斯坦纳树

斯坦纳树

problem : 给定一个无向图，求一个连通 k 个关键节点的边权最小的子图。

k = 10

sol :

显然，求的是一颗树。

考虑对 k 那一维状压 dp。

设 f[s][i] ，s 是状压的 k，代表钦定 i 为树根， i 到点集 s 的最小代价。

1. 点 i 度数为 1， f[s][i] <- f[s][j] + w(i, j)，j 是枚举 i 连接的点，w(i,j) 就是边 i 到 j 的边权 。
2. 点 i 的度数不为 1，划分集合 s 为 （T，S / T），f[s][i] <- f[T][i] + f[S-T][i]。

初学时有一个我对转移 1 有一个疑惑，就是如果 i 是关键点并且 i 在集合 s 中的时候这个东西会不会有问题？

如果 i 是关键点，初始化 f[(1<<i)][i] = 0 ，其他初始化为 inf 即可，因为转移 1 先处理了 f[s/i][i] ，然后通过转移 2 ，f[s][i] = f[s/i][i]。故没有问题。

对于第一个转移，如果把 f[s][i] 看成 dis[i] 那么就是最短路的松弛操作。对于每个 S 跑 spfa。

第二个转移，直接枚举子集做 for (int T = S & (S - 1); T; T = (T - 1) & S) 。

复杂度：\(O(n3^k+nm2^k)\)。