zoj2432 hdoj1423 最长公共上升子序列（LCIS）
zoj2431 http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2432
hdoj 1423 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1423
题意：
一看题目题意就很明显了， 两个数组a，b，求出两个数组公共的最长的上升子序列（可以不是连续的子序列）。
分析：
如果做过[最长公共子序列](http://blog.csdn.net/wangdan11111/article/details/41321277)应该更容易明白点。
定义状态d[i][j]表示以a数组的前i个元素，b数组的前j个元素并且以b[j]为结尾的LCIS的长度。
首先：a[i] ！= b[j]时， d[i][j] = d[i-1][j]; 因为 d[i][j] 是以 b[j] 为结尾的LCIS，如果 d[i][j] > 0 那么就说明 a[1] .... a[i] 中必然有一个元素 a[k] 等于 b[j]。因为 a[k] != a[i]，那么 a[i] 对 d[i][j] 没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出 d[i][j] 的最优值。所以在 a[i] != b[j] 的情况下必然有 d[i][j] = d[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。
当a[i]==b[j]时， 首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的d数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。第二维需要枚举 b[1] ... b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于 b[j]。
状态转移方程：
a[i] != b[j]: d[i][j]=d[i-1][j] ；
a[i] == b[j]: d[i][j]=max(d[i-1][k]) + 1 ； （1<= k <= j-1）
不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。
但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(d[i-1][k])的值我们可以在之前访问 d[i][k] 的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了 d[1][n2] 再去算 d[2][1]。 如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max = d[i-1][j]。如果循环到了a[i] == b[j]的时候，则令 d[i][j] = max+1。 最后答案是 d[n1][1] ... d[n1][n2]的最大值。
举个例子
a={1， 4， 2， 5， -12} b ={5, -12, 1, 2, 4, 5}
| 5 | -12 | 1 | 2 | 4 | 5 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 |
| -12 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 |
if(a[i] == b[j])
d[i][j] = mx + 1;
else if(a[i] > b[j] && mx < d[i-1][j])
mx = d[i-1][j];
//只有当a[i] > b[j]时，才更新mx， 保证了所求序列是上升的。
仔细看表格会发现： 若d[i][j] > 0 的话，那么在数组a前i个元素中一定存在a[k]( 1 <= k <= i)等于b[j]. 否则说明前i个a元素中没有与b[j]相同的元素。
zoj2432
#include<iostream> #include<cstdio> #include<string.h> #include<cstring> #include<math.h> using namespace std; const int N = 505; int n1, n2, t, mx, sum; int a[N], b[N], d[N][N], pi[N][N], pj[N][N]; void dp() { for(int i = 1; i <= n1; i++) { int mx = 0, x = 0, y = 0; for(int j = 1; j <= n2; j++) { d[i][j] = d[i-1][j]; pi[i][j] = i-1; pj[i][j] = j; if(a[i] > b[j] && mx < d[i-1][j]) { mx = d[i-1][j]; x = i-1; y = j; } else if(a[i] == b[j]) { d[i][j] = mx + 1; pi[i][j] = x; pj[i][j] = y; } } } } void ac(int x, int y) { if(d[x][y] == 0) return; int fx = pi[x][y]; int fy = pj[x][y]; ac(fx, fy); if(d[x][y] != d[fx][fy] && y != 0) { printf("%d", b[y]); sum++; if(sum < mx) printf(" "); else printf("\n"); } } int main() { cin >> t; while(t--) { scanf("%d", &n1); for(int i = 1; i <= n1; i++) scanf("%d", &a[i]); scanf("%d", &n2); for(int i = 1; i <= n2; i++) scanf("%d", &b[i]); memset(d, 0, sizeof(d)); memset(pi, -1, sizeof(pi)); memset(pj, -1, sizeof(pj)); dp(); mx = 0; int flag = 0; for(int i = 1; i <= n2; i++) { if(d[n1][i] > mx) { mx = d[n1][i]; flag = i; } } printf("%d\n", mx); for(int i = 1; i <= n1; i++) { for(int j = 1; j <= n2; j++) printf("%d ", d[i][j]); printf("\n"); } sum = 0; if(mx > 0) ac(n1, flag); if(t) printf("\n"); } return 0; }
hdoj1423
#include<iostream> #include<cstdio> #include<string.h> #include<cstring> #include<math.h> using namespace std; int n1, n2, t, k; int a[505], b[505], d[505][505]; int dp() { int mx; for(int i = 1; i <= n1; i++) { mx = 0; for(int j = 1; j <= n2; j++) { d[i][j] = d[i-1][j]; if(a[i] > b[j] && mx < d[i-1][j]) mx = d[i-1][j]; else if(a[i] == b[j]) d[i][j] = mx + 1; } } mx = 0; for(int i = 1; i <= n2; i++) { if(d[n1][i] > mx) mx = d[n1][i]; } return mx; } int main() { cin >> t; while(t--) { scanf("%d", &n1); for(int i = 1; i <= n1; i++) scanf("%d", &a[i]); scanf("%d", &n2); for(int i = 1; i <= n2; i++) scanf("%d", &b[i]); memset(d, 0, sizeof(d)); int ans = dp(); printf("%d\n", ans); if(t) printf("\n"); } return 0; }
