Solution Of 读取信息J（dqxxj）

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这是我的原创题

注：\(\oplus\) 表示异或 或者 异或和。\(\land\) 表示 逻辑与 ，\(\lor\) 表示 逻辑或

首先说明集合上的异或运算——对称差：对于集合 \(A\) 和 \(B\) ，\(A \oplus B\)（\(A\) 与 \(B\) 的对称差）\(= \bigg\{\ x\ \bigg|\ \Big((x \in A) \land (x \notin B)\Big) \lor \Big((x \notin A) \land (x \in B)\Big) \bigg\}\)

记序列为 \(U\)，定义集合求值运算 \([?]\)，即 \([A]={\bigoplus}_{i \in A}{\ U_i}\) ，易证明：\([A \oplus B]=[A] \oplus [B]\)

回到题目，先假设一定存在序列 \(U\) 满足所有描述，每次问题答案唯一确定

于是对于某个询问集合 \(Q\)，只需找出若干个描述集合 \(P_i\)，使 \(Q={\bigoplus}{P_i}\)，则询问答案\([Q]\)可用上式计算（\([Q]=[{\bigoplus}{P_i}]={\bigoplus}{[P_i]}\)）

如果无法找到这样的若干描述集合，则无法唯一确定询问答案

如果对于某个描述集合 \(P_0\)，能找到若干描述集合 \(P_i\)，使 \(P_0={\bigoplus}{P_i}\)，且 \([P_0] \neq {\bigoplus}{[P_i]}\)，则不存在序列 \(U\) 满足所有描述

对于一个集合 \(P\)，如何快速找到若干若干集合 \(P_i\) 使 \(P={\bigoplus}{P_i}\) ？

可以把一个位置集合转化为一个 \(n\) 位 \(01\) 串二进制，第 \(i\) 位 \(1/0\) 表示位置 \(i\) 是否在该集合中，那么每个集合 \(P\) 就唯一映射一个整数 \(t\)

于是问题转化为，对于一个集合 \(P\) 的映射 \(t\)，如何快速找到若干集合 \(P_i\) 的映射 \(t_i\) 使 \(t={\bigoplus}{t_i}\)

显然可以用线性基

但题目不仅判定，还要求求值，怎么办？

标题中有提示：$dqxxj \rightarrow $ 带权线性基

具体的：

#define N 160
class LBwK/*linear base with key*/{
	private:
	struct node{
		bitset<N>bit;
		//线性基中某一维度的基底 
		int filled;
		//该维度基底是否被填充 
		int key;
		//该维度基底的值（或者说 权） 
	}base[N];
	public:
	inline int find(bitset<N>bit){
		int sum_key=0;
		for(register int i=0;i<N;++i)
		if(bit.test(i)){
			if(base[i].filled){
				bit^=base[i].bit;
				sum_key^=base[i].key;
			}
			else return -1;
			//找不到异或和为目标的基底组合 
		}
		return sum_key;
		//找到异或和为目标的基底组合，并返回基底组合的值的异或和 
	}
	inline bool insert(bitset<N>bit,int key=0){
		for(register int i=0;i<N;++i)
		if(bit.test(i)){
			if(base[i].filled){
				bit^=base[i].bit;
				key^=base[i].key;
			}
			else{
				base[i].bit^=bit;
				base[i].key^=key;
				base[i].filled=1;
				return true;
				//插入线性基成功 
			}
		}
		return !key;
		//插入失败，集合可以被现有基底表示,返回给出集合的值是否与现有值矛盾 
	}
}base;
#undef N

总复杂度 \(O\Big(\frac{n^2}{w} (m+q)\Big)\)