做题笔记 #5

小清新构造水题。

似乎题解区还没有像我这样找环然后拓扑排序的做法。也可能是我没看到。

题意

给定一个简单无向连通图，现在要你选一些边删去，使图不连通，而且没有孤立点。

分类讨论图中是否存在环：

一、存在环

发现不合法的情况只有三个点形成环的情况，也就是 \(n\) 和 \(m\) 都等于 \(3\)。

对于合法的情况，找到环中度数最小（指原图的度数）的点，再找到环上这个点所连的度数最小的点，把这两个点与环上其他的点的边删去（这句话有点拗口，多想想）。

这时候，这两个被选出来的点一定不是孤立点（因为已经有两个点了）。因为不是三个点构成的环，而且环上剩下的点又不是环中度数最小的点，那么剩下的点一定不是孤立点。所以该方案合法（本题关键）。

二、不存在环

说白了就是一颗树。

发现菊花图一定不合法。

如果不是菊花图，那么选一个非叶子节点。因为不是菊花图，所以可以找到一个和该点相连的非叶子节点。删除这两个点所连的边后，图就不连通啦！

怎么想到的：

一个直观的想法不管度数为 \(1\) 的点。可以把这些点删掉。一直重复这个过程，有点像拓扑排序。

那么最后一定会剩下一个环（也许因该叫点双？都无所谓啦~）。分讨一下发现可以做。

具体实现

找环直接用拓扑排序。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
inline int read() {
	int x = 0; bool f(0); char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) f = ch == '-', ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) x = (x<<1) + (x<<3) + (ch^48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
int n, m, du[N], cdu[N];
bitset < N > vis;
queue < int > q;
vector < int > edge[N], delu, delv;
void sub2() {
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(du[i] == 1) q.push(i),vis[i] = 1;
	while(!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		for(auto y : edge[x]) if(!vis[y]) {
			du[y] --;
			if(du[y] == 1) q.push(y), vis[y] = 1;
		}
	}
	int mn = 0, mv = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!vis[i] && (!mn || cdu[i] < cdu[mn])) mn = i;
	for(auto v : edge[mn]) if(!vis[v]) {
		if(!mv || cdu[v] < cdu[mv]) mv = v;
	}
	for(auto v : edge[mn]) if(!vis[v] && v != mv) {
		delu.push_back(mn);
		delv.push_back(v);
	}
	for(auto v : edge[mv]) if(!vis[v] && v != mn) {
		delu.push_back(mv);
		delv.push_back(v);
	}
	printf("%d\n", (int)delu.size());
	for(int i = 0; i < (int)delu.size(); ++i) {
		printf("%d %d\n", delu[i], delv[i]);
	}
}
void sub1() {
	int mn = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(du[i] != 1) {
		mn = i;
		break;
	}
	for(int v : edge[mn]) if(du[v] != 1) {
		printf("1\n%d %d\n", mn, v);
		return ;
	}
	puts("-1");//菊花。 
}
int main() {
	n = read(), m = read(); 
	if(n == 3 && m == 3) {
		puts("-1");
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		int u = read(), v = read();
		cdu[u] ++, cdu[v] ++;
		du[u] ++, du[v] ++;
		edge[u].push_back(v);
		edge[v].push_back(u);
	}
	if(m == n - 1) sub1();
	else sub2();
	return 0;
}