子集和dp

子集和dp

用处

1. 统计n维偏序，但是每一维的大小只能是2。
2. 计算子集权值之和。

实际上以上两种问题是等价的。
例如目前有一个集合：101（其中1表示有某个物品，0表示没有）。
那该集合包涵的子集有4个：101，100，001，000。现在要把这4个集合的权值加起来。

按照第二种理解（用处），我们可以一位一位地来dp计算贡献。
设 \(f_{i,j}\) 表示正在计算数字j的贡献，处理到了第i位的答案（也可以理解为前i位与j可能不同，但后面的位都与j相同）。

转移方程：
若j的第i位为0，则这一位只能为0 ：\(f_{i,j} = f_{i-1,j}\)
若j的第i位为1，则这一位能为1或0：\(f_{i,j} = f_{i-1,j} + f_{i-1,k}\)
其中，k的第i位是0，其余位与j相同，即 \(k = j \oplus 2^i\)

外层循环枚举i，可把i那一位滚掉。实际写的时候是在计算\(f_{i-1,k}\)时来更新\(f_{i,j}\)。反正 \(f_{i-1,j}\)也不会去更新其他数，所以内层枚举顺序不重要。

代码短小精悍：

for(int j = 1; j < (1<<K); ++j) f[j] = val[j];//init
for(int i = 0; i < K; ++i) 
  for(int j = 0; j < (1<<K); ++j)
    if(!(j >> i & 1)) f[j | (1 << i)] += f[j];

复杂度是非常标准的\(O(MlogM)\), 其中M为值域。

例题:为了可以带修改，使用根号重构。

注意：每次子集和dp的复杂度都是与值域相关，与实际数的个数无关（考虑优化）。