牛客题解 | 模数求和

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解题思路

这是一道数学题目，主要思路如下：

1. 问题分析：

   • \(f(m) = (m\%a_1) + (m\%a_2) + ... + (m\%a_n)\)
   • 需要找到一个 \(m\) 使 \(f(m)\) 最大
   • \(a_i\) 的范围是 \([2, 10^5]\)

2. 关键发现：

   • 对于任意数 \(x\)，\(x\%y\) 的结果一定小于 \(y\)
   • 要使余数最大，\(m\) 应该比所有 \(a_i\) 都大
   • 对于每个 \(a_i\)，最大的余数是 \(a_i-1\)

3. 解决方案：

   • 对于每个输入的数 \(a_i\)，最大可能的余数是 \(a_i-1\)
   • 最终结果就是所有 \((a_i-1)\) 的和

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代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    long long sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int a;
        cin >> a;
        sum += a - 1;  // 每个数的最大余数
    }
    
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        
        long sum = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            sum += a - 1;  // 每个数的最大余数
        }
        
        System.out.println(sum);
    }
}

def main():
    n = int(input())
    nums = list(map(int, input().split()))
    
    # 计算所有最大余数之和
    result = sum(x - 1 for x in nums)
    print(result)

if __name__ == "__main__":
    main()

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算法及复杂度

• 算法：数学
• 时间复杂度：\(\mathcal{O}(n)\) - 只需要遍历一次输入数组
• 空间复杂度：\(\mathcal{O}(1)\) - 只需要常数级别的额外空间