Prufer

Prufer

主要用于树计数。

定义（注意这不是官方定义）：把一个 n 个点的有标号无根树用一个长度为 \(n - 2\) 值域在 \([1, n]\) 的序列来表示，把这个序列称为 Prufer 序列，并且可以使用构造法证明Prufer序列与有标号无根树一一对应。

构造证明

从树构造 Prufer

Prufer 序列是树字典序最小的拓扑序的前 n - 2 项。

构造方法1：使用一个堆来维护所有叶子中编号最小的点，取出点后更新它父亲的度数。\(O(n\log n)\).

线性构造法：使用一个指针 P 来扫编号。如果扫到一个点度数大于 1 就跳过；度数等于 1 就把这个点的父亲加入 prufer 序列末尾，并且将其父亲度数减一。如果发现它的父亲变成了叶子（度数为 1），那么查看它父亲的编号。如果它的编号大于 P，就等到以后来处理；如果编号小于 P，那么立即把这个点的父亲加入 prufer 序列末尾，然后再看父亲的父亲节点是否变成了叶子节点...

如果你对这两种构造为何是等价的感到不解，建议随便画一颗树手动模拟。

从 Prufer 构造树

刚才我们有一个非常费解的操作，就是我们只取了最小字典序拓扑序的前 n - 2 项，这其实是为了满足 Prufer 的一个性质：每个点的度数恰好等于它在树中出现的次数 + 1，假设把最后两个点加入了，那么这么统计出来根的度数就多了 1。

由此观之，我们可以从 prufer 得到每个点的度数。我们可以用每个点的父亲构成的序列来表示一个树，可以假设这个树的根为 n。

然后把找到编号最小的叶子节点，那么这个叶子节点就对应了 prufer 序列的第一个数，也就是说 prufer 序列的第一个数就是这个点的父亲。

于是我们可以用类似于 从树构造 Prufer 的线性构造法 来构造 Prufer。

应用

利用Prufer序列与有标号无根树一一对应，我们可以知道一张有标号完全图的生成树数量为 \(n^{n-2}\)。