非参数检验

游程检验（Run Test）知识点详解与推导

一、非参数检验与游程检验的定位

参数检验依赖总体分布的强假定（如正态分布），当总体分布未知、假定不满足时，推断结果会出现偏差。非参数检验仅对总体做极弱的分布假定，适用性更广、稳健性更强。

游程检验是经典的非参数检验方法，核心有两大应用场景：

1. 检验单样本序列的随机性（统计推断的核心前提）；
2. 检验两个独立样本是否来自同分布总体。

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二、基础概念定义

1. 0-1序列变换

设按顺序得到的样本观测序列为 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，计算样本中位数 \(m_e\)：

• 小于 \(m_e\) 的 \(x_i\) 替换为0；
• 大于或等于 \(m_e\) 的 \(x_i\) 替换为1；
  最终得到仅由0、1构成的二元序列，记0的个数为 \(n_1\)，1的个数为 \(n_2\)，总样本量 \(n=n_1+n_2\)。

注：选择中位数做变换，可保证0和1的数量尽可能均衡，避免极端占比影响游程判断，且中位数不受极端值干扰，稳健性优于均值。

2. 游程与总游程数

• 0游程：以1为边界的连续一串0，称为1个0游程；
• 1游程：以0为边界的连续一串1，称为1个1游程；
• 总游程数 \(R\)：0游程个数 + 1游程个数，即序列中连续相同数字的段数总和。

示例：序列 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0

• 0游程共5个，1游程共4个，总游程数 \(R=5+4=9\)。

3. 游程数的随机性逻辑

随机序列的游程数应“适中”：

• \(R\) 过小：0/1出现聚集（如前半段全0、后半段全1），说明序列存在趋势性，非随机；
• \(R\) 过大：0/1交替过于频繁（如010101…），说明序列存在周期性，非随机。

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三、原假设下总游程数 \(R\) 的精确分布推导

前提设定

原假设 \(H_0\)：序列是随机的。此时所有0和1的排列是等可能的，总排列数为 \(\binom{n_1+n_2}{n_1}\)（从 \(n\) 个位置中选 \(n_1\) 个放0，剩余放1）。

游程的核心特性：0游程和1游程必然交替出现，因此：

• 当 \(R=2k\)（偶数）：0游程数 = 1游程数 = \(k\)；
• 当 \(R=2k+1\)（奇数）：两种游程数相差1，要么0游程 \(k\) 个、1游程 \(k+1\) 个，要么反之。

1. 隔板法基础：分游程的组合数

将 \(n_1\) 个不可区分的0分成 \(k\) 个非空连续组（对应 \(k\) 个0游程），等价于在 \(n_1\) 个0的 \(n_1-1\) 个空隙中插入 \(k-1\) 个隔板，分法数为 \(\binom{n_1-1}{k-1}\)。
同理，\(n_2\) 个1分成 \(k\) 个非空游程的分法数为 \(\binom{n_2-1}{k-1}\)。

2. 情况1：\(R=2k\)（偶数）的概率分布

\(R=2k\) 意味着0、1游程各 \(k\) 个，交替排列有两种可能：

• 以0游程开头、1游程结尾；
• 以1游程开头、0游程结尾。

两种情况的排列数均为 \(\binom{n_1-1}{k-1}\binom{n_2-1}{k-1}\)，总符合条件的排列数为 \(2\binom{n_1-1}{k-1}\binom{n_2-1}{k-1}\)。

因此概率为：

\[P(R=2k) = \frac{2 \binom{n_1 - 1}{k - 1} \binom{n_2 - 1}{k - 1}}{\binom{n_1 + n_2}{n_1}}, \quad k=1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \]

其中 \(\lfloor \cdot \rfloor\) 为向下取整。

3. 情况2：\(R=2k+1\)（奇数）的概率分布

\(R=2k+1\) 分两个子情况：

1. 0游程 \(k\) 个、1游程 \(k+1\) 个：序列首尾均为1，排列数为 \(\binom{n_1-1}{k-1}\binom{n_2-1}{k}\)；
2. 0游程 \(k+1\) 个、1游程 \(k\) 个：序列首尾均为0，排列数为 \(\binom{n_1-1}{k}\binom{n_2-1}{k-1}\)。

总符合条件的排列数为两者之和，因此概率为：

\[P(R=2k+1) = \frac{\binom{n_1 - 1}{k - 1}\binom{n_2 - 1}{k} + \binom{n_1 - 1}{k}\binom{n_2 - 1}{k - 1}}{\binom{n_1 + n_2}{n_1}}, \quad k=1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor \]

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四、游程检验的期望与方差推导

为实现大样本正态近似，我们先推导 \(H_0\) 下 \(R\) 的期望与方差。

1. 游程数的示性函数分解

总游程数可分解为：第一个元素必然是1个游程的起点，后续每一个与前一个元素不同的位置，都会新增1个游程。定义示性函数：

\[I_i = \begin{cases} 1, & x_i \neq x_{i-1}, \quad i=2,3,\cdots,n \\ 0, & x_i = x_{i-1} \end{cases} \]

则总游程数可表示为：

\[R = 1 + \sum_{i=2}^n I_i \]

2. 期望 \(E(R)\) 推导

根据期望的线性性质：

\[E(R) = 1 + \sum_{i=2}^n E(I_i) \]

其中 \(E(I_i) = P(x_i \neq x_{i-1})\)，随机序列中相邻位置一0一1的概率为：

\[P(x_i \neq x_{i-1}) = \frac{2n_1n_2}{n(n-1)} \]

求和项共 \(n-1\) 个 \(I_i\)，因此：

\[E(R) = 1 + (n-1)\cdot\frac{2n_1n_2}{n(n-1)} = 1 + \frac{2n_1n_2}{n} \]

3. 方差 \(D(R)\) 推导

方差满足 \(D(R) = D\left(\sum_{i=2}^n I_i\right)\)，结合示性函数的协方差特性（仅相邻 \(I_i\) 有协方差，不相邻的协方差为0），最终化简得到：

\[D(R) = \frac{2n_1n_2(2n_1n_2 - n)}{n^2(n-1)} \]

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五、游程检验的两类应用与实施步骤

应用1：单样本序列的随机性检验

检验假设

\(H_0\)：样本序列是随机的；\(H_1\)：样本序列非随机。

小样本检验步骤（\(n_1,n_2 \leq 20\)）

1. 计算样本中位数，构造0-1序列，统计 \(n_1,n_2\) 和观测游程数 \(R_{obs}\)；
2. 给定显著性水平 \(\alpha\)，查游程检验临界值表，得下临界值 \(c_1\)、上临界值 \(c_2\)，满足 \(P(R\leq c_1)\leq\alpha/2\)，\(P(R\geq c_2)\leq\alpha/2\)；
3. 决策：若 \(R_{obs}\leq c_1\) 或 \(R_{obs}\geq c_2\)，拒绝 \(H_0\)；否则不拒绝 \(H_0\)。

也可通过p值决策：\(p=2\min\{P(R\leq R_{obs}),P(R\geq R_{obs})\}\)，若 \(p<\alpha\) 拒绝 \(H_0\)。

大样本近似检验（\(n_1,n_2 > 20\)）

当样本量较大时，根据中心极限定理，\(R\) 近似服从正态分布，构造标准化检验统计量：

\[Z = \frac{R - E(R)}{\sqrt{D(R)}} \stackrel{近似}{\sim} N(0,1) \]

拒绝域为 \(|Z| \geq z_{\alpha/2}\)（\(z_{\alpha/2}\) 为标准正态分布上 \(\alpha/2\) 分位数），若满足则拒绝 \(H_0\)。

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应用2：两总体同分布检验

检验假设

\(H_0\)：两个总体的分布完全相同；\(H_1\)：两个总体的分布不同。

检验逻辑

若 \(H_0\) 为真，两样本来自同一总体，合并排序后0、1应均匀混合，游程数 \(R\) 较大；若 \(H_0\) 不真，两样本会出现聚集，游程数 \(R\) 显著偏小。因此该检验为单侧检验，拒绝域为 \(\{R\leq c\}\)。

实施步骤

1. 将两个独立样本合并，从小到大排序，来自总体X的观测值记为0，来自总体Y的记为1，得到0-1序列；
2. 统计 \(n_1,n_2\) 和观测游程数 \(R_{obs}\)；
3. 小样本查临界值表，大样本用正态近似计算Z统计量，拒绝域为 \(Z \leq -z_{\alpha}\)；
4. 决策：若满足拒绝域条件，拒绝 \(H_0\)，认为两总体分布不同；否则不拒绝 \(H_0\)。

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六、游程检验核心知识点归纳总结

分类	核心内容
方法定位	非参数检验方法，不依赖总体分布形式，稳健性强
核心用途	1. 单样本序列的随机性检验；2. 两独立样本的同分布检验
基础定义	游程：连续相同的0/1构成的段；总游程数R=0游程数+1游程数
分布特性	小样本下有精确分布，分R为偶数/奇数两种情况推导；大样本下渐近正态分布
期望与方差	\(E(R)=1+\frac{2n_1n_2}{n}\)；\(D(R)=\frac{2n_1n_2(2n_1n_2-n)}{n^2(n-1)}\)
随机性检验	双侧检验，拒绝域 \(\{R\leq c_1\}\cup\{R\geq c_2\}\)，检验序列是否随机
两总体同分布检验	单侧检验，拒绝域 \(\{R\leq c\}\)，检验两总体分布是否一致
适用条件	小样本用精确分布；\(n_1,n_2>20\) 时用正态近似效果良好
优势	对总体分布无要求，计算简单，可快速判断序列的随机性/分布一致性
局限	存在大量打结值（相同观测值）时，游程数判断受影响，需调整或更换方法

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符号检验（Sign Test）知识点详解与推导

一、符号检验的核心定位与基本思想

符号检验是经典的非参数检验方法，核心用于连续总体的分位数检验（最常用为中位数检验），也是配对设计差异检验的常用非参数方法。

核心特性

• 无分布依赖：无需对总体分布做任何强假定（如正态性），仅要求总体为连续型，适用范围极广；
• 信息利用：仅利用样本观测值与待检验值的差值正负符号做推断，完全不依赖差值的绝对大小，因此对异常值、极端值的稳健性极强；
• 核心逻辑：通过正号、负号的数量是否符合原假设下的概率分布，判断是否拒绝原假设。

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二、基础场景：总体中位数的符号检验（例7.6.2详解）

问题设定

设连续总体\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，中位数为\(m_e\)，满足\(F(m_e)=0.5\)。待检验假设为：

\[H_0: F(0)=0.5 \quad \text{vs} \quad H_1: F(0)\neq0.5 \]

即检验总体中位数为0。

步骤1：构造符号统计量

设\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)为来自总体\(X\)的样本，定义符号函数：

\[y_i = \begin{cases} 1, & x_i > 0 \\ 0, & x_i \leq 0 \end{cases}, \quad i=1,2,\cdots,n\]

记正号的总个数为符号统计量：

\[S^+ = \sum_{i=1}^n y_i \]

\(S^+\)的含义为：样本中大于0的观测值的个数。

步骤2：原假设下\(S^+\)的分布推导

当\(H_0\)成立时，总体中位数为0，因此：

• 单个样本观测值大于0的概率\(P(x_i>0)=1-F(0)=0.5\)；
• 单个样本观测值小于等于0的概率\(P(x_i\leq0)=F(0)=0.5\)。

因此，每个\(y_i\)独立同服从伯努利分布\(b(1,0.5)\)（单次试验成功概率为0.5，成功即\(x_i>0\)）。

\(n\)个独立伯努利试验的成功次数之和服从二项分布，因此在\(H_0\)为真时：

\[S^+ \sim b(n, 0.5) \]

步骤3：检验逻辑与拒绝域

\(H_0\)成立时，\(S^+\)的期望为\(E(S^+)=n\times0.5 = n/2\)，即正号个数应在总样本量的一半附近。

• 若\(S^+\)过大：说明样本中正数远多于负数，中位数大概率大于0，拒绝\(H_0\)；
• 若\(S^+\)过小：说明样本中负数远多于正数，中位数大概率小于0，拒绝\(H_0\)。

因此双侧检验的拒绝域形式为：

\[W = \{S^+ \leq c_1\} \cup \{S^+ \geq c_2\} \]

其中临界值\(c_1,c_2\)满足：

\[P(S^+ \leq c_1) \leq \alpha/2, \quad P(S^+ \geq c_2) \leq \alpha/2 \]

\(\alpha\)为给定的显著性水平。

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三、一般场景：总体\(p\)分位数的符号检验（完整推导）

1. \(p\)分位数的定义

对于连续总体\(X\)，分布函数为\(F(x)\)，其\(p\)分位数\(x_p\)（\(0<p<1\)）满足：

\[F(x_p) = P(X \leq x_p) = p \]

连续总体下，\(x_p\)存在且唯一，分布函数\(F(x)\)严格单调递增。

2. 待检验假设与等价转化

我们要检验的原假设与备择假设为：

\[H_0: x_p \leq x_0 \quad \text{vs} \quad H_1: x_p > x_0 \]

其中\(x_0\)为给定的常数。

核心等价性推导

1. 定义符号函数与成功概率：
   对样本\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，定义：

   \[y_i = \begin{cases} 1, & x_i > x_0 \\ 0, & x_i \leq x_0 \end{cases}, \quad i=1,2,\cdots,n\]

   记单次试验的成功概率：

   \[\theta = P(y_i=1) = P(X > x_0) = 1 - F(x_0) \]

2. 原假设的等价转化：
   由于\(F(x)\)严格单调递增，因此：

   \[x_p \leq x_0 \iff F(x_0) \geq F(x_p) = p \]

   两边取补集得：

   \[1 - F(x_0) \leq 1 - p \iff \theta \leq 1-p \]

   反之，若\(\theta \leq 1-p\)，则\(1-F(x_0)\leq1-p \implies F(x_0)\geq p=F(x_p) \implies x_0\geq x_p\)，即\(H_0\)成立。

因此，原分位数检验问题完全等价于二项分布的参数检验问题：

\[H_0: \theta \leq 1-p \quad \text{vs} \quad H_1: \theta > 1-p \]

3. 符号统计量的分布

\(y_1,y_2,\cdots,y_n\)独立同服从伯努利分布\(b(1,\theta)\)，因此符号统计量：

\[S^+ = \sum_{i=1}^n y_i \]

服从二项分布\(b(n,\theta)\)，即：

\[P(S^+=k) = \binom{n}{k} \theta^k (1-\theta)^{n-k}, \quad k=0,1,\cdots,n \]

4. 拒绝域与\(p\)值计算

对于等价的二项分布单边检验，\(S^+\)越大，说明\(\theta\)越大，越倾向于拒绝\(H_0\)，因此拒绝域形式为：

\[W = \{S^+ \geq c\} \]

其中临界值\(c\)为满足下式的最小整数：

\[c = \inf\left\{ k: \sum_{i=k}^n \binom{n}{i} (1-p)^i p^{n-i} \leq \alpha \right\} \]

注：\(H_0\)为\(\theta\leq1-p\)，最不利情况为\(\theta=1-p\)（边界值），此时犯第一类错误的概率最大，因此用\(\theta=1-p\)计算临界值，可保证整个\(H_0\)范围内第一类错误概率不超过\(\alpha\)。

\(p\)值计算

记符号统计量的观测值为\(S_0^*\)，则该检验的\(p\)值为：

\[p = P(S^+ \geq S_0^* \mid \theta=1-p) = \sum_{i=S_0^*}^n b(i;n,1-p) \]

其中\(b(i;n,1-p)=\binom{n}{i}(1-p)^i p^{n-i}\)为二项分布的概率质量函数。
若\(p<\alpha\)，则拒绝原假设\(H_0\)。

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四、三种假设形式的符号检验完整总结

基于上述推导，我们可以得到分位数检验的三种完整形式，对应左侧单边、右侧单边、双侧检验，如下表所示：

原假设\(H_0\)	备择假设\(H_1\)	等价二项检验	拒绝域形式	检验的\(p\)值
\(x_p \leq x_0\)	\(x_p > x_0\)	\(H_0:\theta\leq1-p\) vs \(H_1:\theta>1-p\)	\(W_Ⅰ=\{S^+ \geq c\}\)	\(\sum_{i=S_0^*}^n b(i;n,1-p)\)
\(x_p \geq x_0\)	\(x_p < x_0\)	\(H_0:\theta\geq1-p\) vs \(H_1:\theta<1-p\)	\(W_Ⅱ=\{S^+ \leq c\}\)	\(\sum_{i=0}^{S_0^*} b(i;n,1-p)\)
\(x_p = x_0\)	\(x_p \neq x_0\)	\(H_0:\theta=1-p\) vs \(H_1:\theta\neq1-p\)	\(W_Ⅲ=\{S^+ \leq c_1 \text{ 或 } S^+ \geq c_2\}\)	\(2\min\left\{ \sum_{i=0}^{S_0^*} b(i;n,1-p), \sum_{i=S_0^*}^n b(i;n,1-p), 0.5 \right\}\)

补充说明

1. 左侧单边检验的推导逻辑：\(x_p\geq x_0 \implies F(x_0)\leq p \implies \theta=1-F(x_0)\geq1-p\)，\(S^+\)越小越拒绝\(H_0\)；
2. 双侧检验的\(p\)值取单侧\(p\)值的2倍，同时与0.5取最小值，避免\(p\)值超过1（当\(S_0^*\)接近\(n/2\)时，单侧\(p\)值可能大于0.5，此时\(p\)值最大为1）。

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五、大样本正态近似

当样本量\(n\)较大时（通常要求\(np\geq5\)且\(n(1-p)\geq5\)），根据中心极限定理，二项分布\(b(n,\theta)\)可近似为正态分布：

\[S^+ \stackrel{近似}{\sim} N\left( n\theta, n\theta(1-\theta) \right) \]

在\(H_0\)成立时，\(\theta=1-p\)，因此构造标准化检验统计量：

\[Z = \frac{S^+ - n(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}} \stackrel{近似}{\sim} N(0,1) \]

连续性修正

由于二项分布是离散分布，正态分布是连续分布，为提高近似精度，需进行连续性修正：

• 右侧单边检验（\(S^+\geq c\)）：修正为\(Z = \frac{S^+ - 0.5 - n(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\)，拒绝域\(Z\geq z_\alpha\)；
• 左侧单边检验（\(S^+\leq c\)）：修正为\(Z = \frac{S^+ + 0.5 - n(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\)，拒绝域\(Z\leq -z_\alpha\)；
• 双侧检验：拒绝域\(|Z|\geq z_{\alpha/2}\)。

其中\(z_\alpha\)为标准正态分布的上\(\alpha\)分位数。

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六、符号检验的经典应用：配对样本差异检验

符号检验最常用的场景之一，是配对设计的非参数差异检验，作为配对t检验的替代方法（当配对差值不满足正态性时）。

问题设定

配对设计样本：\((x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)\)，其中\(x_i\)为处理A的观测值，\(y_i\)为处理B的观测值，差值\(d_i = x_i - y_i\)。
待检验假设：两个处理的效应无差异，即差值\(d_i\)的中位数为0，对应：

\[H_0: m_d=0 \quad \text{vs} \quad H_1: m_d\neq0 \]

检验步骤

1. 计算配对差值\(d_i=x_i-y_i\)；
2. 定义符号函数：\(y_i=1\)当\(d_i>0\)，\(y_i=0\)当\(d_i\leq0\)，统计正号个数\(S^+\)；
3. 此时\(p=0.5\)，对应中位数检验，\(H_0\)下\(S^+\sim b(n,0.5)\)；
4. 按双侧检验计算临界值或\(p\)值，做出决策。

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七、符号检验的优缺点与适用条件

适用条件

1. 总体为连续型（保证打结值\(x_i=x_0\)的概率为0）；
2. 待检验目标为总体分位数（尤其是中位数），或配对样本的效应差异；
3. 总体分布未知、不满足参数检验的正态性假定，或存在极端异常值。

优势

1. 无分布依赖，适用范围极广，不受总体分布形式的限制；
2. 稳健性极强，仅利用符号信息，完全不受极端异常值的影响；
3. 计算简单，逻辑直观，易于理解和实现；
4. 可用于有序分类数据（仅能比较大小、无法计算数值差异的等级数据）。

局限

1. 信息利用率低：完全丢弃了差值的大小信息，当总体满足正态性时，检验效能远低于配对t检验等参数方法；
2. 打结值敏感：当存在大量\(x_i=x_0\)（差值为0）的打结情况时，样本量被压缩，检验效能大幅下降，此时更推荐使用Wilcoxon符号秩检验；
3. 小样本下，二项分布的临界值可能无法恰好满足显著性水平\(\alpha\)的要求，检验的实际显著性水平会低于名义水平。

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八、符号检验核心知识点归纳总表

分类	核心内容
方法定位	经典非参数检验方法，核心用于连续总体的分位数检验、配对样本差异检验
核心原理	利用样本与待检验值差值的正负符号数量，通过二项分布做统计推断，不依赖总体分布
核心统计量	符号统计量\(S^+\)：样本中大于待检验值\(x_0\)的观测值个数，服从二项分布\(b(n,\theta)\)
检验前提	总体为连续型，保证分位数唯一、打结值概率为0
小样本检验	基于二项分布精确计算临界值或\(p\)值，分单边、双侧检验
大样本检验	基于中心极限定理做正态近似，需进行连续性修正，构造Z统计量
经典应用	1. 总体中位数检验；2. 配对设计的效应差异检验（配对t检验的非参数替代）
核心优势	无分布依赖、稳健性极强（抗异常值）、计算简单、适用有序分类数据
核心局限	丢弃数值大小信息，检验效能低于参数方法；对大量打结值敏感
决策规则	\(p\)值小于显著性水平\(\alpha\)时，拒绝原假设\(H_0\)；否则不拒绝\(H_0\)

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符号检验例题详解（含完整推导、计算与原理对应）

一、例7.6.3 总体分位数的左侧单边符号检验

1. 问题背景与检验假设

• 业务背景：以往资料显示，该种圆钢90%的产品硬度不小于103 kg/mm²，即10%分位数\(x_{0.10}=103\)（10%分位数的定义：总体中10%的观测值≤\(x_{0.10}\)，90%的观测值≥\(x_{0.10}\)）。现抽取20根样本，检验该结论是否仍成立。
• 统计假设：
  \[H_0: x_{0.10} \geq 103 \quad \text{vs} \quad H_1: x_{0.10} < 103 \]
  显著性水平\(\alpha=0.05\)。

2. 原理对应（结合符号检验核心理论）

根据\(p\)分位数的定义，\(F(x_{0.10})=P(X \leq x_{0.10})=0.1\)，原假设\(H_0: x_{0.10} \geq 103\)等价于：

\[F(103) \leq F(x_{0.10}) = 0.1 \]

定义符号统计量的成功概率：

\[\theta = P(X > 103) = 1 - F(103) \]

因此原假设可等价转化为二项分布参数检验：

\[H_0: \theta \geq 1-0.1=0.9 \quad \text{vs} \quad H_1: \theta < 0.9 \]

• 符号统计量\(S^+\)：样本中硬度大于103的观测值个数（即差值\(x_i-103>0\)的正号个数）；
• \(H_0\)成立时，\(S^+\)服从二项分布\(b(n, 0.9)\)，其中样本量\(n=20\)；
• 拒绝域逻辑：\(S^+\)越小，说明\(\theta\)越小，越倾向于拒绝\(H_0\)，因此拒绝域为\(\{S^+ \leq c\}\)。

3. 详细解题步骤

步骤1：计算差值，构造符号序列

对每个样本硬度\(x_i\)，计算差值\(z_i = x_i - 103\)，结果如下：

样本序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
硬度\(x_i\)	142	134	119	98	131	102	154	122	93	137
差值\(z_i\)	39	31	16	-5	28	-1	51	19	-10	34
符号	+	+	+	-	+	-	+	+	-	+

样本序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
硬度\(x_i\)	86	119	161	144	158	165	81	117	128	113
差值\(z_i\)	-17	16	58	41	55	62	-22	14	25	10
符号	-	+	+	+	+	+	-	+	+	+

步骤2：统计符号统计量的观测值

统计正号（\(z_i>0\)）的个数，得\(S_0^+ = 15\)。

步骤3：计算检验的\(p\)值

左侧单边检验的\(p\)值为：\(H_0\)成立时，\(S^+\)小于等于观测值15的累积概率，即

\[p = P(S^+ \leq 15 \mid S^+ \sim b(20, 0.9)) = \sum_{i=0}^{15} \binom{20}{i} 0.9^i 0.1^{20-i} \]

二项分布概率计算：

• 二项分布\(b(20,0.9)\)的累积概率，\(P(S^+ \leq15) = 1 - P(S^+ \geq16)\)
• \(P(S^+ \geq16) = \sum_{i=16}^{20}\binom{20}{i}0.9^i0.1^{20-i} \approx 0.957\)
• 因此\(P(S^+ \leq15) = 1 - 0.957 = 0.043\)

步骤4：决策与结论

\(p=0.043 < \alpha=0.05\)，因此拒绝原假设\(H_0\)，不能认为该种圆钢的10%分位数\(x_{0.10}\)不小于103 kg/mm²，即原“90%产品硬度不小于103”的结论不成立。

4. 关键注意点

• 本题为左侧单边检验，拒绝域为\(S^+\)偏小的区域，\(p\)值为左侧累积概率；
• 原假设的边界值为\(\theta=0.9\)，因此用二项分布\(b(20,0.9)\)计算概率，保证第一类错误概率不超过\(\alpha\)；
• 若\(p\)值大于\(\alpha\)，则不拒绝原假设，仅说明没有足够证据推翻原结论，而非证明原结论成立。

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二、例7.6.4 配对样本的双侧符号检验

1. 问题背景与检验假设

• 业务背景：工厂两个化验室每天同时从冷却水中取样，测量含氯量，共11组配对数据，检验两个化验室的测定结果是否存在显著性差异。
• 统计假设：
  记化验室A的测量误差分布为\(F(x)\)，化验室B的为\(G(x)\)，检验
  \[H_0: F(x) = G(x) \quad \text{vs} \quad H_1: F(x) \neq G(x) \]
  显著性水平\(\alpha=0.05\)。

2. 配对设计的处理逻辑

配对数据的核心问题：每天的含氯量本身存在差异，因此\(x_i\)（化验室A）和\(y_i\)（化验室B）的差异，既包含化验室的系统误差，也包含当天含氯量的真实值差异。

通过配对差值消除真实值的影响：
设\(x_i = \mu_i + \xi_i\)，\(y_i = \mu_i + \eta_i\)，其中\(\mu_i\)为第\(i\)天冷却水的真实含氯量，\(\xi_i\)、\(\eta_i\)为两个化验室的测量误差。
差值\(z_i = x_i - y_i = \xi_i - \eta_i\)，完全消除了\(\mu_i\)的影响，仅保留两个化验室的误差差异。

当\(H_0\)成立时，\(\xi_i\)和\(\eta_i\)同分布，因此\(z_i = \xi_i - \eta_i\)的分布关于0对称，即\(P(z_i>0)=P(z_i<0)=0.5\)，差值的中位数为0，可使用双侧符号检验。

3. 详细解题步骤

步骤1：计算配对差值，统计符号

根据表格数据，计算差值\(z_i=x_i-y_i\)，并统计正负号：

序号\(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
差值\(z_i\)	0.03	-0.04	-0.16	0.01	-0.06	-0.05	-0.02	-0.1	-0.11	-0.07	-0.12
符号	+	-	-	+	-	-	-	-	-	-	-

步骤2：统计符号统计量的观测值

统计正号（\(z_i>0\)）的个数，得\(S_0^+ = 2\)，无差值为0的打结值，样本量\(n=11\)。

步骤3：计算检验的\(p\)值

\(H_0\)成立时，\(S^+ \sim b(11, 0.5)\)，双侧检验的\(p\)值为：

\[p = 2\min\left\{ P(S^+ \leq 2), P(S^+ \geq 2) \right\} \]

二项分布概率计算：

• 左侧累积概率：\(P(S^+ \leq 2) = \sum_{i=0}^{2} \binom{11}{i} 0.5^{11}\)
  计算得：\(\binom{11}{0}0.5^{11} + \binom{11}{1}0.5^{11} + \binom{11}{2}0.5^{11} = (1+11+55)/2048 = 67/2048 \approx 0.0327\)
• 右侧累积概率：\(P(S^+ \geq 2) = 1 - P(S^+ \leq1) \approx 0.994\)
• 取最小值乘以2，得\(p=2\times0.0327 = 0.0654\)

步骤4：决策与结论

\(p=0.0654 > \alpha=0.05\)，因此不拒绝原假设\(H_0\)，在0.05的显著性水平下，没有足够证据表明两个化验室的测定结果存在显著性差异。

4. 关键注意点

• 本题为双侧检验，\(p\)值取单侧最小累积概率的2倍，避免\(p\)值超过1；
• 配对符号检验的核心是通过差值消除配对个体的固有差异，仅关注处理/组间的差异，是配对t检验的非参数替代方法，适用于差值不满足正态性的场景；
• 若存在差值为0的打结值，通常的处理方式是剔除打结值，样本量\(n\)相应减少；
• 本题\(p=0.0654\)接近0.05，若放宽显著性水平至\(\alpha=0.1\)，则会拒绝原假设，说明检验结果对显著性水平敏感，本质是符号检验的信息利用率低，检验效能弱于配对t检验。

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三、两个例题的核心对比总结

对比维度	例7.6.3 分位数单边检验	例7.6.4 配对样本双侧检验
检验目标	检验总体10%分位数是否≥103	检验两个配对总体的分布是否相同
假设类型	左侧单边检验	双侧检验
符号统计量\(S^+\)	样本值大于103的正号个数	配对差值为正的正号个数
\(H_0\)下的分布	\(b(20, 0.9)\)	\(b(11, 0.5)\)
\(p\)值计算	左侧累积概率\(P(S^+ \leq 15)\)	2倍最小单侧累积概率
决策结果	\(p<0.05\)，拒绝\(H_0\)	\(p>0.05\)，不拒绝\(H_0\)
核心应用场景	总体分位数的检验	配对设计的组间差异检验

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Wilcoxon秩和检验知识点详解与完整推导

一、秩和检验的核心定位

符号检验仅利用了观测值与中心位置差值的正负符号，完全丢弃了差值的大小信息，检验效能较低。Wilcoxon秩和检验（秩检验）由威尔科克森1945年提出，是经典的非参数检验方法，它同时结合了差值的符号和绝对值大小，充分利用样本信息，检验效能显著高于符号检验，且仍不依赖总体分布的正态性假定，适用范围极广。

秩和检验主要分为两大核心应用：

1. 单样本/配对样本Wilcoxon符号秩检验：用于对称总体的中心位置检验（如配对设计的组间差异检验）；
2. 两独立样本Wilcoxon秩和检验（Mann-Whitney U检验）：用于两个独立总体的位置差异检验，是两独立样本t检验的非参数替代方法。

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二、基础概念：秩与秩统计量

1. 秩的定义

定义7.6.1 设\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)是来自连续分布\(F(x)\)的简单随机样本，将观测值从小到大排序得到有序样本\(x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\)，观测值\(x_i\)在有序样本中的序号\(r\)称为\(x_i\)的秩，记为\(R_i=r\)。

核心说明：连续总体中，观测值相等（打结）的概率为0，因此每个观测值的秩唯一确定。
例7.6.5 设\(n=6\)，观测值为\(196,224,171,241,162,193\)，从小到大排序为\(162,171,193,196,224,241\)，对应秩为\(1,2,3,4,5,6\)，因此原观测值的秩依次为\(4,5,2,6,1,3\)。

2. 秩统计量

定义7.6.2 设\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)是来自连续总体的样本，\(R_i\)是\(x_i\)的秩，称向量\(R=(R_1,R_2,\cdots,R_n)\)为样本的秩统计量，基于秩统计量构造的检验方法统称为秩检验。

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三、单样本/配对样本Wilcoxon符号秩检验

1. 检验场景与假设

符号秩检验适用于对称连续总体的中心位置检验，最典型的场景是配对设计的组间差异检验：

• 配对样本\((x_i,y_i)\)，差值\(z_i=x_i-y_i\)，检验两个总体的分布是否相同，等价于检验差值\(z_i\)的分布关于0对称，即总体中位数为0。
• 原假设与备择假设：
  \[H_0: \theta=0 \quad \text{vs} \quad H_1: \theta \neq 0 \]
  其中\(\theta\)为总体的对称中心（中位数）。

2. 符号秩统计量的定义

定义7.6.3 设\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)是样本，记\(R_i\)为\(|x_i|\)在\((|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_n|)\)中的秩，定义指示函数：

\[I(x_i>0) = \begin{cases} 1, & x_i>0 \\ 0, & x_i \leq 0 \end{cases}\]

称符号秩和统计量：

\[W^+ = \sum_{i=1}^n R_i \cdot I(x_i>0) \]

\(W^+\)的含义为：所有正观测值的秩的总和。

核心逻辑：\(H_0\)成立时，总体关于0对称，正、负观测值的数量应接近，且绝对值的秩应均匀分布，\(W^+\)应接近总秩和的一半；若\(W^+\)过大或过小，说明正/负观测值的绝对值显著偏大，拒绝\(H_0\)。

3. 符号秩统计量的分布特性与推导

核心前提（\(H_0\)成立时）

1. 总体关于0对称，因此\(P(x_i>0)=P(x_i<0)=0.5\)，每个观测值的符号与绝对值的秩相互独立；
2. 所有秩\(1,2,\cdots,n\)等可能地分配给正、负观测值，每个秩被计入\(W^+\)的概率为0.5，且相互独立。

期望\(E(W^+)\)的推导

将\(W^+\)拆解为秩的加权和：\(W^+ = 1\cdot I_1 + 2\cdot I_2 + \cdots + n\cdot I_n\)，其中\(I_k\)为指示变量，代表秩为\(k\)的观测值为正，\(P(I_k=1)=0.5\)。

根据期望的线性性质：

\[E(W^+) = \sum_{k=1}^n k \cdot E(I_k) = 0.5 \cdot \sum_{k=1}^n k = 0.5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{4} \]

方差\(Var(W^+)\)的推导

由于\(I_1,\cdots,I_n\)相互独立，协方差为0，因此：

\[Var(W^+) = \sum_{k=1}^n Var(k\cdot I_k) = \sum_{k=1}^n k^2 \cdot Var(I_k) \]

其中\(Var(I_k)=0.5\times0.5=0.25\)，且\(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)，代入得：

\[Var(W^+) = 0.25 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24} \]

总秩和关系

正号秩和\(W^+\)与负号秩和\(W^-\)满足：

\[W^+ + W^- = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} \]

因此\(W^- = \frac{n(n+1)}{2} - W^+\)，二者完全线性相关，检验时仅需计算\(W^+\)即可。

4. 检验拒绝域与实施步骤

小样本检验（\(n\leq50\)）

查Wilcoxon符号秩检验临界值表，得临界值\(W_{\alpha/2}(n)\)和\(W_{1-\alpha/2}(n)\)，其中\(W_{1-\alpha/2}(n) = \frac{n(n+1)}{2} - W_{\alpha/2}(n)\)。

• 双侧检验拒绝域：\(\{W^+ \leq W_{\alpha/2}(n)\} \cup \{W^+ \geq W_{1-\alpha/2}(n)\}\)
• 左侧单侧检验（\(H_1:\theta<0\)）拒绝域：\(\{W^+ \leq W_{\alpha}(n)\}\)
• 右侧单侧检验（\(H_1:\theta>0\)）拒绝域：\(\{W^+ \geq W_{1-\alpha}(n)\}\)

大样本近似（\(n>50\)）

根据中心极限定理，\(H_0\)成立时\(W^+\)近似服从正态分布，构造标准化检验统计量：

\[Z = \frac{W^+ - \frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}} \stackrel{近似}{\sim} N(0,1) \]

若存在打结（相同绝对值），需对分母进行修正，修正公式为：

\[Var(W^+) = \frac{n(n+1)(2n+1) - 0.5\sum_{j=1}^g (t_j^3 - t_j)}{24} \]

其中\(g\)为结的个数，\(t_j\)为第\(j\)个结的长度（相同绝对值的个数）。

5. 例题7.6.6 完整详解（配对样本符号秩检验）

问题背景

两个化验室每天同步测量冷却水含氯量，共11组配对数据，检验两个化验室的测定结果是否存在显著差异，\(\alpha=0.05\)。

检验步骤

1. 计算配对差值：\(z_i = x_i(\text{化验室A}) - y_i(\text{化验室B})\)，结果如下：

   \(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
   \(z_i\)	0.03	-0.04	-0.16	0.01	-0.06	-0.05	-0.02	-0.1	-0.11	-0.07	-0.12

2. 计算绝对值与秩：对\(|z_i|\)从小到大排序，赋予秩：
   | \(|z_i|\) | 0.03 | 0.04 | 0.16 | 0.01 | 0.06 | 0.05 | 0.02 | 0.1 | 0.11 | 0.07 | 0.12 |
   |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |
   | 秩\(R_i\) | 3 | 4 | 11 | 1 | 6 | 5 | 2 | 8 | 9 | 7 | 10 |

3. 计算符号秩和统计量：正差值的秩为3和1，因此\(W^+ = 3+1=4\)。

4. 确定拒绝域与决策：
   查临界值表得\(W_{0.025}(11)=10\)，\(W_{0.975}(11)=\frac{11\times12}{2}-10=56\)，拒绝域为\(\{W^+\leq10\}\cup\{W^+\geq56\}\)。
   观测值\(W^+=4\leq10\)，落在拒绝域内，因此拒绝原假设\(H_0\)，认为两个化验室的测定结果存在显著差异。

与符号检验的对比

符号检验中，正号个数为2，\(p\)值为0.0654，在\(\alpha=0.05\)下不拒绝原假设；而符号秩检验利用了差值的大小信息，两个正差值的绝对值极小、秩极低，更能反映系统差异，检验效能显著更高。

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四、两独立样本Wilcoxon秩和检验

1. 检验场景与假设

两独立样本秩和检验用于两个独立连续总体的位置差异检验，是两独立样本t检验的非参数替代方法，适用于数据不满足正态性、存在异常值的场景。

设两个独立总体的分布函数为\(F(x-\theta_1)\)和\(F(x-\theta_2)\)（分布形状相同，仅位置参数\(\theta\)不同），待检验的三类假设为：

类型	原假设\(H_0\)	备择假设\(H_1\)
右侧单侧	\(\theta_1 \leq \theta_2\)	\(\theta_1 > \theta_2\)
左侧单侧	\(\theta_1 \geq \theta_2\)	\(\theta_1 < \theta_2\)
双侧	\(\theta_1 = \theta_2\)	\(\theta_1 \neq \theta_2\)

2. 秩和统计量的定义

设\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)是来自总体1的样本，\(y_1,y_2,\cdots,y_m\)是来自总体2的样本，将两组样本合并后从小到大排序，给每个观测值赋予秩\(1,2,\cdots,N\)（\(N=m+n\)）。

记\(R_i\)为样本\(y_i\)在合并样本中的秩，定义Wilcoxon秩和统计量：

\[W = \sum_{i=1}^m R_i \]

即第二组样本的秩的总和。

核心逻辑：\(H_0\)成立时，两个总体分布相同，两组样本的秩应均匀分布在\(1\)到\(N\)之间，\(W\)应接近理论期望；若\(W\)显著偏小/偏大，说明两组样本的位置存在显著差异，拒绝\(H_0\)。

3. 秩和统计量的分布特性与推导

核心前提（\(H_0\)成立时）

两个样本来自同一总体，因此\(m\)个\(y\)的秩是从\(1\)到\(N\)中随机抽取\(m\)个不同的数，所有组合等可能。

期望\(E(W)\)的推导

将\(W\)拆解为：\(W = \sum_{k=1}^N k\cdot I_k\)，其中\(I_k\)为指示变量，代表秩\(k\)被选入\(y\)的秩中，\(P(I_k=1)=\frac{m}{N}\)。

根据期望的线性性质：

\[E(W) = \sum_{k=1}^N k\cdot E(I_k) = \frac{m}{N} \cdot \frac{N(N+1)}{2} = \frac{m(m+n+1)}{2} \]

方差\(Var(W)\)的推导

通过指示变量的协方差化简，最终可得：

\[Var(W) = \frac{mn(m+n+1)}{12} \]

推导过程详见附录，核心结论与教材完全一致。

总秩和关系

两组样本的秩和满足：

\[W_x + W_y = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{(m+n)(m+n+1)}{2} \]

因此用任意一组的秩和做检验，结果完全等价。

4. 检验拒绝域与实施步骤

小样本检验（\(m,n\leq20\)）

查Wilcoxon两样本秩和检验临界值表，得临界值\(W_{\alpha}(m,n)\)，其中\(W_{1-\alpha}(m,n) = m(m+n+1) - W_{\alpha}(m,n)\)。

• 左侧单侧检验（\(H_1:\theta_1>\theta_2\)，\(y\)的位置偏小）拒绝域：\(\{W \leq W_{\alpha}(m,n)\}\)
• 右侧单侧检验拒绝域：\(\{W \geq W_{1-\alpha}(m,n)\}\)
• 双侧检验拒绝域：\(\{W \leq W_{\alpha/2}(m,n)\} \cup \{W \geq W_{1-\alpha/2}(m,n)\}\)

大样本近似（\(m,n\geq20\)）

根据中心极限定理，\(H_0\)成立时\(W\)近似服从正态分布，构造标准化检验统计量：

\[Z = \frac{W - \frac{m(m+n+1)}{2}}{\sqrt{\frac{mn(m+n+1)}{12}}} \stackrel{近似}{\sim} N(0,1) \]

若存在打结，需对方差进行修正：

\[Var(W) = \frac{mn(N+1)}{12} \cdot \left[1 - \frac{\sum_{j=1}^g (t_j^3 - t_j)}{N^3 - N}\right] \]

其中\(N=m+n\)，\(g\)为结的个数，\(t_j\)为第\(j\)个结的长度。

5. 例题7.6.7 完整详解（两独立样本秩和检验）

问题背景

对羊毛进行处理前后的含脂率检测，处理前样本量\(n=6\)，处理后样本量\(m=5\)，检验处理后含脂率是否显著下降，\(\alpha=0.05\)。

• 处理前：\(0.20, 0.24, 0.66, 0.42, 0.12, 0.25\)
• 处理后：\(0.13, 0.07, 0.21, 0.08, 0.19\)
• 检验假设：\(H_0:\theta_1=\theta_2\) vs \(H_1:\theta_1>\theta_2\)（处理后含脂率下降）

检验步骤

1. 合并排序与赋秩：将两组样本合并后从小到大排序，标记处理后样本（\(y\)）并赋予秩：

   合并样本	0.07	0.08	0.12	0.13	0.19	0.20	0.21	0.24	0.25	0.42	0.66
   组别	处理后	处理后	处理前	处理后	处理后	处理前	处理后	处理前	处理前	处理前	处理前
   秩	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

2. 计算秩和统计量：处理后样本的秩为\(1,2,4,5,7\)，因此\(W=1+2+4+5+7=19\)。

3. 确定拒绝域与决策：
   查临界值表得\(W_{0.05}(5,6)=20\)，拒绝域为\(\{W\leq20\}\)。
   观测值\(W=19\leq20\)，落在拒绝域内，因此拒绝原假设\(H_0\)，认为处理后的羊毛含脂率显著下降。

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五、秩和检验的关键补充说明

1. 打结值的处理：当存在相同观测值（结）时，对相同观测值赋予平均秩，同时对方差进行修正，避免检验结果偏倚。
2. 单侧检验的适配：符号秩检验和两样本秩和检验均可适配单侧检验，仅需调整拒绝域的方向，核心逻辑不变。
3. 适用范围拓展：秩和检验不仅适用于连续型数值数据，也可用于有序分类数据（等级数据），这是参数t检验无法实现的。
4. 检验效能：当总体满足正态性时，秩和检验的检验效能略低于t检验；当总体不满足正态性、存在异常值时，秩和检验的检验效能远高于t检验，稳健性极强。

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六、核心非参数检验方法归纳总结表

检验方法	核心适用场景	检验统计量	原假设下的分布	期望	方差	核心优势	核心局限
符号检验	单样本分位数检验、配对样本差异检验	正号个数\(S^+\)	二项分布\(b(n,p)\)	\(np\)	\(np(1-p)\)	无分布依赖、计算极简、抗极端值	丢弃数值大小信息，检验效能最低
Wilcoxon符号秩检验	对称总体中心位置检验、配对样本差异检验	正号秩和\(W^+\)	符号秩分布	\(\frac{n(n+1)}{4}\)	\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\)	结合符号与数值大小，检验效能高、稳健性强	要求总体分布对称，大量打结时效能下降
Wilcoxon两样本秩和检验	两独立总体的位置差异检验	样本秩和\(W\)	秩和分布	\(\frac{m(m+n+1)}{2}\)	\(\frac{mn(m+n+1)}{12}\)	不要求正态性，适配有序分类数据，是t检验的最优非参数替代	要求两总体分布形状相同，大量打结时需修正