牛客题解 | Gauss-Seidel法求解线性方程组

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Gauss-Seidel法是一种求解线性方程组的方法，其基本思想是通过迭代法求解。

具体步骤如下：

1. 初始化
   • 选择初始解向量\(x^{(0)}\)
   • 选择迭代步数\(k\)
2. 迭代过程
   • 对于第i个方程，使用公式：
     \(x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} (b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_j^{(k)})\)
     其中：
   • \(a_{ij}\) 是矩阵A中第i行第j列的元素
   • \(b_i\) 是向量b中第i个元素
   • \(x_j^{(k)}\) 是第k次迭代时的解向量中第j个元素
3. 迭代终止条件
   • 当\(x^{(k+1)}\)与\(x^{(k)}\)的差值小于给定阈值时，迭代终止
   • 本题中使用迭代次数代替阈值成为终止条件

标准代码如下

def gauss_seidel_it(A, b, x):
    rows, cols = A.shape
    for i in range(rows):
        x_new = b[i]
        for j in range(cols):
            if i != j:
                x_new -= A[i, j] * x[j]
        x[i] = x_new / A[i, i]
    return x

def gauss_seidel(A, b, n, x_ini=None):
    x = x_ini or np.zeros_like(b)
    for _ in range(n):
        x = gauss_seidel_it(A, b, x)
    return x