朋友的朋友大概率比我的朋友多

可以抽象成一张无向图，\(G=(V,E)\)，其中点集表示人，边集表示点与点之间的朋友关系。

度数之和：

\[2|E| \]

那么每个人的朋友期望数量：

\[E(d)=\frac{2|E|}{|V|} \]

然后随机选择某一对关系（某一条边）与某个点有关的概率，然后再从这条边选其中一个端点，
假设自己是 \(u\)，然后看一下点 \(u\) 的朋友的期望朋友数量：
对于每一个点 \(v~(v\ne u)\)，点 \(v\) 是 \(u\) 的朋友的概率：

\[\frac{d_v}{2|E|-d_u} \]

对于一个点 \(v\) 对于期望的贡献就是：

\[\frac{d_v^2}{2|E|-d_u} \]

这里假设自己算自己的朋友，因为自己的朋友数量等于自己的朋友数量，不影响大小比较，所以对于某个点 \(u\)，好友的期望好友数量就是：

\[\sum_{v\in V}{}\frac{d_v^2}{2|E|} \]

然后拿这个值和 \(u\) 点的朋友数量作差：

\[\begin{align} \Delta_u&=\sum_{v\in V}\frac{d_v^2}{2|E|}-d_u\\ &=\sum_{v\in V}\frac{d_v^2-\frac{2|E|d_u}{|V|}}{2|E|}\\ &=\sum_{v\in V}\frac{d_v^2-E(d)d_u}{2|E|} \end{align} \]

然后 \(u\) 是随机取的，我们要求出的是 \(E(\Delta)\)，所以可以将 \(d_u\) 替换成 \(E(d)\)。
那么就有：

\[\begin{align} E(\Delta)&=\sum_{v\in V}\frac{d_v^2-E(d)^2}{2|E|}\\ &=\sum_{v\in V}\frac{d_v^2+E(d)^2-2E(d)^2-2d_vE(d)+2d_vE(d)}{2|E|}\\ &=\sum_{v\in V}\frac{(d_v-E(d))^2-2E(d)(E_d-d_v)}{2|E|}\\ \end{align} \]

然后观察分子上减号之前，发现 \(E(d)\) 就是期望（平均）度数，所以前半部分就是 \(\sigma^2\) （方差），那么那么原式：

\[\begin{align} E(\Delta)&=\sigma^2\times\frac{|V|}{2|E|}-\frac{\sum_{v\in V}2 E(d)(E_d-d_v)}{2|E|}\\ &=\frac{\sigma^2}{E(d)}-\frac{E(d)\times|V|-\sum_{v\in V} d_v}{|E|}\\ &=\frac{\sigma^2}{E(d)}-\frac{2|E|-2|E|}{|E|}\\ &=\frac{\sigma^2}{E(d)} \end{align} \]

这里 \(\sigma^2\) 方差显然大于等于 \(0\)，且 \(E(d)\) 也显然大于等于 \(0\)。
所以：

\[E(\Delta)=\frac{\sigma}{E(d)}\ge 0 \]

做差发现大于等于 \(0\)，所以朋友的朋友的期望个数大于等于自己的朋友的期望个数。
也就是：朋友的朋友大概率比我的朋友多。

省流：朋友多的人大概率是我的朋友。

---

然后经过了这一番证明后得到了一个小结论：
对于一个集合 \(A\)，假设 \(S\) 是 \(\sum_{x\in A}x\)，平均值 \(\overline x=\frac{S}{|A|}\)，然后设 \(A\) 的方差为 \(\sigma^2\)。
那么就有：

\[\sum_{x\in A} x^2\ge |A|\times\overline{x}^2 \]

因为：

\[F=\sum_{x\in A} \frac{x^2}{|A|}=\overline x^2+\sigma^2 \]

我们根据之前的证明有：

\[d_u+\Delta_u=E(d_v) \]

即：

\[\begin{align} E(d)+E(\Delta)&=E(d_v)\\ E(d)+\frac{\sigma^2}{E(d)}&=E(d_v)\\ \end{align} \]

然后发现 \(E(d_v)\) 就对应这里的 \(F\times\frac{|A|}{S}=\frac{F}{\overline x}\)，\(E(d)\) 就是这里的 \(\overline x\)。
于是：

\[\begin{align} \overline x+\frac{\sigma^2}{\overline x}=\frac{F}{\overline x}\\ F=\overline x^2+\sigma^2 \end{align} \]

即：

\[\sum_{x\in A}\frac{x^2}{|A|}=\overline x^2+\sigma^2 \]

平方和 = （平均数的平方+方差）乘以集合大小。