四种求逆元方法小结

逆元（自学内容）

定义：若 \(ax≡1 \bmod f\), 则称 \(a\) 关于 \(1\) 模 \(f\) 的乘法逆元为 \(x\) 。也可表示为 \(ax≡1(\bmod f)\)。
当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有解。
如果不互素，通过公式‘a/b mod p = (a mod (b·p)）/b’来转化
计算逆元方式：（条件a,p互质）

1. 费马小定理（ a\(^{p-1}\)≡1(mod p)）（a,p互质时，\(a^{fine(p)} = 1 (mod p))\)
   变形为a * a\(^{p-2}\)≡1(mod p)
   因为逆元x定义为a*x≡1(mod p),
   所以x=a\(^{p-2}\) (mod p)(可用快速幂求）

证明费马小定理：数学归纳法
\((x + 1)^p = x^p + 1\) (mod p)
证明2：\(a^{\varphi(p)}\)
{x1,x2,x3……\(x_{fine(p)}\)} <=> {ax1,ax2,……\(a*x_{fine(P)}\)}
两边集合乘起来：
\(Πx ≡ Πx* a^{fine(p)}\) (mod p)
\(0 ≡ Πx*（a^{fine(p)} - 1）\)
∵Πx 与 p互质，∴\(（a^{fine(p)} - 1）\)是p的倍数
∴$ a^{fine(p)} ≡ 1$ （mod p)

2. 拓展欧几里得算法（exgcd）
   用于求解模数p不是质数时的逆元。
   \(ax≡1 (mod\ p)\) 可变形为 \(ax - kp = 1\)
   然后就可以用exgcd来求了。复杂度 \(O(logn)\)

3. 阶乘逆元
   线性递推求阶乘：\(jc_i = jc_{i-1} \times i\ \%\ mod\)
   用费马小定理求 \(n!\) 的逆元 \(inv_n = qpow(n, mod-2)\)
   那么

\[jc_n \times inv_n \% mod = 1\\ jc_{n-1} \times n \times inv_{n} \% mod = 1 \\ ∴ inv_{n - 1} = inv_{n} \times n \\ \]

于是就可以递推求阶乘逆元，\(O(n)\) 预处理，\(O(1)\) 询问。

4. 线性求逆元

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对于当前的 i，我们设 p=k×i+r。于是

\[\begin{align*} k\times i + r &\equiv 0\pmod{p}\\ k\times i\times (i^{-1}\times r^{-1})+r\times (i^{-1}\times r^{-1}) &\equiv 0\pmod{p}\\ k\times r^{-1}+i^{-1} &\equiv 0\pmod{p}\\ i^{-1} &\equiv -k\times r^{-1}\pmod{p}\\ i^{-1} &\equiv -\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor\times r^{-1}\pmod{p} \end{align*} \]

这个是应该也是 \(O(n)\) 的

Inv[ 1 ] = 1;
for( int i = 2; i <= n; i++ )
	Inv[ i ] = ( p - p / i ) * Inv[ p % i ] % p;
//或
int inv(int x) {x == 1 ? 1 : ( p - p / i ) * inv( p % i ) % p;}