基础排序算法（四）堆排序

一 堆排序

堆排序是一种非常高效且独特的排序算法，它巧妙地将数据结构中的“堆”应用于排序过程。

1.1 特性介绍

堆排序特性总结

特性	说明
核心思想	利用堆这种数据结构进行选择排序。将待排序列构造成一个大顶堆（或小顶堆），从而不断将堆顶元素（最大值或最小值）与序列末尾元素交换，并调整堆结构，最终得到有序序列
时间复杂度	建堆：O(n)；排序过程：O(n log n)。总体时间复杂度为 O(n log n)，且最好、最坏、平均情况均如此
空间复杂度	O(1)，是原地排序算法，只需要常数级别的额外空间用于元素交换
稳定性	不稳定。因交换堆顶和末尾元素时，可能改变相等元素的原始相对顺序
主要优势	时间复杂度稳定，不会出现像快速排序那样的最坏O(n²)情况；原地排序，空间效率高
主要劣势	常数因子较大，通常比平均情况下的快速排序慢；对小规模数据排序效率相对不高；不稳定

1.2 算法工作原理

堆排序的运作过程清晰地分为“建堆”和“排序”两大阶段。下图以数组 [12, 11, 13, 5, 6, 7]为例，展示了构建大顶堆以及后续排序的关键步骤：

1.2.1 构建堆（Heapify）​​

这是堆排序的第一步，目标是將一个无序的完全二叉树调整成一个​​大顶堆​​（对于升序排序）。大顶堆的性质是：每个节点的值都​​大于或等于​​其左右子节点的值。

• 通常从​​最后一个非叶子节点​​开始（索引为 n/2 - 1，其中 n是数组长度），依次向前遍历每个非叶子节点。
• 对每个非叶子节点，执行“向下调整”操作：比较该节点与其左右子节点的值，如果子节点中有值更大的，则交换它们的位置，并递归地对被交换的子节点进行同样的调整，确保以该节点为根的子树满足堆的性质。

1.2.2 排序​​

一旦大顶堆构建完成，堆顶元素（根节点）就是整个序列中的最大值。

• 交换与调整​​：将堆顶元素与堆中最后一个元素交换。此时，最大值就位于数组的末尾，可以视为已排序部分。
• 缩小堆范围​​：将堆的大小减一（即忽略最后一个已排序的元素）。
• ​​重新调整堆​​：由于新的堆顶元素可能破坏堆的性质，因此需要对剩余的未排序序列（从新的根节点开始）再次进行向下调整，使其重新成为大顶堆。
• 重复上述“交换-调整-缩小”步骤，直到堆的大小变为1，此时整个数组就有序了。

1.3 复杂度分析

1.3.1 时间复杂度 O(n log n) 的由来​​：

• ​​建堆阶段​​：虽然需要调整n/2个节点，但由于二叉树的结构特性，大部分调整操作在较低的层进行。建堆操作的时间复杂度经分析为 ​​O(n)​​。
• ​​排序阶段​​：需要进行n-1次交换和调整。每次调整堆（向下调整）的时间复杂度与当前堆的高度相关，即 ​​O(log n)​​。因此，排序阶段的总时间复杂度为 ​​O(n log n)​​。
  堆排序的整体时间复杂度为 ​​O(n log n)​​，并且这个性能在最好、最坏和平均情况下都保持一致，非常稳定。

1.3.2 ​​空间复杂度 O(1) 的由来​​：

堆排序的所有操作（交换、调整）都是在原数组上进行的，只需要固定数量的额外变量（如用于交换的临时变量 temp），因此是​​原地排序​​，空间复杂度为 ​​O(1)​​。

1.4 使用场景

堆排序在以下场景中表现出色：

​​需要稳定的最坏情况性能​​：当无法承受快速排序最坏情况下O(n²)的时间复杂度时，堆排序的O(n log n)最坏情况性能是可靠的选择。
​​内存空间受限​​：由于是原地排序，空间复杂度为O(1)，非常适合嵌入式系统等内存紧张的环境。
​​寻找Top K元素​​：不需要完全排序整个序列，只需找出最大或最小的K个元素。可以构建一个大小为K的小顶堆（找最大K个）或大顶堆（找最小K个），然后遍历剩余元素进行调整，效率很高。
​​实时数据流处理​​：堆结构适合处理不断产生新数据的场景，可以动态维护当前数据的极值或特定顺序。

然而，对于​​小规模数据​​，简单排序如​​插入排序​​可能因常数因子更小而实际更快。若​​需要稳定性​​（保持相等元素的原始顺序），则应选择​​归并排序​​等稳定算法。

1.5 代码实现

1.5.1 c 语言实现

以下是堆排序的一个典型C语言实现，包含了关键的堆调整（heapify）函数和排序主函数。

#include <stdio.h>

// 交换数组中两个元素的值
void swap(int *a, int *b) {
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// 堆调整函数（大顶堆）
// arr: 待调整的数组
// n: 当前堆的大小（即需要调整的数组长度）
// i: 待调整的根节点索引
void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i;       // 初始化最大元素为根节点
    int left = 2 * i + 1;  // 左子节点索引
    int right = 2 * i + 2; // 右子节点索引

    // 如果左子节点存在且大于根节点
    if (left < n && arr[left] > arr[largest])
        largest = left;

    // 如果右子节点存在且大于当前最大节点
    if (right < n && arr[right] > arr[largest])
        largest = right;

    // 如果最大元素不是根节点，则需要交换并递归调整被破坏的子堆
    if (largest != i) {
        swap(&arr[i], &arr[largest]);
        heapify(arr, n, largest); // 递归调整受影响的子树
    }
}

// 堆排序主函数
void heapSort(int arr[], int n) {
    // 1. 构建初始大顶堆
    // 从最后一个非叶子节点开始向上调整
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
        heapify(arr, n, i);

    // 2. 逐个从堆顶提取元素
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        // 将当前堆顶元素（最大值）与末尾元素交换
        swap(&arr[0], &arr[i]);
        // 交换后，调整剩余的元素（从0到i-1），使其重新成为大顶堆
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

// 打印数组函数
void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        printf("%d ", arr[i]);
    printf("\n");
}

// 主函数测试
int main() {
    int arr[] = {12, 11, 13, 5, 6, 7};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    printf("排序前的数组: \n");
    printArray(arr, n);

    heapSort(arr, n);

    printf("排序后的数组: \n");
    printArray(arr, n);
    return 0;
}

1.5.2 关键点解释

• heapify函数：这是堆排序的核心。它确保以节点 i为根的子树满足大顶堆的性质。通过比较根节点与其左右子节点，找到最大值，并在需要时进行交换和递归调整。
• heapSort函数：
  • ​​建堆循环​​：for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)从最后一个非叶子节点开始，自底向上地调用 heapify，最终构建出整个大顶堆。
  • ​排序循环​​：for (int i = n - 1; i > 0; i--)每次循环将堆顶（最大值）与当前未排序序列的最后一个元素交换，然后对新的堆顶调用 heapify来调整剩余元素，使其恢复成大顶堆。

1.6 与常见排序算法比较

排序算法比较

算法	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	稳定性	主要特点与适用场景
堆排序	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	不稳定	最坏性能稳定，原地排序，适合内存受限和需要稳定最坏情况性能的场景
快速排序	O(n log n)	O(n²)	O(log n)	不稳定	平均性能极佳，是许多标准库的实现选择，但对初始数据敏感，最坏情况性能差
归并排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n)	稳定	性能稳定，是稳定的O(n log n)排序，但需要O(n)额外空间，适合外部排序和对稳定性有要求的场景
插入排序	O(n²)	O(n²)	O(1)	稳定	对小规模或基本有序数据效率很高，常作为快速排序或归并排序的辅助排序

1.7 总结

总的来说，堆排序是一种基于​​堆数据结构​​的高效排序算法，其​​时间复杂度稳定在O(n log n)​​，并且是​​原地排序​​，空间复杂度为O(1)。虽然在实际应用中可能不如快速排序快速，且是​​不稳定​​排序，但在​​需要保证最坏情况性能、内存空间有限或需要解决Top K问题​​等特定场景下，它依然是一个非常有价值的选择。理解堆排序对于深入掌握数据结构和算法设计思想具有重要意义。