二次剩余

二次剩余

要看证明点这里.

定义

\[x^2\equiv n (\bmod p) \]

相当于模意义下开根。p 是奇素数。

解的个数

要么有两个互为相反数的解，要么没有。

欧拉准则

\[\left(\frac{n}{p}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \mathrm{n} \text { 是二次剩余 } \\ 0, & n \equiv 0(\bmod p) \\ -1, & \mathrm{n} \text { 是二次非剩余 } \end{array}\right. \]

可以证明 \(n^{\frac {n-1}2} \equiv \left(\frac{n}{p}\right)\).

Cipolla 算法

用随机化找到一个 \(a\)，使得 \(a^2 - n\) 是非二次剩余，定义模意义下的“虚根” \(i^2 = a^2-n\)，如果 n 是二次剩余，那么 \((a + i)^{\frac{p+1}2}\) 及其相反数是方程的二个根。