莫比乌斯反演

莫比乌斯定理

1. 若 \(F(n)=\sum_{d\mid n} f(d)\)， 则 \(f(n)=\sum_{d\mid n} F(d)\times \mu(\frac{n}{d})\)
   证明：

\[ \begin{align} f(n)=& \sum_{d\mid n} \mu(d)\times \sum_{i|\frac{n}{d}} f(i)\\ =& \sum_{i\mid n} f(i)\times \sum_{d|\frac{n}{i}} \mu(d)\tag 1 \end{align} \]

然后这里有一个定理：

\[ \sum_{d\mid n}\mu(d) = [d=1] \]

这个可以更具二项式定理证明。
然后继续之前的式子

\[ \begin{align} (1) =& \sum_{i\mid n} f(i)\times [\frac{n}{i}=1]\\ =& f(n) \end{align} \]

证毕。

2. 若 \(F(n)=\sum_{n\mid d} f(d)\)， 则 \(f(n)=\sum_{n\mid d} F(d)\times \mu(\frac{d}{n})\)
   证明：

\[ \begin{align} f(n)=& \sum_{n\mid d} \mu(\frac{d}{n}) \times \sum_{d\mid i} f(i)\\ =& \sum_{n\mid i} f(i)\times \sum_{d\mid \frac{i}{n}} \mu(d)\\ =& \sum_{n\mid i} f(i)\times [i=n]\\ =& f(n) \end{align} \]

证毕。