伯努利数

伯努利数

我们可用有限积分求自然数下降幂的和，结果发现自然数普通幂的和我们居然还不会求？

我们定义 S：

\[S_m(n)=\sum_{i=0}^{n-1}i^m \]

可以发现这可以表示为 \(m + 1\) 次的多项式，可以拉差出它的系数，发现它的系数似乎很有规律。

假设 \(B(x) = \dfrac x{e^x - 1}\)，用 \(B_i\) 表示 \(i![x^i]B(x)\) 则有：

\[S_m(n) = \frac 1{m + 1} \sum_i^m \binom{m+1}iB_i n^{m+1-i} \]

序列 B 就是伯努利数，然后 \(B(x)\) 被称为伯努利数的 EGF。

推论：\(\sum_i^m \dbinom{m+1}iB_i =[m = 0]\).其实就是带入 \(n = 1\) 即可得到。不过没有用。

小小变化一下式子还可以得到：

\[\sum_{i = 0} ^{n-1}i^k=k!\sum_{i=0}^k\dfrac{B_{k-i}n^{i+1}}{{(k-i)!}(i+1)!} \]

给一个生成函数的证明：

为了方便使用生成函数，定义 \(F_n(x) = \sum\limits_{i}(\sum\limits_c^{n-1}c^i)\dfrac{x^i}{i!}\)，则有 \(S_m(n)=m![x^m]F_n(x) = \sum\limits_{i=0}^{n-1} i^m\)，继续推导 \(F\) 的式子：

\[\begin{aligned} F_n(x) =& \sum_{i}\sum_c^{n-1}\dfrac{c^ix^i}{i!}\\ =& \sum_c^{n-1}\sum_{i}\dfrac{(cx)^i}{i!}\\ =& \sum_c^{n-1}e^{cx}\\ =& \frac{e^{nx} - 1}{e^{x}-1}\\ \end{aligned} \]

其实如果只求自然数幂的和的话到这一步就可以了，但是为了装逼证明前面那个式子的正确性，还可以继续推导：

令 \(B(x) = \dfrac x{e^x-1},G(x)=\dfrac {e^{nx}-1}x\)，则 \(F_n(x)=B(x)G(x)\).

\[\begin{aligned} G(x) &=\dfrac {e^{nx}-1}x\\ &= \frac 1x\sum_{i=1}\frac{n^ix^i}{i!}\\ &= \sum_{i=0}\frac{n^{i+1}x^i}{(i+1)!}\\ \end{aligned} \]

所以有：

\[\sum_{i = 0} ^{n-1}i^k=k![x^k]B(x)G(x)=k!\sum_{i=0}^k\dfrac{B[k-i]n^{i+1}}{(i+1)!} \]

这里的 \(B[k-i]\) 表示 \(x^{k-i}B(x)\).