[「一本通 6.7 练习 3」取石子]题解

「一本通 6.7 练习 3」取石子

首先。我们考虑所有的石子个数都是大于 1 的，那么我们可以做两种操作。

• 合并两堆石子。
• 删掉某一堆中的一个石子。
  假设这些堆的石子个数总和为 \(s\)，假设这里有 \(c\) 堆，那么总共可以操作的次数是 \(s + c - 1\)。
  它的奇偶性就决定了谁能够赢。
  那么我们自然的想到 DP：
  \(dp_{i,j}\) 表示有 \(i\) 堆为 1 的石堆，我们称为一类堆，\(j\) 堆大于 1 的石堆，我们称为二类堆。它的必胜态。1 表示必胜，反之必败。
  然后我们有一下五种操作：
• \(dp_{i-1,j}\to dp_{i,j}\)（删掉某一个一类堆中石子）。
• \(dp_{i-1,j+1}\to dp_{i,j}\)（合并一个一类堆和二类堆）。
• \(dp_{i,j-1}\to dp_{i,j}\) （删掉二类堆中的石子）。
• \(dp_{i-1,1}\to dp_{i,0}\) （等价的，如果二类堆的石子只能操作一次了就是一类堆）。
• \(dp_{i,j}\to dp_{i-2,j+2+1[j \ne 0]}\)，（合并两个一类堆，如果有二类堆可以多一次合并）。
  这里可能有一个疑问，为什么不可以删掉二类堆中的一个大小为 2 的堆，从而使得：

\[dp_{i,j}\to dp_{i+1,j-1} \]

我们发现在上述五个式子中只有第 4 个式子考虑了 \(j=1\) ，也就是只有一堆的时候的这种情况。
为什么在多堆的二类堆时不需要这么转移呢。
因为考虑如果有多堆。你把一个二类堆变成了一类堆。那么我们一定还有剩二类堆。
对方仍然可以将一类堆与二类堆合并。状态经过了这样的改变。

\[(i,j)\longrightarrow (i+1,j-3)\longrightarrow (i,j-2) \]

发现这样的状态改变就相当于先合并，在取一个石子。是被包含的。那么原操作就没有意义。