最长递增子序列

最长递增子序列

题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

难度：中等

示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

思路

动态规划

定义dp[i] 为考虑前 i 个元素，以第 ii 个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意nums[i] 必须被选取。

我们从小到大计算 dp 数组的值，在计算 dp[i] 之前，我们已经计算出dp[0…i−1] 的值，则状态转移方程为：
dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且num[j]<num[i]

即考虑往dp[0…i−1] 中最长的上升子序列后面再加一个nums[i]。由于dp[j] 代表 nums[0…j] 中以nums[j] 结尾的最长上升子序列，所以如果能从dp[j] 这个状态转移过来，那么 nums[i] 必然要大于 nums[j]，才能将 nums[i] 放在 nums[j] 后面以形成更长的上升子序列。

最后，整个数组的最长上升子序列即所有 dp[i] 中的最大值。
LIS(length)=max(dp[i]),其中0≤i<n

代码实现

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
        }
        return maxans;
    }