累乘性质（prod）

累加 \(\sum\).

咕咕咕。。。具体上有

累乘 \(\prod\)

\[\begin{align*} &\prod i^k = (\prod i)^k \text{ 乘法的交换律可推} \\ &\prod^n_ii\times k = k^n \prod i \text{ 乘法的交换律可推}\\ &\prod_k i \times j = (\prod_k i) (\prod_k j) \text{乘法的交换律可推，注意这里k可以与i、j有关}\\ &\prod_j^B \prod^A_i i = (\prod_i i)^B = \prod_i i^B = \prod_i^A \prod_j^B i\\ &\prod_j^B \prod^A_i j\times i = \prod_j^B j^A {\prod^A_i i} = (\prod_i^Ai)^B(\prod_j^B j)^A = (\prod j)^A (\prod i) ^ B \\ \end{align*} \]

因为 \(x^a\times x^b = x^{a+b}\)，所以 \(\prod_i x^ {f(i)} = x^{\sum f(i)}\), 这就是 \(\prod\) 把无关变量提到式子外面的方法。

这玩意的推广：

\[\prod_i \prod_j x ^ {f(i,j)} = x^{\sum_i\sum_j f(i,j)} \]

再回来看 \(\prod^n_i k = k^n\) 这个式子相当于 \(\prod^n_i k = \prod^n_i k^1 = k^{\sum^n 1} = k ^ n\).(感觉这个推这个式子可以凸显我足够地唐)

因为 \(e^{\log_e x} = x\) ,即 \(\exp(\ln x) = x\)。又因为 \(\log(MN) = \log M + \log N\)，即 \(\log(\prod a_i) = \sum \log a_i\).

所以 \(\prod_i f(i) = \exp(\ln(\prod_i f(i))) = \exp(\sum \ln(f(i)))\)，这样就可以把讨厌的 \(\prod\) 变成人畜无害的 \(\sum\) 了！