随笔分类 - math
摘要：考虑给一个根。记 \(B\) 是有根联通图，\(D\) 是点双连通图。 现在考虑有根无向图： \[ B(x) = x*\exp(\sum_i D_{i+1}/i! B^i) \\ \frac{B(x)}{\exp(D'(B(x)))}=x \] 扩展拉格朗日反演： \[ [x^n] H(\frac{
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摘要："题目链接" $f[u]$ 表示从 $u$ 走到 $n$ 的生成函数。 $$ f[u] = \frac{\sum_{v\in e_u} f[v] x}{1 L_ix} $$ 显然最后 $f[1]$ 可以写成 $\frac {A}{\prod 1 L_ix}$ 的形式。 于是就是一个线性递推，最开始的
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摘要："链接" 按位考虑的话，相当于是每一位在 $\bmod 2$ 意义下做循环卷积，该位上有一个 $G F=T$ ,其中 $F,G$ 给定（每一位的 $F$ 一样）。 我们尝试找这个 $F$ 在循环卷积意义下的逆。 首先我们不妨设 $[x^0y^0] F= 1$ 可以通过让所有位置循环的移动来实现这件事
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摘要：$$ \sum _{\sum v_i = n 2} \prod (a_i ^{v_i+1} (v_i+1) ^ m /v_i!) (\sum (v_i+1)^m) $$ 将 $\sum (v_i+1)^m$ 中的贡献分开算。 我们有两个生成函数。 第一个： $$ \sum _i a^{i+1} (v
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摘要：简要题意 求一个图邻接矩阵的行列式，保证边双大小 $D$ 小于等于40。 我们先考虑求一个带权方案数：$行列式 ( 1)^{点数}$，其组合意义是分成若干个环，带 $( 1)^{环个数}$ 的权 先缩点，记 $f[i][0/1]$ 表示 $i$ 子树内，向父亲连的桥边是否选中，带权的方案数。 向下连
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摘要：瞎写的一些东西，会不定期更新，就暂时鸽在这。 Vandermonde 矩阵的行列式 结论是 \(|A| = \prod _{i<j} a_j - a_i\) 考虑已经归纳出来 \(n-1\) 行的行列式 ， 现在想要归纳出 \(n\) 行的是 \(T\)。 考虑第一行的代数余子式： \[ \begi
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摘要：最暴力的做法显然是直接对 $a_i$ 算与之前的数的 $\text{lcm}$ 的答案，将之前的 $\text{lcm} $ 写成之前每次增大数 $b_i$ 的乘积的形式，可以先对 $a_i$ 取模之后求 $\text{gcd}$。 考虑分治。 先将前后缀求出来记为 $b $，我们现在需要算的是 $
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摘要：简要题意：给一个序列，对每个 $i$ 求 $k$ 进制意义下不进位加法和为 $i$ 的方案数。 显然可以暴力多维FFT。弱化一点的版本是异或，即$k=2$。（参考 "UNR 2黎明前的巧克力" ） 考虑怎么优化。考虑 $1+x^a_i$ 对应的多项式，高维FFT后可以发现每一位上的值形如 $w_k^
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摘要：考虑朴素dp。 $$ f_{i,j} = f_{i 1,j} + f_{i 1,j 1} (j+a_i) $$ 稍微转换一下下标： $$ f_{i,\Delta} = f_{i 1,\Delta 1} + (a_i+i \Delta)f_{i 1,\Delta} $$ 拆组合意义： 一个位置上乘了
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摘要：不妨设 $n\le m$。 首先得发现一些信息： 1. 每一个 左下 右上 对角线单调不增。 2. 如果不成立，一定能找得到两条不满足描述的路径，满足这两条路径只有两个时刻位置不一样： 形如：（ $c$ 表示 $ab$ 都经过的点） $$ \begin{matrix} c & c & a & & \
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摘要：有这样一段两两求最大公约数的程序CoGcd， 给出m的值，进行t次询问，每次询问包含一对xi，yi。针对每次询问，输出整个程序执行过程当中，Gcd(xi, yi)被执行了多少次。 例如：$m = 20$， $Gcd(8,5)$会被执行4次，对应的x, y值是 (8,5) (5,8) (13,8) (
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摘要：Task 0 判断有多少条相同边即可。 复杂度$O(N)$ cpp namespace Subtask1{ pair e1[N],e2[N]; void Main(int n,int y){ for(int i=1,u,v;i (min(u,v), max(u,v)); } for(int i=1,
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摘要：相邻的相等串直接当成一个串。 不妨设$A\le B,A\le C$ 考虑$A$选哪些已经确定的时候，如何调整$B$和$C$。 把不用的$A$提出去之后再合并一下形成串$T$。不难发现$A\le B, A\le C$仍然成立。 1. $B=C$的情况 我们直接删除连续的$BC$串即可。 容易证明一定能
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摘要："Link" 简要题意： 给字符集大小和串长，求border个数的平方的期望 $n\le 1e5$ 基本的转化就不说了，现在需要对一对$i,j$求他们都是$border$的方案数。 $i$是一个$border$ $\Leftrightarrow$ $n i$是一个循环节（可以超出） 同时我们可以知道
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摘要：题目大意： 在UOJ管理员群里一共有$N$个管理员，为了容纳这些管理员，vfk准备了$N+1$个鸽笼。 为了节省空间，vfk把这些鸽笼堆了起来，共有$n$列，第i列放了$a_i$个鸽笼，满足 $\sum a_i=N+1$。 每当UR结束，管理员们就会按照编号从小到大的顺序回到鸽笼里，每个管理员回来的
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摘要："题目大意" ： 求 $$ \sum _i^N\sum_j^Nsgcd(i,j)^k $$ $N \le 1e9 ,k \le 50$ 先推式子： 设$x$的最大不等于x的约数是$f(x)$ $$ \begin{aligned} &\sum _i^N\sum_j^Nsgcd(i,j)^k \\ =
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摘要：首先推出来这样一个东西： $$ b_i=\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)^{C D}\cdot i^D\cdot j^D\cdot x_j $$ 现在令： $$ \begin {aligned} b_i &= \frac {b_i} {(i^D)} \\ x_i &= x_i
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摘要：题意相当于求如下式子 $$ \sum _{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [gcd(i,j)=1][gcd(j,k)=1] \\ k
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