算法 - KMP算法

子串的定位操作通常称为串的模式匹配，它求的是子串（常称为模式串）在主串中的位置。暴力匹配算法会产生 \(O(nm)\) 的时间复杂度，其中 \(n\) 是主串长度，\(m\) 是模式串长度。而 KMP 算法能将匹配的时间复杂度降低到线性时间 \(O(n+m)\)，本文将介绍 KMP 算法的核心思想与代码示例。

1. KMP 算法思想

KMP 算法的关键是避免重复的比较。它通过一个预处理的步骤，构建一个部分匹配表（Partial Match Table），使用这个表来指定每次匹配后模式串的移动距离，以跳过一些主串中显然不匹配的位置。

1.1 字符串的前缀、后缀与部分匹配值

• 前缀指除最后一个字符以外，字符串的所有头部子串；
• 后缀指除最前一个字符以外，字符串的所有尾部子串；
• 部分匹配值是每个位置前的最长相等前后缀长度。

以模式串 abcac 为例，它的部分匹配表为：

Index	1	2	3	4	5
Pattern	a	b	c	a	c
Prefix	\(\{\}\)	\(\{a\}\)	\(\{a, ab\}\)	\(\{a, ab, abc\}\)	\(\{a, ab, abc, abca\}\)
Suffix	\(\{\}\)	\(\{b\}\)	\(\{c, bc\}\)	\(\{a, ca, bca\}\)	\(\{c, ac, cac, bcac\}\)
PM	0	0	0	1	0

1.2 匹配过程

设主串为 ababcabcacbab，模式串为 abcac，以下是字符串的匹配过程。设 \(i\) 为主串匹配位置的下标，\(j\) 为模式串匹配位置的下标，则移动位数 \(d\) 的计算公式为：

\[d = (j-1) - PM(j-1) \]

第一趟比较过程：

s	a	b	a	b	c	a	b	c	a	c	b	a	b
p	a	b	c

比较发现 \(j = 2\) 位置的字符 a 与 c 不匹配，查表可知最后一个匹配字符 b 的部分匹配值为 0，则移动位数为 \(d = 2 - 0 = 2\)，将模式串向后移动两位。

第二趟比较过程：

s	a	b	a	b	c	a	b	c	a	c	b	a	b
p			a	b	c	a	c

比较发现 \(j=4\) 位置的字符 b 与 c 不匹配，计算移动位置 \(d = 4 - 1 = 3\)。

第三趟比较过程：

s	a	b	a	b	c	a	b	c	a	c	b	a	b
p						a	b	c	a	c

模式串全部比较完成，匹配成功。

2. KMP 算法实现

2.1 构建部分匹配表

std::vector<int> buildPMT(std::string& pattern) {
    int m = pattern.size();
    std::vector<int> pmt(m, 0);
    
    int len = 0;
    for (int i = 1; i < m; i++) {
       	while (len > 0 && pattern[i] != pattern[len]) {
            len = pmt[len - 1];
        }
        if (pattern[i] == pattern[len])
            len++;
        pmt[i] = len;
    }
    
    return pmt;
}

2.2 比较

std::vector<int> KMPSearch(std::string& text, std::string& pattern) {
    int n = text.size();
    int m = pattern.size();
    std::vector<int> pmt = buildPMT(pattern);
    std::vector<int> match;
    
    int i = 0;
    int j = 0;
    
    while (i < n) {
        if (text[i] == pattern[j]) {
            i++;
            j++;
        }
        if (j == m) {
            match.push_back(i - j);
            j = pmt[j - 1];
        } else if (i < n && text[i] != pattern[j]) {
            if (j > 0)
                j = pmt[j - 1];
            else
                i++;
        }
    }
    
    return match;
}