数理统计

目录

• 中心极限定理
• 大数定律
• 三大抽样分布
  • 卡方分布
  • \(t\)分布
  • \(F\)分布
• 五大抽样分布定理
• 点估计
  • 矩估计
  • 最大似然估计
• 估计量的评价标准
  • 无偏性
  • 有效性
  • 相合性
• 区间估计

中心极限定理

中心极限定理的实际含义

大数定律

三大抽样分布

卡方分布

自由度： 可独立变化的变量个数

如下是卡方分布的图形

卡方分布具有可加性

\(X_1^2 + X_2^2 + ... + X_{n1}^2 \sim \chi(n_1)\)

\(Y_1^2 + Y_2^2 + ... + Y_{n2}^2 \sim \chi(n_2)\)

\(X_1^2 + X_2^2 + ... + X_{n1}^2 + Y_1^2 + Y_2^2 + ... + Y_{n2}^2 \sim \chi(n_1 + n_2)\)

卡方分布的期望和方差如下

\(t\)分布

\(F\)分布

\(F\)分布具有以下性质

五大抽样分布定理

点估计

矩估计

用样本的均值\(\bar{X}\)和方差S近似估计用参数表示的总体的期望E(X)和方差D(X)

最大似然估计

最大似然思想： 一个随机试验有很多可能的结果。如果在一次试验中，某结果发生了，则认为该结果发生的可能性最大

似然函数就是每一个样本出现的概率之积

似然函数是以θ为变量的函数，找到使似然函数最大的θ，就是θ的估计值

估计量的评价标准

无偏性

若参数估计量\(\hat{θ}\)的期望 = θ，则该估计是无偏估计

偏差\(b_n(θ) = E(\hat{θ}) - θ\)，若偏差不为0，称该估计为有偏估计

若\(\lim_{n\to{+∞}}b_n(θ)\) = 0，则称该估计为渐近无偏估计

有效性

相合性

区间估计

双侧区间估计的定义

单侧区间估计的定义

求区间估计一般方法： 枢轴量法