数论入门

数论

模运算和同余

定义模运算(mod) ：\(a\%b = a - [a/b] * b;(b > 0)\)
定义同余 ：若 \(a \equiv b（mod\ m）则 m | (a-b)\)
（注：下文省略mod m）
自反性：\(a \equiv a\)
对称性：若 \(a \equiv b\) 则 \(b \equiv a\)
传递性：若 \(a \equiv b\) 且 \(a \equiv c\) 则 \(b \equiv c\);
可加性：若 \(a \equiv b\) 则 \(a+c \equiv b+c\);
更牛的可加性 ：若 \(a \equiv b\) 并且 \(c \equiv d\) 则 \(a + c \equiv b + d\);
可乘性：若 \(a \equiv b\), 且 \(c \equiv d\)，则 \(ac \equiv bd\)
可除性：若 \(a \equiv b\), 且 模数m与c同余，则 \(a/c \equiv b/c\)

最大公因数gcd求法（辗转相除法）

int gcd(int a, int b){
    return !b ? a : gcd(b, a%b);
}

exgcd(用于解不定方程和求非质数意义下的逆元）:

方程：ax + by = c (a,b,c均为整数，求x，y的整数解）

核心思路：在求gcd的末状态求出\(x_末，y_末\)，又因为有个天才脑洞大开发现可以顺着gcd递归回去，于是可以求出一组x，y的特解，再找通解的表达。

具体做法：

当c 不是 gcd（a,b) 的倍数，时无x，y整数解

否则：ax + by = k * gcd，可先求出x/k，y/k

gcd末状态：

a = gcd， b = 0。此时\(x_末 = 1, y_末随机取\)

gcd的转移方法是:ax + by = gcd = bx' + (a - \({\lfloor a / b \rfloor}\) * b)*y';(gcd的递归转移)

整理一下：x = x' - \({\lfloor a / b \rfloor}\) * y', y = x'

递归回去可得一组x/k，y/k的整数解， 再乘上k就是一组x，y的特解

接下来就是求通解：

先令有解{x1,y1}{x2,y2}

\(ax_1 + by_1 = c\)
\(ax_2 + by_2 = c\)
\(∴a(x_1 - x_2) = b(y_2 - y_1)\)
\(两边同除gcd(a,b)，得a'(x_1 - x_2) = b'(y_2 - y_1)，此时a'与b'互质\)
\(∴(x_1 - x_2) = k * b', (y_2 - y_1) = k * a'\)
\(整理一下：x_1 = k * b' + x_2，y_1 = y_2 - k * a'（k为任意, x_2,y_2为特解，x_1,y_1为通解)\)
代码：

void exgcd(long long a, long long b){
	if(b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		gcd = a;
		return ;
	}
	exgcd(b, a % b);
	tmp = x, x = y, y = tmp - (a/b) * y;
}

用exgcd求逆元：ax = 1 (mod p) => ax = 1 + pk => ax - pk = 1，然后就可以开始解不定方程了。

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