kuangbin专题三（dance links） 题解与反思

dance links 题集题解

E、Square Destroyer

这一题比较麻烦的地方在于要删除掉特定行。本题中，由于题目会预先给你选过了部分行，所以我们要相应地删除这一部分。这十分考察我们如何理解DLX的数据结构。
那个H数组，储存的是第i行的某个节点，注意，这个节点完全是任意的。所以H数组当中的那个节点未必会一直是这一行当中的节点，有可能在删除别的节点时候顺便将这个节点删除，那么H数组当中存下来的值就完全没有意义了。
所以要删除某一行，不能够借助于H数组，而是转变思维，用dance当中的方法，就是将这一行的每一列删除。dance中的方法是，由行中的某个节点出发，断绝其他列与该列的关系。意思是，该列仍然保持与其他列的关系。并且这个节点并不断绝左右的关系，因为当删除完毕后，之后就需要还原回去，仍然有赖于这个节点。所以dance（mdlx中）每次其实是断绝一个十字与其他部分的关系。我们注意到，这个十字之后不应该再被访问直到还原，否则的话就会出现这个十字被破坏，之后就无法还原的问题。因为这个十字被删除了，所以我们可以理解为正常方法不应该访问到他。而在dance当中，由于访问总是从某个存在的列的某个节点出发，删除一个十字，而从那未被删除的节点（不是列标或者行标）出发，是不会访问到已经被删除的节点的。但是如果我们从H数组访问特定行，或者从D U数组访问特定列，那么就能访问到了，然而这是不可行，会造成问题的。
因为这一题当中，要删除的行是清楚的，然而我们并不能知道，这一行那个节点是存在的（H数组不保证存在）所以不能考虑H数组。那么就必须从列出发，依次遍历，找到这一列中属于该行的节点（有Row Col可以知道节点的行列坐标）然而我们并不知道这一行有哪些列，如果全部遍历一遍未尝不可，却太麻烦了。所以我们可以在建图的时候，先遍历一遍该列中是不是有些行已经被选中了，如果是，那么直接删除这列（用R L删除）就可以了。

F、Sudoku

这个数独问题我们完整解决了。首先注意到数独是一个精确匹配问题。当一行有了某个数，那么其他空格就不能填写这个数了。
首先我们来看一下要求，每个九宫格每行每列的1-9都不能重复，那么这里就有了三个要求。每个要求当中又有1-9九个小要求，或者具体的要求。那么我们可以将要求表述为，某个位置中某个数覆盖且仅覆盖一次。
考虑到精确覆盖问题可以表述为，从诸多选项中选出一些选项组合起来满足全部要求且仅仅满足一次。那么我们就首先看看我们可选的选项有哪些。显然，我们可以在\(9*9\)个格子当中，填入1-9，那么我们就有了\(9*9*9\)个选择项。
然后我们分析这个选择项中包含的与要求相关的属性。我们察觉到，有三重属性（九宫格编号 行标，列标）要求是，这个选择项的数字在上述三种属性所指示的空间内只出现一次。那么，我们就可以将诸多选择项分解出一些共通的属性出来，也就是，某一行、某一列、某一九宫格的1-9.此外这样的条件只能满足某一行有9个不重复数字，但是并没有说，这九个数字不能在同一个格子中。所以我们还要加上一个属性，就是其在九宫格中的位置。
另外本题可以大胆地删除某一行，还是按照dance的方法，将某一行的每一列删除，而不必担心会跨入那被删除的部分，因为本题的特性是，题目给出的数独是符合精确匹配要求的。所以，不会出现删除之前被删除的列的。

I、Divisibility

这一题是要考验我们理解DLX的算法过程的。这个题目的本质是很简单的，就是在一堆数当中选出尽可能多的数，在过程中每选择一个数，那么其倍数和因子就不能再选。所以这就是选出一个数，然后就排除若干数的过程。
我们需要找到一个算法，能够满足，选出一个数就排除一部分数。我们始终没有想到与DLX的关联，实际上这个关联是显而易见的。在DLX的执行过程中，我们是先选择一列，然后根据列选择某一行，然后将这一行覆盖的所有列删除。所以这里面完美地契合了我们的要求。就是选出一列，然后删除特定列。这里面，我们选择的一列，未必是我们要选的那个数，而是选择相应的行才是选择的数。
所以这一题是考验我们对于DLX的流程的理解，我们有一种将其作为黑箱子的倾向，这是不好的习惯，学习其他算法也有这样的倾向，我们需要仔细地思索算法过程以形成直觉。

J、A simple math problem

这一题我们误以为是一个组合数问题，实际上却是一个覆盖问题，当我们要从若干数字中选出R的幸运数字，我们一开始想的是这幸运数字已经确定了下来，只是不知道具体是多少而已，所以我们就不妨假设R个数字为1-R，然后根据这个算组合数，但是这个是错的。至于为什么错，没有搞清楚。
正确的做法是，将那R个数字的所有情况全部列出来，然后我们既然是在N个数字中选出M的数字，那么选出的那M的数字就可以覆盖掉若干R个数字的情况，这样如果我们将所有情况全部覆盖，那么就能保证中奖的。