有趣的题

上厕所题解

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用到了概率期望和微积分的知识。

发现 t 其实没什么用，可以考虑 t 等于 1 的情况。为了简化问题，先考虑 k 等于 1 的情况。

用 \(X\) 代表随机变量，记 \(F(\min_1^n X_i \le x)\) 表示等待时间小于 x 的概率，\(x\in [0,1]\)。

\[F({X \le x}) = x \ \ \ \ \text{if n = 1} \]

\[\begin{aligned} F(\min_1^n X_i \le x) &= 1 - F(\min X_i > x)\\ &= 1 - (F(X>x))^n\ \ \ \text{很巧妙的一步，这相当与每个随机变量都大于 x}\\ &= 1 - (1 - F(X \le x))^n \\ &= 1 - (1 - x) ^ n \end{aligned} \]

我们需要对这个函数求期望。

\[\begin{aligned} E(\min_1^n X_i \le x) &= \int_0^1 x F'(\min_1^n X_i \le x)\\ &= \int_0^1(xF(\min_1^n X_i \le x))' - \int_0^1x'F(\min_1^n X_i \le x)\\ &= 1 \times F(\min_1^n X_i \le 1) - \int_0^1F(\min_1^n X_i \le x)\\ &= 1 - \int_0^1({-(1-x)^{n+1}\over n+1} + x)'\\ &= 1 - ({(1-1)^{n+1}\over n+1} + 1 - {(1-0)^{n+1}\over n+1} - 0)\\ &= {1\over n + 1}\\ \end{aligned} \]

注意，\([(1-x)^n]' = -n(1-x)^{n-1}\)，这里容易漏掉负号，不然你会对你推出来的负数期望陷入沉思。

发现答案是简洁的。

接下做 k 不为 0 的情况，记 M 为第 k 小的随机变量。

设 \(F(k < x)\) 为至少 k 个随机变量小于 x， \(G(k < x)\) 代表恰好有 k 个随机变量小于 x。

\[\begin{aligned} G(k < x) = \binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k} \\ F(k < x) = \sum_{i=k}^nG(i<x) = \sum_{i=k}^n\binom{n}{i} x^i(1-x)^{n-i} \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} E(k<x) &= \int_0^1xF'(k<x)\\ &= 1\times F(k < 1) - \int_0^1x'F(k<x)\\ &= 1 - \int_0^1 \sum_{i=k}^n\binom{n}{i} x^i(1-x)^{n-i}\\ &= 1 - \sum_{i=k}^n\binom{n}{i} \int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\\ \end{aligned} \]

\(\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\) 这个东西如果用二项式定理展开，反而不好搞，至少我是没化简出来。考虑用其他神秘方法：

\[\begin{aligned} \int_0^1 x^i(1-x)^{n-i} &= \left.\frac{x^{i+1}}{i+1}(1-x)^{n-1} \right\vert_0^1 - \int_0^1(i-n)(1-x)^{n-i-1}\frac{x^{i+1}}{i+1}\\ &= 0 + \frac{n-i}{i+1}\int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\\ \end{aligned} \]

对 \(\int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\) 也套用这个式子，反复套用，可得到：

\[\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i} = \frac{(n-i)(n-i-1)...(n - n + 1)}{(i+1)(i+2)...(i+n)}\int_0^1x^n(1-x)^{0} = \frac{i!(n-i)!}{(i+n)!} \]

套回原式：

\[E(k<x) = 1 - \sum_{i=k}^n\binom{n}{i} \frac{i!(n-i)!}{(i+n)!} = 1 - \frac{n-k+1}{n+1} = \frac k{n+1} \]

最后只需要把这个式子乘上一个 t 就是答案了，这个应该很好理解。

我认为这是一个很好的微积分练手题。