牛客题解 | 2x2矩阵的奇异值分解（SVD）

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2x2矩阵的奇异值分解（SVD）是一种常用的矩阵分解方法，用于将矩阵分解为两个正交矩阵和一个对角矩阵。

本题使用了一种几何方法，但基础原理是Jacobi方法，具体公式如下：

设矩阵A为：

\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

Jacobi方法的步骤如下：

1. 计算矩阵A的特征值和特征向量。
2. 通过旋转矩阵将A对角化，得到奇异值。
3. 最终的分解形式为：

\[A = U \Sigma V^T \]

其中，\(U\)和\(V\)为正交矩阵，\(\Sigma\)为对角矩阵，包含奇异值。
而本题利用几何方法简化了旋转矩阵的计算，具体公式如下：

\[U = \begin{bmatrix} -c1 & -s1 \\ -s1 & c1 \end{bmatrix} \]

\[s = \begin{bmatrix} (h1 + h2) / 2.0 \\ abs(h1 - h2) / 2.0 \end{bmatrix} \]

标准代码如下

def svd_2x2(A: np.ndarray) -> tuple:
    y1, x1 = (A[1, 0] + A[0, 1]), (A[0, 0] - A[1, 1])
    y2, x2 = (A[1, 0] - A[0, 1]), (A[0, 0] + A[1, 1])

    h1 = np.sqrt(y1**2 + x1**2)
    h2 = np.sqrt(y2**2 + x2**2)

    t1 = x1 / h1
    t2 = x2 / h2

    cc = np.sqrt((1.0 + t1) * (1.0 + t2))
    ss = np.sqrt((1.0 - t1) * (1.0 - t2))
    cs = np.sqrt((1.0 + t1) * (1.0 - t2))
    sc = np.sqrt((1.0 - t1) * (1.0 + t2))

    c1, s1 = (cc - ss) / 2.0, (sc + cs) / 2.0
    U = np.array([[-c1, -s1], [-s1, c1]])

    s = np.array([(h1 + h2) / 2.0, abs(h1 - h2) / 2.0])

    V = np.diag(1.0 / s) @ U.T @ A

    return U, s, V

本题也可以使用numpy库的linalg.svd函数实现，这里给出具体实现：

def svd_2x2(A: np.ndarray) -> tuple:
    U, s, V = np.linalg.svd(A)
    return U, s, V