欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数

定义

\(\Large{\varphi(p)}\) 为小于 \(p\) 且与 \(p\) 互质的数的个数。

性质

1. 积性
   积性定义： \(φ(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\) (\(a,b\)互质时)

   具有积性的函数叫积性函数。

   如果 a,b 不互质时仍然是积性，那就是完全积性函数。

   欧拉函数积性的证明：
   令 \(n = \prod p_i^{c_i}\)
   则 \(\varphi(n)\) = $\Large{n * \prod (1-\frac{1}{p_i})} $ 其中 \(\prod\) 中每一项表示因数\(p_i\)不出现的频率
   "ab = n并且a,b互质" 可以转化成 "把一部分因数 \(p_i^{c_i}\) 分给a,另一部分分给b." 所以等式成立，证毕。

2. 若 \(p\) 为质数，\(\varphi(p) = p - 1\)。

3. 对于 \(n > 2\)，\(\varphi(n)\) 是偶数。

4. \(\sum\limits_{d\mid n} \varphi (d) = n\)，或写为 \((\varphi\otimes 1)(n) = n\)，这里的 $\otimes $ 表示范德蒙卷积，这个式子在莫反中相当有用。

求欧拉函数的方法

1. 因为是积性的，所以可以用线性筛。\(O(n)\)
2. \(\varphi(n)\) = $n * \prod \frac{p_i-1}{p_i} \(，所以直接分解质因数。\)O(\sqrt n)$
3. 用杜教筛，但筛出来的是前缀和。\(O(n^{2\over 3})\)

欧拉定理

若 \(\gcd(a,p)=1\)，则 \(a^c\equiv a^{c\bmod \varphi(p)}\pmod p\)

\(p\) 是质数的时候等价于费马小定理。

证明：

\(a^{\varphi(p)}\)
令比 \(p\) 小且与 \(p\) 互质的集合为 \(\{x_1,x_2……x_{\varphi(p)} \}\)

因为 \(a,p\) 互质，所以集合 \(\{ax_1,ax_2,……ax_{\varphi(P)}\}\) 中的数仍然与 \(p\) 互质，且对 \(p\) 取模后互不相同。

（对前面结论的证明）因为 \(a\) 和 \(x\) 中都无 \(p\) 的因子，所以与 \(p\) 互质。如果两数相同，则 \(a(x_i - x_j) \equiv 0\)，a 没有 p 的因子，后面一项比 p 小，所以同余式不成立，所以得出对 \(p\) 取模后互不相同。

所以两边集合在排序后完全等价。

两边集合乘起来：

\[\prod ax_i ≡ \prod x_i (\bmod p)\\ a^{\varphi(p)}\prod x_i ≡ \prod x_i (\bmod p)\\ 0 ≡ Πx*（a^{fine(p)} - 1） \]

∵\(\prod x\) 与 \(p\) 互质，∴809057\(a^{\varphi(p)} - 1\)是p的倍数

∴$ a^{fine(p)} ≡ 1 （\bmod p)$

\(\therefore a^c\equiv a^{c\bmod \varphi(p)}\pmod p\)

拓展欧拉定理（ \(a\) 和 \(p\) 不用互质）

\[a^c\equiv\begin{cases}a^{c\bmod \varphi(p)} &\gcd(a,m)=1\\ a^c &\gcd(a,m)\neq 1 \land c< \varphi(p)\\ a^{c\bmod \varphi(p)+\varphi(p)} &\gcd(a,m)\neq 1 \land c\ge \varphi(p) \end{cases} \pmod p \]

感性证明：对于 \(a^c \bmod m\) 的值只在 \([0,m)\) 中，而且 \(a^c \equiv a^{c-1}a\)，那么对于任意一个数 (\(a^{c-1}\)) ，那么很容易就能知道它的 后继 (\(a^c\))，在有限的空间内这一定会形成一个循环。可以证明，这个环的长度是 \(\varphi(p)\) 的因子。形式化的证明点这里

这可能是一个混循环（环的后面跟一个尾巴的形式），所以先走 \(\varphi(p)\) 步进入环，再把剩余的步数对环的长度的倍数 \(\varphi(p)\) 取模。写出来就是 $\Large{a^c\equiv a^{c\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}} $

注意：当 \(c \lt \varphi(p)\) 时，这个余数可能还没有进入环，所以只能暴力地去跑快速幂。（也就是公式的第二行）