最短路径算法（Dijkstra）学习笔记

 

#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define VEX  5//定义结点的个数
#define maxpoint 100

double graph[][maxpoint]=
{
    { 0 , 10 , -1 , 30 , 100 },
    { -1 , 0 , 50 , -1 , -1 } ,
    { -1 , -1 , 0 , -1 , 10 } ,
    { -1 , -1 , 20 , 0 , 60 } ,
    { -1 , -1 , -1 , -1 , 0 }
}; //邻接矩阵
int i,j;
int main()
{
    int R[maxpoint]= {0},B[maxpoint];
    int D[VEX],P[VEX];//定义数组D用来存放结点特殊距离，P数组存放父亲结点
//初始时，红点集中仅有源结点0
    R[0]=1;
    B[0]=0;
    for(int i=1; i<VEX; i++)
        B[i]=1;

//对数组D、P进行初始化
    for(i=0; i<VEX; i++)
    {
        D[i]=graph[0][i];
        if(D[i]!=-1) P[i]=0;
        else P[i]=-1;
    }
//输出邻接矩阵
    for(i=0; i<VEX; i++)
    {
        for(int j=0; j<VEX; j++)
            cout<<graph[i][j]<<"\t";
        cout<<endl;
    }
//输出D、P表头
    cout<<"      ";
    for(i=0; i<VEX; i++)
        cout<<"D["<<i<<"]   ";
    cout<<"   ";
    for(i=0; i<VEX; i++)
        cout<<"P["<<i<<"]   ";
    cout<<endl;

    for(int k=1; k<VEX; k++) //每次从蓝点集中取出具有最短特殊路长度的结点min
    {
        int MIN;
        for(MIN=0; B[MIN]==0;)
            MIN++; //求蓝点集结点最小下标元素
        for(int j=MIN; j<VEX; j++)
            if(D[j]!=-1&&D[j]<D[MIN]&&B[j]==1)  MIN=j;
        cout<<"MIN="<<MIN<<"  ";
//将具有最短特殊路长度的结点添加到红点集中
        R[MIN]=1;
        B[MIN]=0;
        //对数组D作必要的修改
        for(j=1; j<VEX; j++)
            if(graph[MIN][j]!=-1&&MIN!=j)  //结点min到j间有路
                if(D[j]>D[MIN]+graph[MIN][j]||D[j]==-1)
                {
                    D[j]=D[MIN]+graph[MIN][j];   //每次迭代求最小值，最后一次即为到源点的最短路径
                    P[j]=MIN;
                }

//输出最短路径
        for(i=0; i<VEX; i++)
            cout<<D[i]<<"     ";
        cout<<"   ";
        for(i=0; i<VEX; i++)
            cout<<P[i]<<"     ";
        cout<<endl;
    }
}

 

 

Dijkstra算法

 

ØDijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。

 

Ø基本思想：设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

 

（1）初始时，S中仅含有源节点。

 

（2）设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，用数组D[i]记录顶点i当前所对应的最短特殊路径长度。

 

（3）Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组D作必要的修改。

 

（4）一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

 

Dijkstra算法的基本思想

 

Ø设S为最短距离已确定的顶点集（红点集）

 

ØV-S是最短距离尚未确定的顶点集（蓝点集）。
①初始化
 最初只有源点s的最短距离是已知的(D(s)=0)，故红点集S={s} 。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
   在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。
    当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。

 

一个实例