材质

材质概述

材质 = BRDF

BRDF具有几个性质

非负性
线性可加
可逆性
能量守恒
各向同性的BRDF的性质

根据渲染方程，假设在一个shading point
在一种情况下，入射的光在半球上是均匀的，反射的光也是均匀的漫反射，反射率albedo我们记为\(\rho\)
则任意方向的入射radiance \(L_i\)等于任意方向反射的radiance \(L_o\)，且\(L_i(\omega_i)\)是一个常数
得到如下推导，得到了BRDF的值

反射与折射

镜面反射的材质计算如下，Blinn-Phong还采用了半程向量来简化计算
我们用球坐标系中的\(\rho\)和\(\phi\)来记录坐标

折射我们要用到Snell's Law来计算\(\theta\)

当\(\frac{\eta_i}{\eta_t} > 1\)时，会发生全反射现象，也就是不存在折射，所以光只能从折射率低的物质向折射率高的物质折射

不同的材质有不同的Fresnel term，Fresnel term描述了，在不同的角度观察这个材质的物体，存在不同的反射与折射的情况
视线与观察物体的法线夹角较小时，看到的更多是折射，夹角更大时，看到的更多是反射

Fresnel Term的准确计算如下

但图形学中更多地使用Schlick's approximation来估计Fresnel Term

微表面理论

在较远处观察一个物体时，看到的是物体的材质，是粗糙的平面
靠得足够近观察该物体时，看到的是他的几何外形，是凹凸不平的而且都是镜面反射

比如尼龙材质的微表面如下

微表面的法线足够集中，就是glossy的材质，如果法线发散，就是diffuse的材质

我们基于微表面的物理模型，可以根据微表面的性质计算出BRDF
\(D(h)\)指的是在半程向量\(h\)方向上，微表面的法线集中程度，反射表面的法线只有在半程向量\(h\)附近，反射光线才能进入相机
\(G(I, o, h)\)用于描述的是，存在部分微表面被其他微表面遮挡住了光，而无法进行反射的情况，特别是在光的入射角度很大时，\(G(I, o, h)\)就用于修正BRDF

我们在实际生活中看到的物体表面往往是带有瑕疵，而不是绝对光滑的，渲染图也需要带上瑕疵

绝对的光滑产生是因为我们对微表面的法线分布\(D(h)\)项用了过于准确而没有瑕疵的正态分布

我们可以对微表面上一个小区域的法线分布进行观察，这个小区域向相机方向投影对应一个像素，可以得到微表面独特的法线分布
如果在整个微表面上观察法线分布，法线分布会几乎成正态分布。但观察小区域的法线分布，则有不同的表现。下图中是法线分布观察区域逐渐放大的结果，法线分布也逐渐趋于正态分布

Fresnel Term

其中Fresnel Term定义了，根据入射角和半程向量关系的变化，得到的反射比例
我们用Schlick's Approximation来估计

Normal Distribution Function

NDF定义了该点，向朝上半球各个方向上，法线的集中程度

有一些常用的NDF

Beckmann NDF
\(\alpha\)是表面粗糙程度，\(\theta_h\)是半程向量和法线夹角

GGX，也叫TF
比起Beckmann，具有长尾的性质，也就是从1过渡到0更加平滑，这也使得GGX比起Beckmann更符合实际

GTR
可以通过\(\eta\)控制曲线

Shadow-Masking

由于微表面上有起伏，会出现将光线遮挡的情况
一是会使光线无法照亮一些部分，也就是Shadow，二是使眼睛无法看见一些部分，就是Masking

我们常用The Smith Shadow-Masking Term
对不同的NDF有不同的Shadow-Masking Term

Multiple Bounces

由于应用微表面理论的公式时，我们只计算了在表面上一次bounce得到shading
而对于Diffuse的物体，表面起伏比较大，很多光线会在表面上做多次弹射，再进入人眼

因为我们忽略掉了Multiple Bounces，对于Diffuse物体，有很多能量没被考虑，导致颜色较暗

我们使用The Kulla-Conty Approximation来给BRDF加回Multiple Bounces的部分

我们可以用如下式子来计算出one bounce释放的能量总和，记为\(E(\mu0)\)

对于一个白色的物体，能量总和一定为1，则multiple bounces的能量总和，就是\(1 - E(\mu0)\)

对于multiple bounces的能量，我们可以用一个BRDF来拟合，这个BRDF在半球上的积分，一定是\(1 - E(\mu0)\)
这个BRDF，我们记为\(f_{ms}\)，验证过为如下式子，只要把\(f\)和\(f_{ms}\)加在一起，做积分，就是完整的shading了

其中\(E(\mu0)\)和\(E(avg)\)的计算都比较困难，我们用预计算的方式保存起来

加上Multiple Bounces后，就是正常的结果了

但对于有颜色的物体，能量是不为1的，我们对multiple bounces的BRDF乘上一个系数

其中\(F_{avg}\)为Fresnel Term的平均

各向同性与各向异性

材质分为两种：各向同性和各向异性

观察材质微表面的法线分布即可知道材质是各向同性还是各向异性
下图中，isotropic的微表面法线和方向没有什么关系，表现出来的就是各向同性，anisotropic的微表面法线和方向关系较大，表现出各向异性

从BRDF角度分析也可以知道
对于同一种材质，BRDF是由入射角和反射角决定的
如果入射角和反射角相对位置不变，而绝对位置发生改变，而BRDF变化，材质的外观也发生变化，则这种材质是各项异性
BRDF和外观不变的话则是各向同性
如下，BRDF本来是由4个自变量决定的，但对于各向同性的材质，BRDF只和入射角和反射角的相对位置有关，所以可以剩去一个自变量，降低了分析的维度

测量BRDF

物理模型计算出来的BRDF可能不准确，有时候我们需要自己测量BRDF

测量的方式如下，就是用light source照到材质上，camera用于接受反射光，可以记录BRDF
light source旋转360°，camera也旋转360°，记录所有的不同的入射角和反射角的\(\phi\)和\(\rho\)组合得到的BRDF

通过利用材质的各向同性和可逆性，可以减少测量所用时间

非表面模型

非表面模型概述

很多材质都是非表面模型，光不仅在表面上反射，还能折射进入内部
非表面模型不能用渲染方程，渲染方程只能用于物体表面的shading，和物体的体积等无关

散射介质

像云、雾等物体，就是散射介质

在穿过云时，可能存在冰晶
存在光被吸收和光被冰晶散射的现象
Phase Function规定了散射的方法

渲染散射介质的方法和路径追踪类似，具体如下

随机选择一个方向来散射
选择光直线传播的路径长度，路径越短代表介质吸收光的能力越强
在每一个shading point，都用一个特定的方程来计算直接光照和间接光照带来的shading

头发模型

头发不是一个平面，而是无数条条状纤维，光线和每一条头发作用
Marschner Model是比较好的对头发的建模
Marschner Model中，一根头发是一个类似玻璃材质的圆柱，圆柱外表皮是角质，会对光线产生部分折射和部分反射，内部是皮质，会吸收光

光在一根头发中，会有三种情况，分别为R, TT, TRT
R: Reflection 代表反射，T: Transmission 代表穿过角质发生折射
R情况是光线在第一次接触角质就反射
TT情况是光线穿过头发，总共发生了两次折射
TRT情况是光线先穿过第一层角质，然后在第二层角质处反射，接着穿过第一层角质

光和所有头发作用，就是在和一根头发作用后，又和另一根头发作用，不停进行下去，计算量很大

但动物的毛发和人的毛发结构中都有一个髓质结构，是在圆柱中心的一个半径较小的圆柱。人的髓质比较小，约占毛发横切面的15%，动物的髓质更大
Double Cylinder是更好的毛发模型，考虑了髓质的作用，髓质像一个散射介质，主要作用是对光的散射

光的传播并不一定接触到髓质，所以我们可以在Marschner Model三种情况上进行补充\(TT^s\)和\(TRT^s\)
\(TT^s\)：TT过程中在髓质中发生散射
\(TRT^s\)：TRT过程中在髓质中发生散射

Granular Material

多个小颗粒构成的大型结构
在远处看类似表面模型，但近看会出现颗粒状

表面模型

Translucent Material

包括玉石和水母：光从一个点折射进入物质内部，在内部又发生散射，从另一个点折射出去。
我们把这种模型叫做subsurface scattering

subsurface scattering可以理解为对反射方程的延申，subsurface scattering中的BRDF我们称为BSSRDF
反射方程中，入射光射到shading point上，反射光从shading point离开
subsurface scattering中，入射光射到shading point上，反射光从其他点离开