基础排序算法（六）希尔排序

一 希尔排序

希尔排序是一种非常独特且高效的排序算法，它通过一种“先宏观，后微观”的策略来提升效率

1.1 算法特性

希尔排序特性总结

特性	说明
核心思想	分而治之：将整个序列按一定间隔（gap）分割成若干子序列，分别进行直接插入排序。然后逐步缩小间隔，直至间隔为1，此时整个序列已基本有序，最后进行一次插入排序即可完成
时间复杂度	取决于增量序列的选择，通常介于 O(n log²n) 到 O(n²) 之间。使用 Hibbard 或 Knuth 增量序列时，平均复杂度可优化至约 O(n^1.3) 或 O(n^(3/2))
空间复杂度	O(1)。是原地排序算法，只需要常数级别的额外空间
稳定性	不稳定。由于元素是跨间隔进行跳跃式移动，可能会改变相同元素的原始相对顺序
主要优势	相比简单插入排序效率显著提升；代码实现相对简单；是早期突破O(n²)时间复杂度的算法之一
主要劣势	性能受增量序列选择影响较大；不稳定；在最坏情况下性能可能不佳

1.2 算法原理

希尔排序的巧妙之处在于它通过“增量序列”将大规模无序数据转化为小规模且基本有序的数据进行排序。其过程可以清晰地分为“分组预排序”和“最终插入排序”两大阶段。下图以序列 [8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0]为例，展示了使用初始增量 gap=5进行分组排序，并逐步缩小增量直至为1的全过程。

• 1​ 选择增量序列​​：这是希尔排序的“灵魂”。算法首先选择一个初始间隔（gap），通常为数组长度的一半（如n/2），然后逐步缩小这个间隔（如每次减半），直到间隔变为1。
• ​​2 按间隔分组并排序​​：
  对于每个选定的间隔gap，将数组中所有相距为gap倍数的元素归为同一组。然后，​​分别对这些分组进行直接插入排序​​。这一步称为“预排序”，它使得元素能够大步地跳跃到其最终位置 附近， 从而大幅减少后续精细排序所需的工作量。
• ​​3 缩小间隔重复过程​​：完成一次分组排序后，将间隔gap缩小（例如，gap = gap / 2或使用更优的序列如 gap = gap / 3 + 1），然后重复步骤2的分组和排序过程。
• 4​​ 最终插入排序​​：当间隔gap最终缩小到1时，整个数组已经被“预排序”得基本有序了。此时再对整个数组进行一次标准的直接插入排序。由于序列已基本有序，这次插入排序的效率会非常高，接近O(n)。

1.3 复杂度分析

希尔排序的性能与所选用的​​增量序列​​密切相关。

1.3.1 时间复杂度

​​这是一个复杂的话题，因为没有一个固定的答案。

使用最简单的增量序列（如每次减半），最坏情况时间复杂度可能达到 ​​O(n²)​​。
但使用更优化的增量序列，如​​Hibbard增量​​（1, 3, 7, ..., 2ᵏ - 1）或​​Knuth增量​​（1, 4, 13, ..., (3ᵏ - 1)/2），平均时间复杂度可以优化到约 ​​O(n^1.3)​​ 或 ​​O(n^(3/2))​​，这比简单插入排序的O(n²)要好得多。
需要注意的是，希尔排序的准确平均时间复杂度分析仍然是算法研究中的一个课题。

1.3.2 空间复杂度

​​由于希尔排序是原地排序，只需要少量临时变量（如用于元素交换的temp），因此空间复杂度为 ​​O(1)​​。

1.4 使用场景

希尔排序在以下场景中表现出色：

• ​​中等规模数据排序​​：当数据量在数百到数万之间时，希尔排序通常能提供不错的性能，且实现比快速排序、归并排序等更简单。
• ​​内存受限的环境​​：由于它是原地排序，空间复杂度为O(1)，非常适合嵌入式系统等内存紧张的场景。
• ​​作为更复杂算法的子过程​​：有时在快速排序等算法的递归过程中，当子数组规模较小时，会切换使用希尔排序来提升整体效率。

1.5 代码实现

1.5.1 C 语言代码实现

#include <stdio.h>

void shellSort(int arr[], int n) {
    // 初始增量gap设为数组长度的一半，随后逐步缩小增量
    for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        // 从第gap个元素开始，对每个子序列进行插入排序
        for (int i = gap; i < n; i++) {
            int temp = arr[i]; // 待插入的元素
            int j;
            // 对当前子序列进行插入排序：将比temp大的元素后移
            for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {
                arr[j] = arr[j - gap];
            }
            // 将temp插入到正确位置
            arr[j] = temp;
        }
    }
}

// 打印数组函数
void printArray(int arr[], int size) {
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}

// 主函数测试
int main() {
    int arr[] = {8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    printf("排序前的数组: \n");
    printArray(arr, n);

    shellSort(arr, n);

    printf("排序后的数组: \n");
    printArray(arr, n);
    return 0;
}

1.5.2 ​代码关键点解释

• 外层循环 for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)控制增量的变化。
• 中间层循环 for (int i = gap; i < n; i++)从每个子序列的第二个元素开始遍历（因为第一个元素可视为已排序）。
• 内层循环 for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap)是插入排序的核心，它在当前子序列中为 temp寻找正确的插入位置，并将比它大的元素向后移动。

1.6 常用算法比较

排序算法比较

算法	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	稳定性	主要特点
希尔排序	约 O(n^1.3)	O(n²)	O(1)	不稳定	实现简单，中等规模数据效率高，性能受增量序列影响大
直接插入排序	O(n²)	O(n²)	O(1)	稳定	对小规模或基本有序数据效率很高；稳定；简单
快速排序	O(n log n)	O(n²)	O(log n)	不稳定	平均性能极佳，是许多标准库的实现选择，但对初始数据敏感
归并排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n)	稳定	性能稳定，是稳定的O(n log n)排序，但需要O(n)额外空间
堆排序	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	不稳定	最坏情况也能保证O(n log n)，但常数因子较大，缓存不友好

1.7 总结

希尔排序是一种巧妙且实用的排序算法，它通过“分组插入排序”和“逐步细化”的策略，显著提升了插入排序在处理无序数据时的效率。虽然其性能分析较为复杂，且它不是稳定的排序算法，但其代码简洁、空间效率高的特点，使其在特定场景下（如中等规模数据排序、内存受限环境）依然是一个非常有价值的选择。