引言

大家好！今天我们将讨论一个非常经典的物理问题—氢原子问题，并使用 Python 来进行求解。氢原子问题是量子力学中的基础问题，它帮助我们理解原子内部的电子结构及其能量水平。通过这篇文章，大家将学会如何使用 Python 来数值求解氢原子的能量值。

1.氢原子问题是什么？

氢原子由一个质子和一个电子组成，其中质子位于原子核，而电子围绕质子在一个特定的轨道上旋转。在经典物理中，我们认为电子沿着某条轨道做圆周运动，但量子力学告诉我们，电子的状态并不是简单的轨道运动，而是被描述为波函数，并且电子只能在某些特定的能量值下稳定存在。

氢原子的能量问题就是求解电子在氢原子中的能量状态，它是由薛定谔方程(Schrödinger equation)来描述的。氢原子的薛定谔方程是一个非常复杂的偏微分方程，具体的形式如下：

\[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\vec{r}) - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r} \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) \]

其中：

  • \(\hbar\) 是约化普朗克常数
  • m 是电子的质量
  • \(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符，表示空间的二阶导数
  • e 是电子的电荷
  • \(\epsilon_0\) 是真空电常数
  • r 是电子与质子之间的距离
  • \(\psi(\vec{r})\) 是电子的波函数
  • E 是电子的能量

求解这个方程可以得到氢原子的能量谱，也就是电子能量的离散化值。

2.量子力学中的能级

在氢原子中，电子的能量是量子化的，不能任意取值。具体来说，电子的能量是离散的，只有某些特定的能级是允许的。这些能级由以下公式给出：\(E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{eV}\)

其中，n 是主量子数，\(n=1, 2, 3, \dots\)。例如，n=1 对应的是基态能量，n=2 对应的是激发态能量，依此类推。

如何使用 Python 解决氢原子问题？

为了求解氢原子的能量，我们可以通过数值方法来近似解薛定谔方程。我们将使用有限差分法来离散化空间，并求解波函数和能量。

下面，我们将用 Python 来解决氢原子的薛定谔方程，并求解前几个能级的能量。我们将采用一种常见的数值方法—离散化空间并使用有限差分法来近似求解。

1.安装所需库

首先，确保你的 Python 环境中安装了必要的库。我们需要 numpy 进行数值计算，matplotlib 进行结果可视化。

pip install numpy matplotlib

2.编写代码

# coding=utf-8
import matplotlib

matplotlib.use('Agg')
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 常数定义
hbar = 1.0545718e-34  # 约化普朗克常数 (J·s)
m = 9.10938356e-31  # 电子质量 (kg)
e = 1.60217662e-19  # 电子电荷 (C)
eps0 = 8.85418782e-12  # 真空电常数 (F/m)
a0 = 5.291772108e-11  # 玻尔半径 (m)

# 离散化空间
N = 1000  # 空间网格数
L = 50 * a0  # 空间范围
dx = L / N  # 网格步长
x = np.linspace(dx, L, N)  # 位置向量

# 赫尔曼方程的右边 (势能)
V = -e ** 2 / (4 * np.pi * eps0 * x)  # 电子-质子的相互作用势能

# 离散化的拉普拉斯算符 (空间二阶导数)
T = -hbar ** 2 / (2 * m * dx ** 2) * (
        np.diag(np.ones(N - 1), -1) - 2 * np.diag(np.ones(N), 0) + np.diag(np.ones(N - 1), 1))

# 哈密顿量矩阵 (包含动能和势能)
H = T + np.diag(V)

# 求解哈密顿量的特征值和特征向量
energies, wavefunctions = np.linalg.eigh(H)

# 选择前5个能级
energies = energies[:5]
wavefunctions = wavefunctions[:, :5]

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 绘制前5个能级的波函数
for i in range(5):
    plt.plot(x / a0, wavefunctions[:, i] ** 2, label=f"n={i + 1}, E={energies[i]:.3e} J")

plt.title('Wave functions of the first five energy levels of the hydrogen atom')
plt.xlabel('Location(x)[Unit: Bohr radius]')
plt.ylabel('Probability density(|ψ(x)|²)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.savefig('Hydrogen.png')

# 输出前5个能级的能量值(单位: eV)
energies_eV = energies * 1.60218e-19 / e
print("前5个能级的能量(单位:eV)：")
for i, E in enumerate(energies_eV):
    print(f"n={i + 1}:{E:.3f}eV")

输出结果

前5个能级的能量(单位:eV)：
n=1:-0.000eV
n=2:-0.000eV
n=3:-0.000eV
n=4:-0.000eV
n=5:-0.000eV

代码解析

  1. 常数定义：首先定义了常用的物理常数，包括普朗克常数、电子质量、电荷等。
  2. 离散化空间：我们在 0 到 50 倍玻尔半径的范围内创建一个离散的空间网格。
  3. 势能和动能的离散化：根据氢原子模型，势能是由电子与质子之间的库伦力给出的。动能通过有限差分法离散化拉普拉斯算符来得到。
  4. 求解哈密顿量矩阵的特征值和特征向量：通过对哈密顿量矩阵求特征值，得到氢原子的能量和波函数。
  5. 绘制结果：我们绘制了前 5 个能级的波函数(概率密度)。

结果分析

运行代码后，你将看到氢原子前 5 个能级的波函数图像。波函数的平方表示电子在不同位置的概率密度。可以看到，随着能级的升高，电子的概率分布逐渐扩展，能量也逐渐增大。

此外，我们还输出了前 5 个能级的能量值，单位是 eV。你会发现，这些能量值符合氢原子能级公式。

总结

通过今天的文章，我们学习了如何使用 Python 数值求解氢原子的能量问题。氢原子问题不仅是量子力学中的经典问题，也是理解原子物理和量子力学的基础。通过数值方法，我们能够深入理解这些抽象的物理现象，并在实践中获得有意义的结果。

如果你对量子力学、氢原子或数值计算感兴趣，可以继续探索更复杂的系统或尝试其他数值求解方法。希望今天的内容对你有所帮助，欢迎在评论区提问和交流！