2025年寒假算法天梯赛 04

C. 古老的打字机

• 题目往往没有你想象的那么难，所以在否定简单的想法之前，不妨先问问自己这个“漏洞”真的难以解决吗？许多时候，你与正确答案其实只差一步而已
• 本题最朴素的想法就是直接步步转移\(f_{i,j}\)，但是这样肯定不对呀，失配的情况怎么体现呢？于是兜兜转转一圈，推出三方做法后面对“卷积”式的转移束手无策。虽然题目一定是可做的，但这并不代表这种“卷积”式的转移一定可以优化，很可能你的大方向就错了，此时就需要你回顾思维过程。
• 其实，当“不匹配”的数填入后，它的故事还没有结束，因为它最终一定是要被删掉的，我们不妨等待一下，延迟到删除它的时候再处理
• 复习一下卡特兰数：关于n个0和n个1的排列，有奇数项为0的特点。但很可惜，它并不能帮你解决这道题
• 用匹配数j划分阶段 f[i][j]=f[i-1][max(j-1,0)]+f[i-1][j+1]*2 之所以有系数2，是因为退格之后我们并不关心上一个数是否填对，所以可以指定0变成1/指1为0，方案数是一样的，要注意此时第二维就不能只递推到m了，而要与n同阶。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int f[5005][5005];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int n;
	cin>>n;
	string s;
	cin>>s;
	int m=s.size();
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n&&j<=i;j++)
		{
			if(j)
			{
				f[i][j]=f[i-1][j-1];
			}
			else
			{
				f[i][j]=f[i-1][j];
			}
			f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j+1]*2%mod)%mod;
		}
	}
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

D. 倒水问题

• 有趣的一道题，原来小时候做的倒水问题的本质是扩展欧几里得算法呀。如果排行榜上其他同学没有那么快的AC这道题，你也能一下子就想到结论吗？

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		if(c%__gcd(a,b)==0)
		{
			cout<<"Yes\n";
		}
		else
		{
			cout<<"No\n";
		}
	}
	return 0;
}