阴影
阴影的数学推导
这是实时渲染中常用的约等式
这个约等式如果满足以下两个条件中的至少一个，则成立
- small support: 积分域比较小
- smooth integrand: \(g(x)\)比较平缓，没有大的波动起伏
在实时渲染中，我们会给the rendering equation加上一个\(V\)项，代表可见程度
通过用上述的约等式，改写成
其中提出来的部分就代表我们要求解的阴影，其余的就是常规的shading
根据我们上述提出的，这种形式的the rendering equation需要至少满足其中一个条件
- small support：点光源、平行光
- smooth integrand: diffuse材质会让BRDF均匀；单个面光源会让radiance比较均匀
硬阴影
算法
这是最原始的，在光栅化中生成阴影的算法，步骤为
- 将相机放在光源处，根据场景在每个pixel中记录一个最小深度，得到一张深度图，叫做shadow map
- 将相机放回观察处，对场景渲染，在每一个pixel记录的场景位置，和光源做一个连线，计算深度h，再找到深度图中该连线对应像素的深度h'，如果 h 不等于 h'，则产生阴影
存在问题
Self-Shadow Aliasing
因为我们在shadow map中，每一个pixel都记录了一个深度，但场景中的点的数量是远远大于pixel的数量的，shadow map只是离散地采样了场景
我们往往用每个pixel中心的点来采样，代表这一块区域的深度，但一块区域内的深度往往是会有变化的
光源和地面法线夹角越大，区域内深度变化就越大，导致有可能在同一块区域，shadow map记录的深度和第二次渲染找到的深度有一定差距，而错误地得到了阴影
我们通过给深度加上一个bias，来解决这个问题，也就是只要深度差不超过bias，就不会生成阴影
slope scale bias是一个动态的bias，光源和地面法线夹角越大，bias就越大，更符合实际情况
Detached Shadow
在加上bias之后，在一些位置阴影会发生缺失
这是因为影子和遮挡物的距离比较近，这个距离有可能会bias抹去了，导致不生成阴影
PCSS
PCF
Percentage Closer Filtering是用来抗锯齿的算法，但同时也是生成软阴影的方法
核心在于，在第二次渲染时，原本是对每个fragment，查询shadow map中对应pixel的深度进行比较
现在是对每个fragment，查询shadow map中对应pixel所处的一片范围里每个pixel的深度，将fragment与该范围里每个pixel的深度一一比较，每个结果记录在一个矩阵中对应的位置
然后对该矩阵做一个卷积得到一个阴影值，代表该fragment的可见程度
算法
生活中，阴影的软硬程度是随着影子与遮挡物距离而变化的，距离越近影子越硬朗
PCSS的思路就是在距离比较小的地方，用比较小的卷积核做PCF，得到比较硬的阴影，否则用比较大的卷积核，让影子变软
这是我们建立的抽象模型，将距离与半影长度建立了联系
PCSS的算法步骤如下
其中blocker depth我们需要的是一个范围的平均blocker depth
这个范围我们通常通过如下方法来找到
将shading point和光源做连线得到一个锥体，锥体与shadow map相交的部分就是要求的范围
PCSS的数学形式，\(w\)代表加权的权值, \(\chi^+\)使得深度比较值变为0或者1
VSSM
算法
在PCSS中，第二次渲染时，我们用shadow map中的一块区域来和shading point比较，然后做卷积
在VSSM中转化为，找到该shading point的深度\(t\)，和shadow map该区域中深度分布\(P\)，求\(P(x>t)\)
我们将切比雪夫不等式看作一个约等式，来求\(P(x>t)\)
使用切比雪夫不等式时，其中\(\mu\)在记录shadow map时就记录下来
\(\sigma\)我们通过这个方程来计算
所以shadow map中还要记录深度的平方\(x^2\)，用来计算方差
VSSM也能将找平均blocker depth的步骤加速
我们把阴影接收部分看作一个平面，这样我们将\(z_{unocc}\)看作一个常数，也就是shading point的深度\(t\)
这样就可以计算出\(z_{occ}\)
SAT
Summed Area Table是用于范围求和的算法
我们可以用于快速查询shadow map中区域的\(\mu\)
SAT中每个点记录的是从左上角到该点覆盖的矩形区域的和
可用于快速查询任意矩形的和
存在问题
切比雪夫不等式的约等形式只在\(t>\mu\)时比较准确，如果超出这个范围可能会出现问题，比如light leaking
概率可以用Moment Shadow Mapping等算法估量得更加准确
我们把\(z_{unocc}\)看作常数在一些情况也会出现问题
Distance Field Soft Shadow
算法
Distance Field Soft Shadow可以高效计算出软阴影
SDF(Signed Distance Field) 的意义是，记录了三维场景中每个点，到离该点最近的物体的距离
渲染一个点的阴影时，算法先是用了ray marching的思想
从shading point向光源做ray marching，每次走SDF的长度，直到SDF收敛到一定程度（与物体发生接触）
Distance Field Soft Shadow的思路在于
在每次marching抵达的点，计算遮挡物与shading point连线和光源与shading point连线的夹角
找到所有计算得到的角度中最小的夹角，这个夹角越小，代表遮挡程度越大，阴影越深
这个夹角本应该用arcsin来解，但我们用如下右侧的方程来拟合，k是人为给定的系数
把阴影控制在[0,1]，如果k越大，阴影效果越容易达到饱和，影子就越硬，否则就得到较软的阴影
存在问题
SDF需要预计算，一个三维空间的SDF需要大量存储空间
这种算法也会造成瑕疵，叫做banding effect
在ray marching时，因为是离散地采样光线上的角度，会出现无法找到光线上最小角度的情况，就会出现light leaking
特别是在遮挡物是一个角(sharp corner)的时候，就容易发生这种情况
一个算法是，在ray marching每相邻两个采样点之间再加多一个采样点
如图，红点和绿点是原采样点，黄点是容易导致light leaking的地方，所以再加多一个采样点
如下是改进的效果
浙公网安备 33010602011771号