二分图相关

基础

最小点覆盖 = 最大匹配

我们假设最小点覆盖的集合为 \(V\)，最大匹配的集合为 \(E\)，因为最大匹配中的边都互相不交，
所以我们可以让最大匹配中的边的端点任意选择一个点，就有：

\[|V|\ge |E| \]

于是另一边不太好证明，我们就记住这一边的证明，感性理解～

最大独立集 = 总点数 - 最小点覆盖

假设最小点覆盖为 \(V_1\)，最大独立集为 \(V_2\)，我们考虑最小点覆盖的补集，如果补集中的任意两点之间有边，那么对应的最小点覆盖这一条边就没有被覆盖，与最小点覆盖冲突了。即最小点覆盖的补集是独立集。所以有：

\[n-|V_1|\le |V_2|\tag 1 \]

同理，最大独立集的补集也一定满足点覆盖，那么就有：

\[n-|V_2|\ge |V1| \]

即：

\[n-|V_1|\ge|V_2|\tag 2 \]

根据 \((1),(2)\) 两式可得：\(n-|V_1|=|V_2|\)。

DAG：

基本定义：

• 最小路径覆盖：用最少的路径覆盖 DAG 上的所有点，路径之间不能有交。
• 最小链覆盖：和最小路径覆盖的区别是路径之间可以有交（点），边不可以交。
• 最长反链：最大的点集，满足两点之间互相不连通。

最小路径覆盖 = 总点数 - 拆点后的最大匹配

对于一张 DAG，我们考虑让入点和出点做二分图匹配，考虑匹配的意义：
最开始所有的点属于自己的路径，当一个入点匹配出点的时候，表示两个点合并到同一条路径上了。那么式子就非常显而易见了。

最长反链 = 最小链覆盖

对于反链中的点两两不连通，那么覆盖每一个点都至少需要这么多的路径，于是：

\[最长反链 \le 最小链覆盖 \]

同样的另一边不太好证明，我们感性理解即可。

(T3) 洛谷 P4298 [CTSC2008] 祭祀

• Case 1:
  最长反链大小：最长反链 = 最小链覆盖 = 传递闭包后的图的最小路径覆盖 = n - 最大匹配。
• Case 2:
  先说一下结论：对于建模出来的二分图，它的最大独立集为 \(V\)，那么对于 \(i\)，同时满足\(i\in V,i'\in V\)，这些点构成最长反链。
  证明：
  首先选出来的点一定满足反链，因为如果有两个点 \(u,v\) 之间满足 \(u\) 可以到达 \(v\)，因为已经传递闭包，所以一定有一条 \(u\to v\) 的边，这显然不满足独立集。
  然后我们证明其最大，假设选出来的反链集合为 \(S\)，假设整张二分图的最大匹配为 \(m\)，那么就有：\(|V|= 2\times n -m\)，然后因为 \(S\in V\)，对于 \(V\) 中 \(S\) 的补集 \(S'\)，不存在 \(i\in S',i'\in S'\)，所以就有 \(S'\le n\)，然而：\(S\cup S'=V\)，即：\(|S|+|S'|=2\times n- m\)。
  所以 \(|S|=(2\times n- m-|S'| )\ge n-m\)，而最长反链大小 = 最小链覆盖大小 = \(n-m\)，
  所以有 \(|S|\ge\) 最长反链大小，所以 \(S\) 是最长反链。
• Case 3：
  我们对于每一个点，假设它可以加入最长反链，那么把可以到达它以及它可以到达的点删除，然后重新跑二分图匹配，看一下最长反链是否等于原来最长反链大小 - 1，如果可以，则可以加入。

导弹拦截问题

原问题就是求一个序列最少由多少个非递增序列构成，我们考虑建出一张 DAG，对于
\(i<j,a_i\ge a_j\)，连边： \(i\longrightarrow j\)，那么就会形成一张 DAG。
那么原题就相当于求这一张 DAG 的最小路径覆盖（因为路径不能有交）。
但是仔细考虑，发现对于这样的建图，如果 \(i\to j,j\to k\)，那么就一定有一条边 \(i\to k\)，
那么就会发现对于任意有交的情况，一定可以转为无交的情况。
也就是对于这张特殊的 DAG，有最小路径覆盖 = 最小链覆盖，所以原问题就转变为求最长反链，
那么最长反链就相当于原序列中的最长上升子序列。。