪代码：
function MakeSet(x) x.parent := x x.rank := 0
function Union(x, y) xRoot := Find(x) yRoot := Find(y) if xRoot == yRoot return // x和y不在同一个集合，合并它们。 if xRoot.rank < yRoot.rank xRoot.parent := yRoot else if xRoot.rank > yRoot.rank yRoot.parent := xRoot else yRoot.parent := xRoot xRoot.rank := xRoot.rank + 1
第二个优化，称为“路径压缩”，是一种在执行“查找”时扁平化树结构的方法。关键在于在路径上的每个节点都可以直接连接到根上；他们都有同样的表示方法。为了达到这样的效果，Find递归地经过树，改变每一个节点的引用到根节点。得到的树将更加扁平，为以后直接或者间接引用节点的操作加速。这儿是Find：
function Find(x) if x.parent != x x.parent := Find(x.parent) return x.parent
主要操作
需要注意的是，一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的。
合并两个不相交集合
操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。 那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。
C语言代码表示形式:
void Union(int x,int y) { fx = getfather(x); fy = getfather(y); if(fy!=fx) father[fx]=fy; }
判断两个元素是否属于同一集合
仍然使用上面的数组。则本操作即可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。寻找祖先可以采用递归实现，见后面的路径压缩算法。
C代码：
bool same(int x,int y) { return getfather(x)==getfather(y); } /*返回true 表示相同根结点，返回false不相同*/
并查集的优化
路径压缩
刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一条链，每次GetFather都将会使用O(n)的复杂度，这显然不是我们想要的。
对此，我们必须要进行路径压缩，即我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面。这就是路径压缩了。使用路径压缩的代码如下：
int getfather(int v) { if (father[v]==v) return v; else { father[v]=getfather(father[v]);//路径压缩 return father[v]; } }
Rank合并
合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度高的集合。
C语言代码： 合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度深的集合。
void judge(int x ,int y) { fx = getfather(x); fy = getfather(y); if (rank[fx]>rank[fy]) father[fy] = fx; else { father[fx] = fy; if(rank[fx]==rank[fy]) ++rank[fy]; //重要的是祖先的rank，所以只用修改祖先的rank就可以了，子节点的rank不用管 } }
初始化：
浙公网安备 33010602011771号