自然对数 e

简介

自然对数的底数 $ e $ 是一个数学常数，其值约为 2.71828。$ e $ 有多种等价的定义，下面是一些常见的定义：

定义一：作为微积分中的唯一值(导数等于自身)

这个定义是最本质，最常用的

$ e $ 是唯一一个底数 \(a\) ，使得函数 $ f(x) = a^x $ 的导数等于其自身的值。即：

\[\frac{d}{dx} e^x = e^x \]

也可以写为：

\[(e^x)' = e^x \]

定义二：作为无穷级数的和

\[e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots \]

定义三：作为极限（少见，但是偶尔有奇效）

\[e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \to 0} (n + 1)^{\frac{1}{n}} \]

定义四：作为自然对数的底数

$ e $ 是自然对数函数 $ \ln(x) $ 的底数，即：

\[\ln(e) = 1 \]

定义五：在复数中的定义(欧拉公式)

在复数分析中，$ e $ 可以通过欧拉公式定义：

\[e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]

当 $ x = \pi $ 时，我们得到欧拉恒等式：

\[e^{i\pi} + 1 = 0 \]

定义5的证明：
已知 \(i^2 = -1\)
已知(通过泰勒展开)

\[\sin x=\frac{1}{1!} x+\frac{-1}{3!} x^{3}+\frac{1}{5!} x^{5}+\frac{-1}{7!} x^{7}+\ldots \ldots \]

\[\cos x=\frac{1}{0!} x^{0}+\frac{-1}{2!} x^{2}+\frac{1}{4!} x^{4}+\frac{-1}{6!} x^{6}+\ldots \ldots \]

\[\begin{align} (e^{ix})' = ie^{ix}\\ (e^{ix})^{(2)} = i^2e^{ix} = -e^{ix}\\ (e^{ix})^{(3)} = i^3e^{ix} = -ie^{ix}\\ (e^{ix})^{(4)} = i^4e^{ix} = e^{ix} \end{align} \]

当x = 0时：

\[\begin{align} e^{ix} = 1\\ ie^{ix} = i\\ -e^{ix} = -1\\ -ie^{ix} = -i \end{align} \]

在0处将\(e^{ix}\)泰勒展开：

\[e^{ix} = \frac{1}{0!}x^0 + \frac{i}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{-i}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{i}{5!}x^5 + \frac{-1}{6!}x^6 + \frac{-i}{7!}x^7 + \cdots = \cos x + i \sin x \]

点击详见：泰勒展开

总结

这些定义都描述了 $ e $ 的不同方面，但它们都是等价的。$ e $ 在数学中扮演着重要的角色，特别是在微积分、复数分析和概率论中。