[数据结构] 串与KMP算法详解

写在前面

今天是农历大年初三,祝大家新年快乐!

尽管新旧交替只是一个瞬间,在大家互祝新年快乐的瞬间,在时钟倒计时数到零的瞬间,在烟花在黑色幕布绽放的瞬间,在心底默默许下愿望的瞬间……跨入新的一年,并不意味了一切都会朝着更美好,也没有什么会从天而降,我们赋予了它这份意义,让它自然裹挟着新的爱与希望而来。
当我的视线跃过癸卯兔年,一路的海浪翻涌千叠阳关,才发现此间飘零无关风月,只是山海与风又如期周游了人间一趟。
《人民日报》说,人生这条路很长,未来星辰大海般璀璨,不必踌躇于过去的半亩方塘,这些所谓的遗憾,可能是一种成长,那些曾受过的伤,终会化作光照亮前方的路。
总有一天你会明白,真正治愈你的从来都不是时间,而是你心理的那份释怀与格局,只要你的内心不慌乱,连世界都难影响你。

串的定义和实现

串的定义

串(string)是由零个或多个字符组成的有限序列。一般记为:

\[S = 'a_1 a_2 \dots a_n' \quad (n \geq 0) \]

其中\(S\)是串名,\(a_i\)可以是字母,数字或其他字符。

串中任意连续多个的字符组成的子列称为该串的子串,包含子串的串称为主串。某个字符在串中的序号称为该字符在串中的位置

\(e.g.\)\(A = ' \text{China Beijing} ', B = ' \text{Beijing} ', C = ' \text{China} '\),则他们的长度分别是13,7,5,B和C是A的子串,B在A的位置是7。

串的存储结构

定长顺序存储表示

在串的定长顺序存储结构中,每个串变量分配一个固定长度的存储区:

#define MaxLen 255
typedef struct {
    char ch[MaxLen]; // 每个分量存储一个字符
    int length; // 串的实际长度
}String;

串长只能小于等于MaxLen,超过预定义长度的串被舍去,称为截断

串长的两种表述方式:

  • 用一个额外的变量len来存放串的长度
  • 在串值后面加一个不计入长度的结束标记字符"\(\text{\\ 0}\)",此时串长为隐含值

堆分配存储表示

堆分配存储表示以一组地址连续的存储单元存放串值的字符序列,但存储空间是在程序执行过程中动态分配得到

typedef struct {
    char *ch;
    int length;
}String;

串的匹配模式

简单的模式匹配算法

子串的定位操作通常称为串的模式匹配,它求的是子串(模式串)在主串中的位置。

思想:从文本串的第一个字符开始匹配,如果当前字符匹配成功,则继续匹配下一个字符,否则回溯到上一个匹配的位置,重新从下一个位置开始匹配。如果模式串已经遍历完,说明匹配成功,返回匹配的起始位置,否则匹配失败,返回-1。

int simple_match(char *s, char *p) {
    int i = 0, j = 0;
    while(s[i] != '\0' && p[j] != '\0') {
        if(s[i] == p[j])
            i ++, j ++;
        else {
            i = i - j + 1;
            j = 0;
        }
    }
    if(p[j] == '\0')
        return i - j;
    else
        return -1;
}

这是一种暴力匹算法,时间复杂度为\(O(mn)\),m和n分别表示主串和模式串的长度。

我们设主串\(S = 'ababcabcacbab'\),模式串\(p = 'abcac'\)进行图解,后文图解两串同。

image

KMP算法

如上图所示,在第三趟匹配中,\(i = 7, j = 5\)的字符比较,结果不等,于是回退到\(i = 4, j = 1\)重新比较。其实我们可以发现,中间第四、五、六趟比较其实都是不必进行的,可以直接到\(i = 7, j = 2\)开始比较。

字符串的前缀、后缀和部分匹配值

前缀:除最后一个字符以外,字符串的所有头部子串;

后缀:除第一个字符外,字符串的所有尾部子串;

部分匹配值:字符串的前缀和后缀的最长相等前后缀长度;

\('ababa'\)为例:

image

我们可以得到该字符串的部分匹配值为:00123

回到最初的问题,将模式串改写成数组的形式,得到部分匹配值表(PM表)

编号 1 2 3 4 5
S a b c a c
PM 0 0 0 1 0

记住一个公式,非常重要:

\[移动位数= 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值 \]

下面用PM表来进行字符串匹配:

image

第一趟匹配过程:发现c与a不匹配,前面两个字符ab匹配,查表,最后一个匹配字符b对应的部分匹配值是0,由公式可得,将子串向后移动2位,进行第二趟匹配:

image

第二趟匹配过程:发现c与b不匹配,前面四个字符abca匹配,最后一个匹配字符a对应的部分匹配值为1,由公式可得,将子串向后移动3位,进行第三趟匹配:

image

第三趟匹配过程:匹配成功。

整个匹配过程中,主串没有发生过回退,所以KMP算法可以在\(O(m+n)\)的时间数量级上完成串的模式匹配。

KMP算法的原理

image

如图2所示,当c与b不匹配时,已匹配的\('abca'\)的前缀a和后缀a为最长公共元素,因此无需比较,直接将子串按照公式移动对应位数,如图3所示:

image

对算法的改进方法:

已知:右移位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值;

写成:\(Move = (j - 1) - PM[j - 1]\)

使用部分匹配值时,每当匹配失败,就去找它前一个元素的部分匹配值,将PM表右移一位,方便直接看自己的部分匹配值。

将例子中模式串PM表右移一位,得到next数组:

编号 1 2 3 4 5
S a b c a c
PM 0 0 0 1 0
next -1 0 0 0 1
  • 第一个元素右移以后空缺的用-1来填充,因为若第一个元素匹配失败,则需要将子串右移一位,而不需要计算子串移动的位数;
  • 最后一个元素在右移时溢出,因为原来的子串中最后一个元素的部分匹配值是下一个元素使用的,但已经没有下一个元素了,舍去。

于是上式改写成:\(Move = (j - 1) - next[j]\)

最终得到子串指针变化公式 \(j = next[j]\)。在实际匹配过程中,子串在内存中是不会移动的,而是指针的变化。

\(next[j]\)的含义是:当子串的第i个字符与主串发生失配时,跳到子串的next[j]位置重新与主串当前位置进行比较

本人在网上查阅相关资料时,没有找到任何有关next数组的推导公式证明,此外由于本人近日感冒腰扭了,坐着打字痛的一批,后面我好了看到这里再补充,接下来我们直接看求next值的代码:

void get_next(char *p, int *next) {
    int i = 0, j = -1;
    next[0] = -1;
    while(p[i] != '\0') {
        if(j == 1 | p[i] == p[j]) {
            i ++, j ++;
            next[i] = j;
        }
        else {
            j = next[j];
        }
    }
}

KMP的代码:

int index_KMP(char *s, char *p, int *next) {
    int i = 0, j = 0;
    int s_len = strlen(s), p_len = strlen(p);
    while(i < s_len && j < p_len) P
        if(j == -1 || s[i] == p[j])
            i ++, j ++;
    	else
            j = next[j];
    if(p[j] == '\0')
        return i - j;
    else
        return -1;
}

题目:来自AcWing 831

给定一个字符串 S,以及一个模式串 P,所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。
模式串 P 在字符串 S 中多次作为子串出现。
求出模式串 P 在字符串 S 中所有出现的位置的起始下标。

输入格式
第一行输入整数 N,表示字符串 P 的长度。
第二行输入字符串 P。
第三行输入整数 M,表示字符串 S 的长度。
第四行输入字符串 S。

输出格式
共一行,输出所有出现位置的起始下标(下标从 0 开始计数),整数之间用空格隔开。

数据范围

\(1 \leq N \leq 10^5\)

\(1 \leq M \leq 10^6\)

输入样例

3

abc

5

ababa

输出样例

0 2

完整代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100000 + 10, M = 1000000 + 10;
int n, m;
char p[N], s[M];
int next[N];

int main() {
    cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;
    for(int i = 2, j = 0; i <= n; i ++) {
        while(j && p[i] != p[j + 1])
            j = next[j];
        if(p[i] == p[j + 1])
            j ++;
        ne[i] = j;
    }
    for(int i = 1, j = 0; i <= m; i ++) {
        while(j && s[i] != p[j + 1])
            j = next[j];
        if(s[i] == p[j + 1])
            j ++;
        if(j == n) {
            printf("%d ", i - n);
            j = next[j];
        }
    }
    return 0;
}

KMP的进一步优化

这里也仅给出代码,后面再补吧,菜鸡博主痛得不行了

void get_nextval(char *p, int *nextval) {
    int i = 0, j = -1;
    nextval[0] = -1;
    while(p[i] != '\0') {
        if(j == -1 || p[i] == p[j]) {
            i ++, j ++;
            if(p[i] != p[j])
                nextval[j] = j;
            else
                nextval[i] = nextval[j];
        }
        else
            j = nextval[j];
    }
}
posted @ 2024-02-12 18:10  诩言Wan  阅读(209)  评论(0编辑  收藏  举报