引言

在量子力学中，氢原子是最基础也是最重要的模型之一。我们知道，氢原子由一个质子和一个电子组成，电子围绕着质子做轨道运动。在量子力学的框架下，电子的运动由波函数来描述，波函数中包含了电子的位置、动量等信息。而氢原子的波函数又分为径向部分和角向部分，今天我们将重点讨论氢原子的径向波函数。

什么是氢原子的径向波函数？

氢原子的波函数可以用来描述电子在氢原子内部的分布情况。这个波函数不仅与电子的能量状态相关，还与电子的空间分布有关。氢原子的波函数可以分为两部分：

径向部分：描述电子在从氢原子核出发的半径方向上的分布。

角向部分：描述电子在不同角度上的分布。

今天，我们的目标是利用 Python 来求解氢原子的径向波函数。具体来说，我们要计算并绘制氢原子在不同能量状态下的径向波函数。

氢原子的径向波函数公式

氢原子的径向波函数 \(R_{n,l}(r)\) 是一个依赖于距离 r 的函数，其中 n 是主量子数，l 是角量子数。其数学表达式为：

\[R_{n,l}(r) = \sqrt{\left(\frac{2}{n}\right)^3 \cdot \frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}} \cdot \left(\frac{2r}{n}\right)^l \cdot e^{-\frac{r}{n}} \cdot L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2r}{n}\right) \]

其中：

  • r 是电子距离原子核的距离。
  • \(L_{n-l-1}^{2l+1}\) 是关联勒让德多项式，它是一个较为复杂的数学函数。
  • 其他符号表示常数和数学操作。

对于简化，我们假设只处理氢原子基态(n = 1, l = 0)，并忽略角向部分，只关注径向部分。

使用 Python 求解氢原子的径向波函数

我们可以通过 Python 中的 scipy 库来实现这个过程，使用 scipy.special 中的函数来计算关联勒让德多项式。接下来是简单的 Python 代码实现：

安装所需库

首先，安装 scipy 和 numpy 库：

pip install scipy numpy matplotlib

编写代码

# coding=utf-8
import matplotlib

matplotlib.use('Agg')
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import laguerre
import math

# 常量
n = 1  # 主量子数
l = 0  # 角量子数
a0 = 5.29177e-11  # Bohr半径 (m)


# 定义径向波函数
def radial_wave_function(r, n, l):
    # 归一化常数
    norm = np.sqrt((2 / (n * a0)) ** 3 * math.factorial(n - l - 1) / (2 * n * math.factorial(n + l)))
    # 关联勒让德多项式
    laguerre_poly = laguerre(n - l - 1, 2 * l + 1)(2 * r / (n * a0))
    # 径向波函数公式
    return norm * (2 * r / (n * a0)) ** l * np.exp(-r / (n * a0)) * laguerre_poly


# 设置距离 r 范围
r_values = np.linspace(0, 10 * a0, 1000)  # 设置从0到10个Bohr半径的范围
wave_function_values = radial_wave_function(r_values, n, l)

# 绘制径向波函数
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(r_values / a0, wave_function_values ** 2, label=r'$\left| R_{1,0}(r) \right|^2$')
plt.title('Wave Function')
plt.xlabel('r(Unit:Bohr radius)')
plt.ylabel('Probability density $|R_{1,0}(r)|^2$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.savefig('Wave.png')

代码解释

  1. 常量设置：
  • n 和 l 是氢原子的主量子数和角量子数。我们在这里假设它们分别为 1 和 0，对应基态的径向波函数。
  • a0 是 Bohr 半径(氢原子的典型尺度)，在计算时需要用到。
  1. 径向波函数的计算：
  • 我们定义了一个 radial_wave_function 函数来计算给定距离 r 处的径向波函数值。这个函数利用了标准的数学公式来计算波函数的归一化常数和关联勒让德多项式。
  1. 绘制波函数图像：
  • 使用 matplotlib 绘制氢原子基态的径向波函数的平方，这代表了电子在不同距离处的概率密度分布。可以看到，波函数在距离原子核较近的地方有一个较大的峰值，说明电子更有可能出现在靠近核的位置。

结果分析

在图中，我们可以看到氢原子基态的径向概率密度图。电子的概率密度在靠近核的位置最高，然后随着距离增大，概率密度逐渐降低。这个现象符合我们对于电子行为的预期：电子更可能处于靠近原子核的位置，而远离原子核的电子则概率较低。

总结

通过这篇文章，我们简单介绍了氢原子的径向波函数以及如何使用 Python 来计算和可视化它。虽然氢原子的波函数计算涉及到一些复杂的数学公式，但通过 Python 中的现有库，我们可以轻松实现这些计算并直观地观察结果。

如果你对量子力学和 Python 编程有兴趣，这个例子是一个很好的起点。希望你通过这个简单的入门示例，能够更好地理解氢原子的基本性质，并激发你深入探索量子物理学的兴趣！