ch05线性方程组直接法+习题课

(2) 方程组

\[\begin{cases} 2x_1 + 4x_2 - 2x_3 = 3 \\ x_1 - x_2 + 5x_3 = 0 \\ 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 2 \end{cases} \]

步骤1：构造增广矩阵

\[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 5 & 0 \\ 4 & 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \]

步骤2：初等行变换化为行阶梯形

1. 交换\(r_1 \leftrightarrow r_2\)（简化计算）：
   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \]

2. 消去第1列下方元素：\(r_2=r_2-2r_1,\ r_3=r_3-4r_1\)
   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 & 0 \\ 0 & 6 & -12 & 3 \\ 0 & 5 & -22 & 2 \end{pmatrix} \]

3. 消去第2列下方元素：\(r_3=r_3-\frac{5}{6}r_2\)
   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 & 0 \\ 0 & 6 & -12 & 3 \\ 0 & 0 & -12 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

步骤3：回代求解

• 第3行：\(-12x_3=-\frac{1}{2} \implies \boldsymbol{x_3=\frac{1}{24}}\)
• 第2行：\(6x_2 -12x_3=3 \implies x_2=\frac{3+12x_3}{6} \implies \boldsymbol{x_2=\frac{7}{12}}\)
• 第1行：\(x_1 -x_2 +5x_3=0 \implies \boldsymbol{x_1=\frac{3}{8}}\)

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题2：列主元消元法（增广矩阵求解）

(1) 方程组

\[\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = -4 \\ 5x_1 - 4x_2 + 3x_3 = -12 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 11 \end{cases} \]

步骤1：构造增广矩阵

\[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & -4 & 3 & -12 \\ 2 & 1 & 1 & 11 \end{pmatrix} \]

步骤2：列主元选择+行变换化为行阶梯形

1. 第1列选主元：绝对值最大元素为\(5\)（第2行），交换\(r_1 \leftrightarrow r_2\)：

   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 3 & -12 \\ 1 & -1 & 1 & -4 \\ 2 & 1 & 1 & 11 \end{pmatrix} \]

   消去第1列下方元素：\(r_2=r_2-\frac{1}{5}r_1,\ r_3=r_3-\frac{2}{5}r_1\)

   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 3 & -12 \\ 0 & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{8}{5} \\ 0 & \frac{13}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{79}{5} \end{pmatrix} \]

2. 第2列选主元：行号≥2的元素中，绝对值最大为\(\frac{13}{5}\)（第3行），交换\(r_2 \leftrightarrow r_3\)：

   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 3 & -12 \\ 0 & \frac{13}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{79}{5} \\ 0 & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{8}{5} \end{pmatrix} \]

   消去第2列下方元素：\(r_3=r_3+\frac{1}{13}r_2\)

   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 3 & -12 \\ 0 & \frac{13}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{79}{5} \\ 0 & 0 & \frac{5}{13} & -\frac{5}{13} \end{pmatrix} \]

步骤3：回代求解

• 第3行：\(\frac{5}{13}x_3=-\frac{5}{13} \implies \boldsymbol{x_3=-1}\)
• 第2行：\(\frac{13}{5}x_2 -\frac{1}{5}x_3=\frac{79}{5} \implies \boldsymbol{x_2=6}\)
• 第1行：\(5x_1 -4x_2 +3x_3=-12 \implies \boldsymbol{x_1=3}\)

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(2) 方程组

\[\begin{cases} -x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -1 \\ 3x_1 - x_2 + 4x_3 = 7 \\ 2x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases} \]

步骤1：构造增广矩阵

\[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 & -1 \\ 3 & -1 & 4 & 7 \\ 2 & -3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

步骤2：列主元选择+行变换化为行阶梯形

1. 第1列选主元：绝对值最大元素为\(3\)（第2行），交换\(r_1 \leftrightarrow r_2\)：

   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & 7 \\ -1 & 2 & -2 & -1 \\ 2 & -3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

   消去第1列下方元素：\(r_2=r_2+\frac{1}{3}r_1,\ r_3=r_3-\frac{2}{3}r_1\)

   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & \frac{5}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & -\frac{7}{3} & -\frac{14}{3} & -\frac{14}{3} \end{pmatrix} \]

2. 第2列选主元：行号≥2的元素中，绝对值最大为\(-\frac{7}{3}\)（第3行），交换\(r_2 \leftrightarrow r_3\)：

   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & -\frac{7}{3} & -\frac{14}{3} & -\frac{14}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} \end{pmatrix} \]

   消去第2列下方元素：\(r_3=r_3+\frac{5}{7}r_2\)

   \[\overline{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & -\frac{7}{3} & -\frac{14}{3} & -\frac{14}{3} \\ 0 & 0 & -4 & -2 \end{pmatrix} \]

步骤3：回代求解

• 第3行：\(-4x_3=-2 \implies \boldsymbol{x_3=\frac{1}{2}}\)
• 第2行：\(-\frac{7}{3}x_2 -\frac{14}{3}x_3=-\frac{14}{3} \implies \boldsymbol{x_2=1}\)
• 第1行：\(3x_1 -x_2 +4x_3=7 \implies \boldsymbol{x_1=2}\)

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最终解汇总

题号	解
1(1)	\(x_1=-\frac{14}{11},\ x_2=-\frac{23}{11},\ x_3=-\frac{7}{11}\)
1(2)	\(x_1=\frac{3}{8},\ x_2=\frac{7}{12},\ x_3=\frac{1}{24}\)
2(1)	\(x_1=3,\ x_2=6,\ x_3=-1\)
2(2)	\(x_1=2,\ x_2=1,\ x_3=\frac{1}{2}\)

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题4：Gauss-Jordan消元法求逆矩阵（增广矩阵法）

方法原理

构造增广矩阵 \(\overline{\boldsymbol{A}}=(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E})\)，通过初等行变换将左侧的 \(\boldsymbol{A}\) 化为单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\)，此时右侧的单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\) 同步变换为 \(\boldsymbol{A}^{-1}\)。

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(1) 3阶矩阵求逆

\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} 11 & -3 & -2 \\ -23 & 11 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \]

步骤1：构造增广矩阵

\[\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix} 11 & -3 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ -23 & 11 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

步骤2：初等行变换化为单位矩阵

1. 交换 \(r_1 \leftrightarrow r_3\)（简化主元计算）：
   \[\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ -23 & 11 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 11 & -3 & -2 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

2. 消去第1列非主元：\(r_2=r_2+23r_1,\ r_3=r_3-11r_1\)
   \[\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -35 & 47 & 0 & 1 & 23 \\ 0 & 19 & -24 & 1 & 0 & -11 \end{pmatrix} \]

3. 主元归一+消去第2列非主元：\(r_2=-\frac{1}{35}r_2,\ r_1=r_1+2r_2,\ r_3=r_3-19r_2\)
   \[\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{24}{35} & 0 & -\frac{2}{35} & -\frac{11}{35} \\ 0 & 1 & -\frac{47}{35} & 0 & -\frac{1}{35} & -\frac{23}{35} \\ 0 & 0 & \frac{53}{35} & 1 & \frac{19}{35} & \frac{52}{35} \end{pmatrix} \]

4. 主元归一+消去第3列非主元：\(r_3=\frac{35}{53}r_3,\ r_1=r_1+\frac{24}{35}r_3,\ r_2=r_2+\frac{47}{35}r_3\)
   \[\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{24}{53} & \frac{10}{53} & \frac{19}{53} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{47}{53} & \frac{24}{53} & \frac{35}{53} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{35}{53} & \frac{19}{53} & \frac{52}{53} \end{pmatrix} \]

最终逆矩阵

\[\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{53}\begin{pmatrix} 24 & 10 & 19 \\ 47 & 24 & 35 \\ 35 & 19 & 52 \end{pmatrix} \]

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(2) 4阶矩阵求逆

\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 3 & 2 \\ 4 & -3 & 0 & 1 \\ 6 & 1 & -6 & -5 \end{pmatrix} \]

步骤1：构造增广矩阵

\[\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 1 & -6 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

步骤2：初等行变换化为单位矩阵

1. 选列主元交换行：\(r_1 \leftrightarrow r_4\)，消去第1列非主元：\(r_2=r_2-\frac{1}{2}r_1,\ r_3=r_3-\frac{2}{3}r_1\)
2. 主元归一+消去第2列非主元，再主元归一+消去第3列非主元，最后主元归一+消去第4列非主元，最终得到：
   \[\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{44} & \frac{5}{44} & \frac{7}{88} & \frac{5}{88} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{11} & \frac{1}{11} & -\frac{3}{22} & \frac{1}{22} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{23}{44} & \frac{37}{132} & -\frac{15}{88} & -\frac{7}{264} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{7}{11} & -\frac{2}{11} & \frac{3}{11} & -\frac{1}{11} \end{pmatrix} \]

最终逆矩阵

\[\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{44} & \frac{5}{44} & \frac{7}{88} & \frac{5}{88} \\ \frac{2}{11} & \frac{1}{11} & -\frac{3}{22} & \frac{1}{22} \\ -\frac{23}{44} & \frac{37}{132} & -\frac{15}{88} & -\frac{7}{264} \\ \frac{7}{11} & -\frac{2}{11} & \frac{3}{11} & -\frac{1}{11} \end{pmatrix} \]

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追赶法（Thomas算法）核心原理

针对三对角方程组\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{d}\)，先对三对角矩阵做Crout分解：\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}\)，其中

• \(\boldsymbol{L}\)：下双对角矩阵（主对角线非零，次对角线与\(\boldsymbol{A}\)的下对角线一致）
• \(\boldsymbol{U}\)：单位上双对角矩阵（主对角线全为1，上对角线为分解系数）

求解分为两步：

1. 前向追赶：解下三角方程组\(\boldsymbol{L}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{d}\)，得到中间向量\(\boldsymbol{y}\)
2. 回代追赶：解单位上三角方程组\(\boldsymbol{U}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)，得到最终解\(\boldsymbol{x}\)

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(1) 三对角方程组求解

已知：

\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{d}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix} \]

步骤1：定义三对角元素

• 下对角线（次对角线）：\(\boldsymbol{a}=[a_2,a_3,a_4]=[1,1,1]\)
• 主对角线：\(\boldsymbol{b}=[b_1,b_2,b_3,b_4]=[-2,-2,-2,-2]\)
• 上对角线（上次对角线）：\(\boldsymbol{c}=[c_1,c_2,c_3]=[1,1,1]\)

步骤2：Crout分解计算\(\boldsymbol{L}\)和\(\boldsymbol{U}\)

按公式计算分解系数：

• \(l_1 = b_1=-2\)，\(u_1=\frac{c_1}{l_1}=-\frac{1}{2}\)
• \(l_2 = b_2 - a_1u_1=-\frac{3}{2}\)，\(u_2=\frac{c_2}{l_2}=-\frac{2}{3}\)
• \(l_3 = b_3 - a_2u_2=-\frac{4}{3}\)，\(u_3=\frac{c_3}{l_3}=-\frac{3}{4}\)
• \(l_4 = b_4 - a_3u_3=-\frac{5}{4}\)

得到分解矩阵：

\[\boldsymbol{L}=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -\frac{3}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{4} \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{U}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

步骤3：前向替换解\(\boldsymbol{L}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{d}\)

\[\begin{cases} y_1 = \frac{d_1}{l_1} = -\frac{1}{2} \\ y_2 = \frac{d_2 - a_1y_1}{l_2} = -1 \\ y_3 = \frac{d_3 - a_2y_2}{l_3} = -\frac{3}{4} \\ y_4 = \frac{d_4 - a_3y_3}{l_4} = \frac{1}{5} \end{cases} \implies \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ -1 \\ -\frac{3}{4} \\ \frac{1}{5}\end{pmatrix} \]

步骤4：回代解\(\boldsymbol{U}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)

\[\begin{cases} x_4 = y_4 = \frac{1}{5} \\ x_3 = y_3 - u_3x_4 = -\frac{3}{5} \\ x_2 = y_2 - u_2x_3 = -\frac{7}{5} \\ x_1 = y_1 - u_1x_2 = -\frac{6}{5} \end{cases} \]

最终解

\[\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{-\frac{6}{5}} \\ \boldsymbol{-\frac{7}{5}} \\ \boldsymbol{-\frac{3}{5}} \\ \boldsymbol{\frac{1}{5}}\end{pmatrix} \]

（代入原方程组验证，所有方程均成立）

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(2) 三对角方程组求解

已知：

\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} -4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{d}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix} \]

步骤1：定义三对角元素

• 下对角线：\(\boldsymbol{a}=[1,1,1]\)
• 主对角线：\(\boldsymbol{b}=[-4,-4,-4,-4]\)
• 上对角线：\(\boldsymbol{c}=[1,1,1]\)

步骤2：Crout分解计算\(\boldsymbol{L}\)和\(\boldsymbol{U}\)

按公式计算分解系数：

• \(l_1 = -4\)，\(u_1=-\frac{1}{4}\)
• \(l_2 = -\frac{15}{4}\)，\(u_2=-\frac{4}{15}\)
• \(l_3 = -\frac{56}{15}\)，\(u_3=-\frac{15}{56}\)
• \(l_4 = -\frac{209}{56}\)

得到分解矩阵：

\[\boldsymbol{L}=\begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -\frac{15}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{56}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{209}{56} \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{U}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{15}{56} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

步骤3：前向替换解\(\boldsymbol{L}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{d}\)

\[\boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{3} \\ -\frac{5}{14} \\ -\frac{4}{11}\end{pmatrix} \]

步骤4：回代解\(\boldsymbol{U}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)

\[\begin{cases} x_4 = -\frac{4}{11} \\ x_3 = -\frac{5}{11} \\ x_2 = -\frac{5}{11} \\ x_1 = -\frac{4}{11} \end{cases} \]

最终解

\[\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{-\frac{4}{11}} \\ \boldsymbol{-\frac{5}{11}} \\ \boldsymbol{-\frac{5}{11}} \\ \boldsymbol{-\frac{4}{11}}\end{pmatrix} \]

（代入原方程组验证，所有方程均成立）

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题15 解答

① 矩阵\(\boldsymbol{A}\)的性态分析

矩阵的性态由条件数衡量，条件数\(cond(\boldsymbol{A})=||\boldsymbol{A}||\cdot||\boldsymbol{A}^{-1}||\)，条件数越小矩阵越良态（数值稳定性好），反之则为病态矩阵。

给定矩阵：

\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2 & 6 \\ 2 & 0.0001\end{pmatrix} \]

1. 计算无穷范数\(||\boldsymbol{A}||_\infty\)（行和绝对值的最大值）：

   \[||\boldsymbol{A}||_\infty = \max\{|2|+|6|,\ |2|+|0.0001|\} = 8 \]

2. 计算逆矩阵\(\boldsymbol{A}^{-1}\)：
   行列式\(\det(\boldsymbol{A})=2\times0.0001 - 6\times2 = -11.9998\)，由二阶矩阵逆公式得：

   \[\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{-11.9998}\begin{pmatrix}0.0001 & -6 \\ -2 & 2\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}-8.33\times10^{-6} & 0.5000 \\ 0.1667 & -0.1667\end{pmatrix} \]

3. 计算\(||\boldsymbol{A}^{-1}||_\infty\)：

   \[||\boldsymbol{A}^{-1}||_\infty = \max\{|-8.33\times10^{-6}|+|0.5000|,\ |0.1667|+|-0.1667|\} \approx 0.5000 \]

4. 无穷范数条件数：

   \[cond(\boldsymbol{A})_\infty = ||\boldsymbol{A}||_\infty \cdot ||\boldsymbol{A}^{-1}||_\infty \approx 8\times0.5 = 4 \]

性态结论：矩阵\(\boldsymbol{A}\)的条件数极小，属于良态矩阵，数值稳定性好，右端项的微小扰动不会引起解的剧烈变化。

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② 方程组求解与解的关联分析

方程组1：\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}_1\)，\(\boldsymbol{b}_1=\begin{pmatrix}8 \\ 8.00001\end{pmatrix}\)

方程组展开：

\[\begin{cases}2x_1 + 6x_2 = 8 \\ 2x_1 + 0.0001x_2 = 8.00001\end{cases} \]

两式相减消元得\(5.9999x_2 = -0.00001\)，解得：

\[\boldsymbol{x}_1 \approx \begin{pmatrix}4.000005 \\ -1.6667\times10^{-6}\end{pmatrix} \]

方程组2：\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}_2\)，\(\boldsymbol{b}_2=\begin{pmatrix}8 \\ 8.00002\end{pmatrix}\)

同理消元得\(5.9999x_2 = -0.00002\)，解得：

\[\boldsymbol{x}_2 \approx \begin{pmatrix}4.00001 \\ -3.3334\times10^{-6}\end{pmatrix} \]

解的关联分析

右端项扰动\(\Delta\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{b}_1=\begin{pmatrix}0 \\ 0.0001\end{pmatrix}\)，解的扰动\(\Delta\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{x}_1\approx\begin{pmatrix}5\times10^{-6} \\ -1.6667\times10^{-6}\end{pmatrix}\)。

解的相对误差与右端项相对误差的比值远小于条件数，符合良态矩阵的特性：右端项的微小扰动仅引起解的微小变化，两个方程组的解仅存在\(10^{-6}\)量级的差异，几乎一致。

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题16 解答

1. 系数矩阵的条件数计算

系数矩阵：

\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 0.99 \\ 0.99 & 0.98\end{pmatrix} \]

1. 无穷范数\(||\boldsymbol{A}||_\infty\)：

   \[||\boldsymbol{A}||_\infty = \max\{|1|+|0.99|,\ |0.99|+|0.98|\} = 1.99 \]

2. 逆矩阵\(\boldsymbol{A}^{-1}\)：
   行列式\(\det(\boldsymbol{A})=1\times0.98 - 0.99^2 = -0.0001\)，因此：

   \[\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{-0.0001}\begin{pmatrix}0.98 & -0.99 \\ -0.99 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9800 & 9900 \\ 9900 & -10000\end{pmatrix} \]

3. 无穷范数\(||\boldsymbol{A}^{-1}||_\infty\)：

   \[||\boldsymbol{A}^{-1}||_\infty = \max\{|-9800|+|9900|,\ |9900|+|-10000|\} = 19900 \]

4. 无穷范数条件数：

   \[cond(\boldsymbol{A})_\infty = 1.99 \times 19900 = 39601 \]

结论：系数矩阵条件数极大，属于严重病态矩阵。

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2. 残向量计算

残向量定义：\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{A}\hat{\boldsymbol{x}}\)，其中右端项\(\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\)，\(\hat{\boldsymbol{x}}\)为近似解。

近似解1：\(\hat{\boldsymbol{x}}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\)

\[\boldsymbol{A}\hat{\boldsymbol{x}}_1 = \begin{pmatrix}1 & 0.99 \\ 0.99 & 0.98\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0.99\end{pmatrix} \]

残向量：

\[\boldsymbol{r}_1 = \begin{pmatrix}1-1 \\ 1-0.99\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0.01\end{pmatrix},\quad ||\boldsymbol{r}_1||_\infty=0.01 \]

近似解2：\(\hat{\boldsymbol{x}}_2=\begin{pmatrix}100.5 \\ -99.5\end{pmatrix}\)

\[\boldsymbol{A}\hat{\boldsymbol{x}}_2 = \begin{pmatrix}1 & 0.99 \\ 0.99 & 0.98\end{pmatrix}\begin{pmatrix}100.5 \\ -99.5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1.995 \\ 1.985\end{pmatrix} \]

残向量：

\[\boldsymbol{r}_2 = \begin{pmatrix}1-1.995 \\ 1-1.985\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.995 \\ -0.985\end{pmatrix},\quad ||\boldsymbol{r}_2||_\infty=0.995 \]

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3. 结果分析

精确解为\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}100 \\ -100\end{pmatrix}\)，对比两个近似解的误差：

• 近似解1的误差：\(\Delta\boldsymbol{x}_1=\hat{\boldsymbol{x}}_1-\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}-99 \\ 100\end{pmatrix}\)，\(||\Delta\boldsymbol{x}_1||_\infty=100\)，误差极大（完全错误），但残量极小。
• 近似解2的误差：\(\Delta\boldsymbol{x}_2=\hat{\boldsymbol{x}}_2-\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}0.5 \\ 0.5\end{pmatrix}\)，\(||\Delta\boldsymbol{x}_2||_\infty=0.5\)，误差极小（高精度近似），但残量极大。

核心结论：
对于病态矩阵（条件数极大），残向量的大小不能作为近似解精度的判断依据。残量小不代表解的误差小，残量大也不代表解的误差大，病态矩阵会导致残量与解的误差完全脱节，仅通过残量无法判断解的好坏。

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题8：正定判定与\(\boldsymbol{LL^T}\)分解（Cholesky分解）

正定判定规则

对称矩阵\(\boldsymbol{A}\)正定的充要条件：所有顺序主子式均大于0。
\(\boldsymbol{LL^T}\)分解：将正定对称矩阵分解为\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{L^T}\)，其中\(\boldsymbol{L}\)是对角线元素为正的下三角矩阵。

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(1) 矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}4 & 2 & -1 \\2 & 3 & 0 \\-1 & 0 & 2\end{pmatrix}\)

步骤1：正定判定

1. 对称性：\(\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}\)，满足对称条件。
2. 顺序主子式计算：
   • 1阶主子式：\(\Delta_1=4>0\)
   • 2阶主子式：\(\Delta_2=\begin{vmatrix}4 & 2 \\2 & 3\end{vmatrix}=12-4=8>0\)
   • 3阶主子式：\(\Delta_3=\begin{vmatrix}4 & 2 & -1 \\2 & 3 & 0 \\-1 & 0 & 2\end{vmatrix}=13>0\)
     所有顺序主子式均大于0，\(\boldsymbol{A}\)为正定矩阵。

步骤2：\(\boldsymbol{LL^T}\)分解

设\(\boldsymbol{L}=\begin{pmatrix}l_{11} & 0 & 0 \\l_{21} & l_{22} & 0 \\l_{31} & l_{32} & l_{33}\end{pmatrix}\)，按Cholesky公式计算：

• \(l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2\)
• \(l_{21}=\frac{a_{21}}{l_{11}}=\frac{2}{2}=1\)，\(l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}\)
• \(l_{31}=\frac{a_{31}}{l_{11}}=-\frac{1}{2}\)，\(l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}}{l_{22}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)，\(l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^2-l_{32}^2}=\frac{\sqrt{26}}{4}\)

最终分解结果：

\[\boldsymbol{L}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\1 & \sqrt{2} & 0 \\-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{26}}{4}\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{L^T} \]

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(2) 矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\-1 & 3 & 0 \\2 & 0 & 4\end{pmatrix}\)

步骤1：正定判定

1. 对称性：\(\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}\)，满足对称条件。
2. 顺序主子式计算：
   • 1阶主子式：\(\Delta_1=2>0\)
   • 2阶主子式：\(\Delta_2=\begin{vmatrix}2 & -1 \\-1 & 3\end{vmatrix}=6-1=5>0\)
   • 3阶主子式：\(\Delta_3=\begin{vmatrix}2 & -1 & 2 \\-1 & 3 & 0 \\2 & 0 & 4\end{vmatrix}=8>0\)
     所有顺序主子式均大于0，\(\boldsymbol{A}\)为正定矩阵。

步骤2：\(\boldsymbol{LL^T}\)分解

按Cholesky公式计算：

• \(l_{11}=\sqrt{2}\)，\(l_{21}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(l_{22}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
• \(l_{31}=\sqrt{2}\)，\(l_{32}=\frac{\sqrt{10}}{5}\)，\(l_{33}=\frac{2\sqrt{10}}{5}\)

最终分解结果：

\[\boldsymbol{L}=\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 0 & 0 \\-\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{10}}{2} & 0 \\\sqrt{2} & \frac{\sqrt{10}}{5} & \frac{2\sqrt{10}}{5}\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{L^T} \]

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题9：\(\boldsymbol{LDL^T}\)分解法解线性方程组

方法原理

对对称矩阵\(\boldsymbol{A}\)做分解\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{D}\boldsymbol{L^T}\)，其中\(\boldsymbol{L}\)为单位下三角矩阵，\(\boldsymbol{D}\)为对角矩阵，避免开方运算。
方程组\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)分三步求解：

1. 前向替换：解\(\boldsymbol{L}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}\)
2. 对角求解：解\(\boldsymbol{D}\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}\)
3. 回代求解：解\(\boldsymbol{L^T}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{z}\)

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(1) 方程组\(\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 \\-1 & -2 & 3 \\1 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\5 \\6\end{pmatrix}\)

步骤1：\(\boldsymbol{LDL^T}\)分解

计算得：

\[\boldsymbol{L}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\-\frac{1}{2} & 1 & 0 \\\frac{1}{2} & -\frac{7}{5} & 1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & -\frac{5}{2} & 0 \\0 & 0 & \frac{27}{5}\end{pmatrix} \]

步骤2：解\(\boldsymbol{L}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}\)

\[\begin{cases} y_1=4 \\ -\frac{1}{2}y_1+y_2=5 \\ \frac{1}{2}y_1-\frac{7}{5}y_2+y_3=6 \end{cases} \implies \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}4 \\7 \\\frac{69}{5}\end{pmatrix} \]

步骤3：解\(\boldsymbol{D}\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}\)

\[z_i=\frac{y_i}{d_i} \implies \boldsymbol{z}=\begin{pmatrix}2 \\-\frac{14}{5} \\\frac{23}{9}\end{pmatrix} \]

步骤4：解\(\boldsymbol{L^T}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{z}\)

\[\begin{cases} x_1-\frac{1}{2}x_2+\frac{1}{2}x_3=2 \\ x_2-\frac{7}{5}x_3=-\frac{14}{5} \\ x_3=\frac{23}{9} \end{cases} \implies \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\frac{10}{9}} \\\boldsymbol{\frac{7}{9}} \\\boldsymbol{\frac{23}{9}}\end{pmatrix} \]

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(2) 方程组\(\begin{pmatrix}5 & -4 & 1 \\-4 & 6 & -4 \\1 & -4 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 \\-1 \\-1\end{pmatrix}\)

步骤1：\(\boldsymbol{LDL^T}\)分解

计算得：

\[\boldsymbol{L}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\-\frac{4}{5} & 1 & 0 \\\frac{1}{5} & -\frac{8}{7} & 1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\0 & \frac{14}{5} & 0 \\0 & 0 & \frac{15}{7}\end{pmatrix} \]

步骤2：解\(\boldsymbol{L}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}\)

\[\boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}12 \\\frac{43}{5} \\\frac{45}{7}\end{pmatrix} \]

步骤3：解\(\boldsymbol{D}\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}\)

\[\boldsymbol{z}=\begin{pmatrix}\frac{12}{5} \\\frac{43}{14} \\3\end{pmatrix} \]

步骤4：解\(\boldsymbol{L^T}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{z}\)

\[\begin{cases} x_1-\frac{4}{5}x_2+\frac{1}{5}x_3=\frac{12}{5} \\ x_2-\frac{8}{7}x_3=\frac{43}{14} \\ x_3=3 \end{cases} \implies \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{7} \\\boldsymbol{\frac{13}{2}} \\\boldsymbol{3}\end{pmatrix} \]

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列主元消去法求解线性方程组 详细讲解与推导

一、核心知识点讲解

1. 列主元消去法的核心思想

列主元消去法是高斯消去法的数值稳定改进版本，用于求解n元线性方程组\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)，核心逻辑是：
将线性方程组的增广矩阵通过初等行变换转化为上三角矩阵，再通过回代求解未知数；为了避免普通高斯消去法中主元（对角线元素）绝对值过小导致的舍入误差放大，每一步消元前，在当前待消元的列中，从主元行及以下的行里，选出绝对值最大的元素作为列主元，交换主元行与当前行后再消元。

2. 方法的核心步骤

1. 构造增广矩阵\(\overline{A}=[A \mid \boldsymbol{b}]\)，\(A\)为系数矩阵，\(\boldsymbol{b}\)为常数项向量；
2. 第\(k\)步消元（\(k=1,2,\dots,n-1\)，\(n\)为未知数个数）：
   • 选列主元：在第\(k\)列中，从第\(k\)行到第\(n\)行找到绝对值最大的元素，记其行号为\(i\)；
   • 换行：若\(i\neq k\)，交换第\(i\)行与第\(k\)行的全部元素（含常数项），每交换1行，行列式值变号1次；
   • 消元：对第\(k+1\)到第\(n\)行，执行行变换\(r_i = r_i - \frac{a_{ik}}{a_{kk}}r_k\)，将第\(k\)列主元下方的元素全部消为0，该变换不改变行列式的值；
3. 回代求解：消元后得到上三角方程组，从最后一个方程开始，从后往前依次求解\(x_n,x_{n-1},\dots,x_1\)；
4. 行列式计算：上三角矩阵的行列式等于主对角线元素的乘积，再结合换行次数修正符号，得到原系数矩阵的行列式\(\det A\)。

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二、本题详细推导与计算

步骤1：写出原方程组与增广矩阵

原线性方程组：

\[\begin{cases} 12x_1 - 3x_2 + 3x_3 = 15 \quad (1)\\ -18x_1 + 3x_2 - x_3 = -15 \quad (2)\\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \quad (3) \end{cases} \]

系数矩阵\(A\)和常数项向量\(\boldsymbol{b}\)：

\[A = \begin{pmatrix}12 & -3 & 3 \\-18 & 3 & -1 \\1 & 1 & 1\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}15 \\-15 \\6\end{pmatrix} \]

增广矩阵\(\overline{A}=[A \mid \boldsymbol{b}]\)：

\[\overline{A} = \left( \begin{array}{ccc|c} 12 & -3 & 3 & 15 \\ -18 & 3 & -1 & -15 \\ 1 & 1 & 1 & 6 \end{array} \right) \]

本题未知数个数\(n=3\)，需要执行\(n-1=2\)步消元。

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步骤2：第1步消元（\(k=1\)，处理第1列）

（1）选列主元

第1列的元素为\(12,-18,1\)，绝对值分别为\(12,18,1\)，绝对值最大的元素是\(-18\)，位于第2行，因此列主元为\(-18\)，主元行是第2行。

（2）换行

交换第1行和第2行，换行次数记为\(1\)次，交换后增广矩阵：

\[\overline{A}_1 = \left( \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{-18} & 3 & -1 & -15 \\ 12 & -3 & 3 & 15 \\ 1 & 1 & 1 & 6 \end{array} \right) \]

（3）消元（消去第1列主元下方的元素）

• 处理第2行：乘数\(m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{12}{-18}=-\frac{2}{3}\)，行变换\(r_2 = r_2 - m_{21}r_1 = r_2 + \frac{2}{3}r_1\)
  计算得第2行：\([0,\ -1,\ \frac{7}{3},\ 5]\)
• 处理第3行：乘数\(m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{1}{-18}=-\frac{1}{18}\)，行变换\(r_3 = r_3 - m_{31}r_1 = r_3 + \frac{1}{18}r_1\)
  计算得第3行：\([0,\ \frac{7}{6},\ \frac{17}{18},\ \frac{31}{6}]\)

第1步消元完成，增广矩阵变为：

\[\overline{A}_1' = \left( \begin{array}{ccc|c} -18 & 3 & -1 & -15 \\ 0 & -1 & \frac{7}{3} & 5 \\ 0 & \frac{7}{6} & \frac{17}{18} & \frac{31}{6} \end{array} \right) \]

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步骤3：第2步消元（\(k=2\)，处理第2列）

（1）选列主元

第2列中，主元行及以下的元素为\(-1,\frac{7}{6}\)，绝对值分别为\(1,\frac{7}{6}\approx1.167\)，绝对值最大的元素是\(\frac{7}{6}\)，位于第3行，因此列主元为\(\frac{7}{6}\)，主元行是第3行。

（2）换行

交换第2行和第3行，换行次数累计为\(2\)次，交换后增广矩阵：

\[\overline{A}_2 = \left( \begin{array}{ccc|c} -18 & 3 & -1 & -15 \\ 0 & \boldsymbol{\frac{7}{6}} & \frac{17}{18} & \frac{31}{6} \\ 0 & -1 & \frac{7}{3} & 5 \end{array} \right) \]

（3）消元（消去第2列主元下方的元素）

处理第3行：乘数\(m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-1}{\frac{7}{6}}=-\frac{6}{7}\)，行变换\(r_3 = r_3 - m_{32}r_2 = r_3 + \frac{6}{7}r_2\)
计算得第3行：\([0,\ 0,\ \frac{22}{7},\ \frac{66}{7}]\)

第2步消元完成，增广矩阵转化为上三角形式：

\[\overline{A}_2' = \left( \begin{array}{ccc|c} -18 & 3 & -1 & -15 \\ 0 & \frac{7}{6} & \frac{17}{18} & \frac{31}{6} \\ 0 & 0 & \frac{22}{7} & \frac{66}{7} \end{array} \right) \]

对应的上三角方程组：

\[\begin{cases} -18x_1 + 3x_2 - x_3 = -15 \quad (1')\\ \frac{7}{6}x_2 + \frac{17}{18}x_3 = \frac{31}{6} \quad (2')\\ \frac{22}{7}x_3 = \frac{66}{7} \quad (3') \end{cases} \]

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步骤4：回代求解未知数

从最后一个方程开始，从后往前依次求解：

1. 求解\(x_3\)：
   由方程\((3')\)，两边同乘\(7\)得\(22x_3=66\)，解得\(\boldsymbol{x_3=3}\)。

2. 求解\(x_2\)：
   将\(x_3=3\)代入方程\((2')\)：

   \[\frac{7}{6}x_2 + \frac{17}{18}\times3 = \frac{31}{6} \]

   化简得\(\frac{7}{6}x_2 + \frac{17}{6} = \frac{31}{6}\)，即\(7x_2=14\)，解得\(\boldsymbol{x_2=2}\)。

3. 求解\(x_1\)：
   将\(x_2=2,x_3=3\)代入方程\((1')\)：

   \[-18x_1 + 3\times2 - 3 = -15 \]

   化简得\(-18x_1 + 3 = -15\)，即\(-18x_1=-18\)，解得\(\boldsymbol{x_1=1}\)。

解验证：将\(x_1=1,x_2=2,x_3=3\)代入原方程组，三个方程均成立，解正确。

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步骤5：计算系数矩阵的行列式\(\det A\)

根据行列式的性质：

1. 上三角矩阵的行列式=主对角线元素的乘积；
2. 交换两行，行列式变号，换行次数为\(2\)，因此符号修正项为\((-1)^2=1\)；
3. 消元的行变换不改变行列式的值。

消元后得到的上三角矩阵\(U\)：

\[U = \begin{pmatrix}-18 & 3 & -1 \\0 & \frac{7}{6} & \frac{17}{18} \\0 & 0 & \frac{22}{7}\end{pmatrix} \]

计算上三角矩阵的行列式：

\[\det U = (-18) \times \frac{7}{6} \times \frac{22}{7} = -18 \times \frac{22}{6} = -3\times22 = -66 \]

修正符号后得到原矩阵的行列式：

\[\det A = (-1)^{\text{换行次数}} \times \det U = (-1)^2 \times (-66) = \boldsymbol{-66} \]

直接展开验证：对原矩阵\(A\)按第一行展开计算行列式，结果同样为\(-66\)，计算正确。

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三、最终结果

1. 线性方程组的解：\(\boldsymbol{x_1=1,\ x_2=2,\ x_3=3}\)
2. 系数矩阵的行列式：\(\boldsymbol{\det A = -66}\)

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杜利特尔（Doolittle）直接三角分解法 详细讲解与求解过程

一、核心知识点讲解

1. 杜利特尔分解的核心原理

对于n阶非奇异系数矩阵\(A\)，杜利特尔分解是将\(A\)唯一分解为单位下三角矩阵\(L\)和上三角矩阵\(U\)的乘积，即：

\[A = LU \]

其中：

• 单位下三角矩阵\(L\)：主对角线元素全为1，主对角线上方元素全为0；
• 上三角矩阵\(U\)：主对角线下方元素全为0。

将线性方程组\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)代入分解式，可得：

\[LU\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \]

令\(U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)，则原方程组拆解为两个三角方程组，分两步求解：

1. 解单位下三角方程组\(L\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}\)（前代法，从第一个方程开始依次求解\(y_1,y_2,\dots,y_n\)）；
2. 解上三角方程组\(U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)（回代法，从最后一个方程开始依次求解\(x_n,x_{n-1},\dots,x_1\)）。

2. 杜利特尔分解的递推公式

设矩阵\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，\(L=(l_{ij})_{n\times n}\)（单位下三角，\(l_{ii}=1\)，\(i<j\)时\(l_{ij}=0\)），\(U=(u_{ij})_{n\times n}\)（上三角，\(i>j\)时\(u_{ij}=0\)），则分解的递推公式为：
对\(k=1,2,\dots,n\)，依次执行：

1. 计算\(U\)的第\(k\)行（行优先）：
   \[u_{kj} = a_{kj} - \sum_{m=1}^{k-1} l_{km}u_{mj}, \quad j=k,k+1,\dots,n \]

2. 计算\(L\)的第\(k\)列：
   \[l_{ik} = \frac{1}{u_{kk}}\left(a_{ik} - \sum_{m=1}^{k-1} l_{im}u_{mk}\right), \quad i=k+1,k+2,\dots,n \]

（注：\(k=1\)时，求和项为0，直接计算即可）

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二、本题详细求解过程

步骤1：写出原方程组的系数矩阵与常数项

原线性方程组为3元线性方程组：

\[\begin{cases} \frac{1}{4}x_1 + \frac{1}{5}x_2 + \frac{1}{6}x_3 = 9 \\ \frac{1}{3}x_1 + \frac{1}{4}x_2 + \frac{1}{5}x_3 = 8 \\ \frac{1}{2}x_1 + x_2 + 2x_3 = 8 \end{cases} \]

系数矩阵\(A\)和常数项向量\(\boldsymbol{b}\)为：

\[A = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2} & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} \]

待分解的单位下三角矩阵\(L\)和上三角矩阵\(U\)的结构为：

\[L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix} \]

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步骤2：执行杜利特尔分解（\(A=LU\)）

按递推公式，分\(k=1,2,3\)三步计算：

第1步：\(k=1\)，计算\(U\)的第1行、\(L\)的第1列

1. 计算\(U\)的第1行：\(k=1\)时求和项为0，\(u_{1j}=a_{1j}\)
   \[u_{11} = a_{11} = \frac{1}{4}, \quad u_{12} = a_{12} = \frac{1}{5}, \quad u_{13} = a_{13} = \frac{1}{6} \]

2. 计算\(L\)的第1列：\(l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}\)（\(i=2,3\)）
   \[l_{21} = \frac{a_{21}}{u_{11}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}, \quad l_{31} = \frac{a_{31}}{u_{11}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \]

此时矩阵更新为：

\[L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 2 & l_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix} \]

第2步：\(k=2\)，计算\(U\)的第2行、\(L\)的第2列

1. 计算\(U\)的第2行：\(u_{2j}=a_{2j} - l_{21}u_{1j}\)（\(j=2,3\)）
   \[u_{22} = a_{22} - l_{21}u_{12} = \frac{1}{4} - \frac{4}{3}\times\frac{1}{5} = \frac{1}{4} - \frac{4}{15} = -\frac{1}{60} \]
   \[u_{23} = a_{23} - l_{21}u_{13} = \frac{1}{5} - \frac{4}{3}\times\frac{1}{6} = \frac{1}{5} - \frac{2}{9} = -\frac{1}{45} \]

2. 计算\(L\)的第2列：\(l_{32}=\frac{1}{u_{22}}\left(a_{32} - l_{31}u_{12}\right)\)（\(i=3\)）
   \[l_{32} = \frac{1}{-\frac{1}{60}}\times\left(1 - 2\times\frac{1}{5}\right) = -60\times\frac{3}{5} = -36 \]

此时矩阵更新为：

\[L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 2 & -36 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ 0 & -\frac{1}{60} & -\frac{1}{45} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix} \]

第3步：\(k=3\)，计算\(U\)的第3行

\(k=3\)时，仅需计算\(u_{33}\)，无\(L\)的列需要计算：

\[u_{33} = a_{33} - l_{31}u_{13} - l_{32}u_{23} \]

代入数值计算：

\[u_{33} = 2 - 2\times\frac{1}{6} - (-36)\times\left(-\frac{1}{45}\right) = 2 - \frac{1}{3} - \frac{4}{5} = \frac{13}{15} \]

分解结果验证

最终得到杜利特尔分解的\(L\)和\(U\)：

\[\boldsymbol{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 2 & -36 & 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{U} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ 0 & -\frac{1}{60} & -\frac{1}{45} \\ 0 & 0 & \frac{13}{15} \end{pmatrix} \]

验证\(LU\)的乘积与原矩阵\(A\)完全一致，分解正确。

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步骤3：解单位下三角方程组\(L\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}\)（前代法）

写出方程组：

\[\begin{cases} 1\cdot y_1 = 9 \\ \frac{4}{3}y_1 + 1\cdot y_2 = 8 \\ 2y_1 -36y_2 + 1\cdot y_3 = 8 \end{cases} \]

从前往后依次求解：

1. 第一个方程直接得：\(\boldsymbol{y_1=9}\)
2. 代入第二个方程：\(\frac{4}{3}\times9 + y_2 = 8 \implies 12 + y_2 =8 \implies \boldsymbol{y_2=-4}\)
3. 代入第三个方程：\(2\times9 -36\times(-4) + y_3 =8 \implies 18+144+y_3=8 \implies \boldsymbol{y_3=-154}\)

得到\(\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} 9 \\ -4 \\ -154 \end{pmatrix}\)。

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步骤4：解上三角方程组\(U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)（回代法）

写出方程组：

\[\begin{cases} \frac{1}{4}x_1 + \frac{1}{5}x_2 + \frac{1}{6}x_3 = 9 \\ -\frac{1}{60}x_2 - \frac{1}{45}x_3 = -4 \\ \frac{13}{15}x_3 = -154 \end{cases} \]

从后往前依次求解：

1. 第三个方程求解\(x_3\)：
   \[\frac{13}{15}x_3 = -154 \implies \boldsymbol{x_3 = -\frac{2310}{13}} \]

2. 代入第二个方程求解\(x_2\)：
   \[-\frac{1}{60}x_2 - \frac{1}{45}\times\left(-\frac{2310}{13}\right) = -4 \]
   化简得：\(-\frac{1}{60}x_2 + \frac{154}{39} = -4 \implies \boldsymbol{x_2 = \frac{6200}{13}}\)
3. 代入第一个方程求解\(x_1\)：
   \[\frac{1}{4}x_1 + \frac{1}{5}\times\frac{6200}{13} + \frac{1}{6}\times\left(-\frac{2310}{13}\right) =9 \]
   化简得：\(\frac{1}{4}x_1 + \frac{855}{13} =9 \implies \boldsymbol{x_1 = -\frac{2952}{13}}\)

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步骤5：解的验证

将\(x_1=-\frac{2952}{13},x_2=\frac{6200}{13},x_3=-\frac{2310}{13}\)代入原方程组，三个方程左右两边完全相等，解正确。

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三、最终结果

线性方程组的解为：

\[\boldsymbol{x_1 = -\frac{2952}{13} \approx -227.077,\quad x_2 = \frac{6200}{13} \approx 476.923,\quad x_3 = -\frac{2310}{13} \approx -177.692} \]

或写为分数形式的解向量：

\[\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} -\dfrac{2952}{13} \\ \dfrac{6200}{13} \\ -\dfrac{2310}{13} \end{pmatrix} \]

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追赶法（托马斯算法）解三对角方程组 详细讲解与求解过程

一、核心知识点讲解

1. 追赶法的适用场景与核心思想

追赶法（Thomas算法）是专门针对三对角线性方程组的高效求解算法，是高斯消去法在三对角矩阵结构下的优化版本，时间复杂度仅为\(O(n)\)，远低于普通高斯消去的\(O(n^3)\)。

三对角矩阵的结构特征：仅主对角线、主对角线上方第一条次对角线（上对角线）、主对角线下方第一条次对角线（下对角线）的元素非零，其余元素全为0，形式如下：

\[A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & & & \\ c_1 & a_2 & b_2 & & \\ & c_2 & a_3 & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{pmatrix} \]

其中：

• \(a_i\)：主对角线元素（\(i=1,2,\dots,n\)）
• \(b_i\)：上对角线元素（\(i=1,2,\dots,n-1\)）
• \(c_i\)：下对角线元素（\(i=1,2,\dots,n-1\)）

追赶法的核心是对三对角矩阵做杜利特尔分解，将\(A\)分解为单位下二对角矩阵\(L\)和上二对角矩阵\(U\)的乘积：\(A=LU\)，其中：

\[L = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ l_1 & 1 & & & \\ & l_2 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & l_{n-1} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} u_1 & b_1 & & & \\ & u_2 & b_2 & & \\ & & u_3 & \ddots & \\ & & & \ddots & b_{n-1} \\ & & & & u_n \end{pmatrix} \]

2. 追赶法的核心步骤

求解三对角方程组\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\)（为避免与上对角线\(b_i\)混淆，常数项记为\(\boldsymbol{f}\)），分为3大步：

1. 分解阶段（LU分解）：递推计算\(l_i\)和\(u_i\)
   • 初始值：\(u_1 = a_1\)
   • 对\(i=1,2,\dots,n-1\)：
     \[l_i = \frac{c_i}{u_i}, \quad u_{i+1} = a_{i+1} - l_i b_i \]

2. 追的阶段（前代求解\(L\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\)）：从前往后递推计算\(\boldsymbol{y}\)
   • 初始值：\(y_1 = f_1\)
   • 对\(i=2,3,\dots,n\)：
     \[y_i = f_i - l_{i-1} y_{i-1} \]

3. 赶的阶段（回代求解\(U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)）：从后往前递推计算\(\boldsymbol{x}\)
   • 初始值：\(x_n = \frac{y_n}{u_n}\)
   • 对\(i=n-1,n-2,\dots,1\)：
     \[x_i = \frac{y_i - b_i x_{i+1}}{u_i} \]

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二、本题详细求解过程

步骤1：确定三对角矩阵的参数与常数项

本题为5阶三对角方程组，\(n=5\)，提取矩阵元素与常数项：

• 主对角线元素：\(a_1=2,\ a_2=2,\ a_3=2,\ a_4=2,\ a_5=2\)
• 上对角线元素：\(b_1=-1,\ b_2=-1,\ b_3=-1,\ b_4=-1\)
• 下对角线元素：\(c_1=-1,\ c_2=-1,\ c_3=-1,\ c_4=-1\)
• 常数项向量：\(\boldsymbol{f}=(1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0)^T\)

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步骤2：LU分解（计算\(l_i\)和\(u_i\)）

按递推公式依次计算：

1. 初始值：\(\boldsymbol{u_1 = a_1 = 2}\)
2. \(i=1\)：
   \[l_1 = \frac{c_1}{u_1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}, \quad u_2 = a_2 - l_1 b_1 = 2 - \left(-\frac{1}{2}\right)\times(-1) = \frac{3}{2} \]

3. \(i=2\)：
   \[l_2 = \frac{c_2}{u_2} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}, \quad u_3 = a_3 - l_2 b_2 = 2 - \left(-\frac{2}{3}\right)\times(-1) = \frac{4}{3} \]

4. \(i=3\)：
   \[l_3 = \frac{c_3}{u_3} = \frac{-1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}, \quad u_4 = a_4 - l_3 b_3 = 2 - \left(-\frac{3}{4}\right)\times(-1) = \frac{5}{4} \]

5. \(i=4\)：
   \[l_4 = \frac{c_4}{u_4} = \frac{-1}{\frac{5}{4}} = -\frac{4}{5}, \quad u_5 = a_5 - l_4 b_4 = 2 - \left(-\frac{4}{5}\right)\times(-1) = \frac{6}{5} \]

分解结果：

\[L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{3}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{4}{5} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{4} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{6}{5} \end{pmatrix} \]

验证\(LU\)乘积与原矩阵\(A\)完全一致，分解正确。

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步骤3：追的阶段（求解\(L\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\)）

按前代公式递推计算：

1. 初始值：\(\boldsymbol{y_1 = f_1 = 1}\)
2. \(i=2\)：\(y_2 = f_2 - l_1 y_1 = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\times1 = \frac{1}{2}\)
3. \(i=3\)：\(y_3 = f_3 - l_2 y_2 = 0 - \left(-\frac{2}{3}\right)\times\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)
4. \(i=4\)：\(y_4 = f_4 - l_3 y_3 = 0 - \left(-\frac{3}{4}\right)\times\frac{1}{3} = \frac{1}{4}\)
5. \(i=5\)：\(y_5 = f_5 - l_4 y_4 = 0 - \left(-\frac{4}{5}\right)\times\frac{1}{4} = \frac{1}{5}\)

得到\(\boldsymbol{y} = \left(1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5}\right)^T\)。

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步骤4：赶的阶段（求解\(U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)）

按回代公式递推计算：

1. 初始值：\(\boldsymbol{x_5 = \frac{y_5}{u_5} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{1}{6}}\)
2. \(i=4\)：\(x_4 = \frac{y_4 - b_4 x_5}{u_4} = \frac{\frac{1}{4} - (-1)\times\frac{1}{6}}{\frac{5}{4}} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{3}\)
3. \(i=3\)：\(x_3 = \frac{y_3 - b_3 x_4}{u_3} = \frac{\frac{1}{3} - (-1)\times\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2}\)
4. \(i=2\)：\(x_2 = \frac{y_2 - b_2 x_3}{u_2} = \frac{\frac{1}{2} - (-1)\times\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\)
5. \(i=1\)：\(x_1 = \frac{y_1 - b_1 x_2}{u_1} = \frac{1 - (-1)\times\frac{2}{3}}{2} = \frac{\frac{5}{3}}{2} = \frac{5}{6}\)

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步骤5：解的验证

将\(\boldsymbol{x}=\left(\frac{5}{6},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{6}\right)^T\)代入原方程组：

1. 第1个方程：\(2\times\frac{5}{6} - 1\times\frac{2}{3} = \frac{10}{6} - \frac{4}{6} = 1\)，与常数项一致；
2. 第2个方程：\(-1\times\frac{5}{6} + 2\times\frac{2}{3} -1\times\frac{1}{2} = -\frac{5}{6} + \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = 0\)，与常数项一致；
3. 第3-5个方程代入后均满足等式，解完全正确。

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三、最终结果

方程组的解为：

\[\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\frac{5}{6}} \\ \boldsymbol{\frac{2}{3}} \\ \boldsymbol{\frac{1}{2}} \\ \boldsymbol{\frac{1}{3}} \\ \boldsymbol{\frac{1}{6}} \end{pmatrix} \]

或小数形式：\(\boldsymbol{x}=(0.8333,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.3333,\ 0.1667)^T\)（保留4位小数）。

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改进平方根法（LDLT分解法）解线性方程组 详细讲解与求解过程

一、核心知识点讲解

1. 方法的适用场景与核心原理

改进平方根法（也叫LDLT分解法）是针对对称矩阵线性方程组的高效求解算法，是Cholesky分解（平方根法）的改进版本，核心优势是完全避免开方运算，减少计算量的同时提升了数值稳定性。

对于n阶对称矩阵\(A\)，改进平方根法将其唯一分解为：

\[A = L D L^T \]

其中：

• \(L\)：单位下三角矩阵（主对角线元素全为1，主对角线上方元素全为0）；
• \(D\)：对角矩阵（仅主对角线元素非零，其余元素全为0）；
• \(L^T\)：\(L\)的转置矩阵，为单位上三角矩阵。

将线性方程组\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)代入分解式，可拆解为3个简单的三角/对角方程组分步求解：

1. 解单位下三角方程组 \(L\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}\)（前代法，从前往后求解）；
2. 解对角方程组 \(D\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}\)（直接除法求解，\(\boldsymbol{z}=D^{-1}\boldsymbol{y}\)）；
3. 解单位上三角方程组 \(L^T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{z}\)（回代法，从后往前求解）。

2. LDLT分解的递推公式

设对称矩阵\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，单位下三角矩阵\(L=(l_{ij})_{n\times n}\)（\(l_{ii}=1\)，\(i<j\)时\(l_{ij}=0\)），对角矩阵\(D=\text{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n)\)，分解的递推公式为：

对\(k=1,2,\dots,n\)，依次执行：

1. 计算对角元\(d_k\)：
   \[d_k = a_{kk} - \sum_{m=1}^{k-1} l_{km}^2 d_m \]

2. 计算\(L\)的第\(k\)列元素（\(i=k+1,k+2,\dots,n\)）：
   \[l_{ik} = \frac{1}{d_k}\left( a_{ik} - \sum_{m=1}^{k-1} l_{im} l_{km} d_m \right) \]

（注：\(k=1\)时，求和项为0，直接计算即可）

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二、本题详细求解过程

步骤1：确认系数矩阵与常数项

原线性方程组为3元对称方程组，系数矩阵\(A\)和常数项\(\boldsymbol{b}\)为：

\[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \]

首先验证\(A^T=A\)，\(A\)是对称矩阵，满足LDLT分解的条件，未知数个数\(n=3\)。

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步骤2：执行LDLT分解（计算\(L\)和\(D\)）

按递推公式分\(k=1,2,3\)三步计算：

第1步：\(k=1\)

1. 计算对角元\(d_1\)：
   \[d_1 = a_{11} = 2 \]

2. 计算\(L\)的第1列元素（\(i=2,3\)）：
   \[l_{21} = \frac{a_{21}}{d_1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}, \quad l_{31} = \frac{a_{31}}{d_1} = \frac{1}{2} \]

第2步：\(k=2\)

1. 计算对角元\(d_2\)：
   \[d_2 = a_{22} - l_{21}^2 d_1 = -2 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times 2 = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \]

2. 计算\(L\)的第2列元素（\(i=3\)）：
   \[l_{32} = \frac{1}{d_2}\left( a_{32} - l_{31} l_{21} d_1 \right) = \frac{1}{-\frac{5}{2}} \times \left( 3 - \frac{1}{2}\times\left(-\frac{1}{2}\right)\times2 \right) = -\frac{7}{5} \]

第3步：\(k=3\)

仅需计算对角元\(d_3\)，无\(L\)的列需要计算：

\[d_3 = a_{33} - \left( l_{31}^2 d_1 + l_{32}^2 d_2 \right) = 1 - \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2\times2 + \left(-\frac{7}{5}\right)^2\times\left(-\frac{5}{2}\right) \right) = \frac{27}{5} \]

分解结果

最终得到单位下三角矩阵\(L\)和对角矩阵\(D\)：

\[\boldsymbol{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{7}{5} & 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{D} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{27}{5} \end{pmatrix} \]

验证：计算\(LDL^T\)，结果与原矩阵\(A\)完全一致，分解正确。

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步骤3：解单位下三角方程组\(L\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}\)（前代法）

写出方程组：

\[\begin{cases} 1\cdot y_1 = 4 \\ -\frac{1}{2}y_1 + 1\cdot y_2 = 5 \\ \frac{1}{2}y_1 - \frac{7}{5}y_2 + 1\cdot y_3 = 6 \end{cases} \]

从前往后依次求解：

1. 第一个方程直接得：\(\boldsymbol{y_1=4}\)
2. 代入第二个方程：\(-\frac{1}{2}\times4 + y_2 =5 \implies \boldsymbol{y_2=7}\)
3. 代入第三个方程：\(\frac{1}{2}\times4 - \frac{7}{5}\times7 + y_3 =6 \implies \boldsymbol{y_3=\frac{69}{5}}\)

得到\(\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ \frac{69}{5} \end{pmatrix}\)，代入验证与\(\boldsymbol{b}\)一致，求解正确。

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步骤4：解对角方程组\(D\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}\)

对角矩阵的逆矩阵为对角元取倒数，因此直接计算\(z_i = \frac{y_i}{d_i}\)：

\[z_1 = \frac{y_1}{d_1} = \frac{4}{2} = 2, \quad z_2 = \frac{y_2}{d_2} = \frac{7}{-\frac{5}{2}} = -\frac{14}{5}, \quad z_3 = \frac{y_3}{d_3} = \frac{\frac{69}{5}}{\frac{27}{5}} = \frac{23}{9} \]

得到\(\boldsymbol{z} = \begin{pmatrix} 2 \\ -\frac{14}{5} \\ \frac{23}{9} \end{pmatrix}\)，代入验证与\(\boldsymbol{y}\)一致，求解正确。

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步骤5：解单位上三角方程组\(L^T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{z}\)（回代法）

\(L\)的转置矩阵\(L^T\)为：

\[L^T = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{7}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

写出方程组：

\[\begin{cases} x_1 - \frac{1}{2}x_2 + \frac{1}{2}x_3 = 2 \\ x_2 - \frac{7}{5}x_3 = -\frac{14}{5} \\ x_3 = \frac{23}{9} \end{cases} \]

从后往前依次求解：

1. 第三个方程直接得：\(\boldsymbol{x_3=\frac{23}{9}}\)
2. 代入第二个方程：\(x_2 - \frac{7}{5}\times\frac{23}{9} = -\frac{14}{5} \implies \boldsymbol{x_2=\frac{7}{9}}\)
3. 代入第一个方程：\(x_1 - \frac{1}{2}\times\frac{7}{9} + \frac{1}{2}\times\frac{23}{9} = 2 \implies \boldsymbol{x_1=\frac{10}{9}}\)

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步骤6：解的验证

将\(\boldsymbol{x}=\left(\frac{10}{9},\ \frac{7}{9},\ \frac{23}{9}\right)^T\)代入原方程组：

1. 第一个方程：\(2\times\frac{10}{9} - \frac{7}{9} + \frac{23}{9} = 4\)，与常数项一致；
2. 第二个方程：\(-\frac{10}{9} - 2\times\frac{7}{9} + 3\times\frac{23}{9} =5\)，与常数项一致；
3. 第三个方程：\(\frac{10}{9} + 3\times\frac{7}{9} + \frac{23}{9} =6\)，与常数项一致。

三个方程均满足，解完全正确。

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三、最终结果

线性方程组的解为：

\[\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\frac{10}{9}} \\ \boldsymbol{\frac{7}{9}} \\ \boldsymbol{\frac{23}{9}} \end{pmatrix} \]

或小数形式（保留4位小数）：\(\boldsymbol{x}=(1.1111,\ 0.7778,\ 2.5556)^T\)。

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矩阵LU分解（杜利特尔分解）的存在性与唯一性分析

一、核心定理铺垫

杜利特尔分解定义：将n阶方阵\(A\)分解为\(A=LU\)，其中\(L\)是单位下三角矩阵（主对角线全为1，上三角元素全为0），\(U\)是上三角矩阵（下三角元素全为0）。

存在性与唯一性充要条件

n阶矩阵\(A\)存在唯一的杜利特尔LU分解，当且仅当\(A\)的前\(n-1\)阶顺序主子式全不为0。

• 顺序主子式：\(k\)阶顺序主子式\(D_k\)，是\(A\)的前\(k\)行、前\(k\)列构成的子矩阵的行列式；
• 若前\(n-1\)阶顺序主子式存在为0的情况：要么无法分解，要么分解存在但不唯一。

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二、逐个矩阵分析与推导

1. 矩阵\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 6 & 7\end{pmatrix}\)

步骤1：计算顺序主子式

• 1阶顺序主子式：\(D_1 = \det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = 1 \neq 0\)
• 2阶顺序主子式：\(D_2 = \det\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix} = 1\times4 - 2\times2 = 0\)
• 3阶顺序主子式：\(D_3 = \det(A) = -8 \neq 0\)

步骤2：分解性验证

前\(n-1=2\)阶顺序主子式\(D_2=0\)，不满足唯一分解条件，我们尝试构造分解：
设\(A=LU\)，其中\(L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1\end{pmatrix}\)，\(U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33}\end{pmatrix}\)，展开等式：

1. 第一行：\(u_{11}=1,\ u_{12}=2,\ u_{13}=3\)
2. 第二行：\(l_{21}=2\)，\(u_{22}=0\)，\(u_{23}=-5\)
3. 第三行：\(l_{31}=4\)，代入\(l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} = 6\)，得\(8=6\)，出现矛盾。

结论

矩阵\(A\)无法分解为\(L\)为单位下三角、\(U\)为上三角的LU形式。

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2. 矩阵\(B = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1\end{pmatrix}\)

步骤1：计算顺序主子式

• 1阶顺序主子式：\(D_1 = \det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = 1 \neq 0\)
• 2阶顺序主子式：\(D_2 = \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{pmatrix} = 0\)
• 3阶顺序主子式：\(D_3 = \det(B) = 0\)

步骤2：分解性验证

前\(n-1=2\)阶顺序主子式\(D_2=0\)，不满足唯一分解条件，尝试构造分解：
设\(B=LU\)，展开等式：

1. 第一行：\(u_{11}=1,\ u_{12}=1,\ u_{13}=1\)
2. 第二行：\(l_{21}=2\)，\(u_{22}=0\)，\(u_{23}=-1\)
3. 第三行：\(l_{31}=3\)，代入\(l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} = 3\)，得\(3=3\)，等式恒成立，因此\(l_{32}\)可取任意常数\(t\)，对应\(u_{33}=t-2\)。

由此得到无穷多组分解，例如：

• 取\(t=0\)：\(L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{pmatrix}\)，\(U=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}\)
• 取\(t=1\)：\(L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1\end{pmatrix}\)，\(U=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}\)

验证可知上述分解均满足\(B=LU\)。

结论

矩阵\(B\)可以分解为LU形式，但分解不唯一，有无穷多组解。

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3. 矩阵\(C = \begin{pmatrix}1 & 2 & 6 \\ 2 & 5 & 15 \\ 6 & 15 & 46\end{pmatrix}\)

步骤1：计算顺序主子式

• 1阶顺序主子式：\(D_1 = \det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = 1 \neq 0\)
• 2阶顺序主子式：\(D_2 = \det\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 5\end{pmatrix} = 1 \neq 0\)
• 3阶顺序主子式：\(D_3 = \det(C) = 1 \neq 0\)

前\(n-1=2\)阶顺序主子式全不为0，满足唯一分解的充要条件，因此矩阵\(C\)存在唯一的杜利特尔LU分解。

步骤2：唯一分解的计算

按杜利特尔分解递推公式计算：

1. \(k=1\)：\(u_{11}=1,\ u_{12}=2,\ u_{13}=6\)；\(l_{21}=2\)，\(l_{31}=6\)
2. \(k=2\)：\(u_{22}=5-2\times2=1\)，\(u_{23}=15-2\times6=3\)；\(l_{32}=\frac{15-6\times2}{1}=3\)
3. \(k=3\)：\(u_{33}=46-6\times6-3\times3=1\)

最终唯一分解结果

\[\boldsymbol{L} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 6 & 3 & 1\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{U} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

验证\(LU=C\)，等式完全成立。

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三、最终结论汇总

矩阵	能否进行LU分解（L单位下三角，U上三角）	分解是否唯一
\(A\)	不能分解	——
\(B\)	能分解	不唯一（无穷多组）
\(C\)	能分解	唯一

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矩阵范数计算 详细讲解与推导过程

一、核心知识点：矩阵常用范数的定义

设\(n\)阶矩阵\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，本题涉及的4种常用范数定义如下：

1. 行范数（∞-范数，\(||A||_\infty\)）：也叫行和范数，是矩阵每行元素绝对值之和的最大值
   \[||A||_\infty = \max_{1\leq i\leq n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}| \]

2. 列范数（1-范数，\(||A||_1\)）：也叫列和范数，是矩阵每列元素绝对值之和的最大值
   \[||A||_1 = \max_{1\leq j\leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}| \]

3. F-范数（Frobenius范数，\(||A||_F\)）：矩阵所有元素的平方和的平方根
   \[||A||_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2} \]

4. 2-范数（谱范数，\(||A||_2\)）：矩阵\(A^TA\)的最大特征值的平方根（\(A^T\)为\(A\)的转置）
   \[||A||_2 = \sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^TA)} \]
   其中\(\lambda_{\text{max}}\)表示矩阵的最大特征值。

本题矩阵为：

\[ A = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.5 \\ 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \]

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二、逐个范数详细计算

1. 行范数\(||A||_\infty\)

第一步：计算每行元素的绝对值之和

• 第1行：\(|0.6| + |0.5| = 0.6 + 0.5 = 1.1\)
• 第2行：\(|0.1| + |0.3| = 0.1 + 0.3 = 0.4\)

第二步：取最大值

\[||A||_\infty = \max(1.1, 0.4) = \boldsymbol{1.1} \]

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2. 列范数\(||A||_1\)

第一步：计算每列元素的绝对值之和

• 第1列：\(|0.6| + |0.1| = 0.6 + 0.1 = 0.7\)
• 第2列：\(|0.5| + |0.3| = 0.5 + 0.3 = 0.8\)

第二步：取最大值

\[||A||_1 = \max(0.7, 0.8) = \boldsymbol{0.8} \]

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3. F-范数\(||A||_F\)

第一步：计算所有元素的平方和

\[0.6^2 + 0.5^2 + 0.1^2 + 0.3^2 = 0.36 + 0.25 + 0.01 + 0.09 = 0.71 \]

第二步：对平方和开平方根

\[ ||A||_F = \sqrt{0.71} \approx \boldsymbol{0.8426} \]

（精确形式为\(\frac{\sqrt{71}}{10}\)）

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4. 2-范数\(||A||_2\)

步骤1：计算\(A^TA\)

先求\(A\)的转置：

\[A^T = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.1 \\ 0.5 & 0.3 \end{pmatrix} \]

矩阵乘法计算\(A^TA\)：

\[A^TA = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.1 \\ 0.5 & 0.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.6 & 0.5 \\ 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6^2+0.1^2 & 0.6\times0.5+0.1\times0.3 \\ 0.5\times0.6+0.3\times0.1 & 0.5^2+0.3^2 \end{pmatrix} \]

\[A^TA = \begin{pmatrix} 0.37 & 0.33 \\ 0.33 & 0.34 \end{pmatrix} \]

步骤2：求\(A^TA\)的特征值

特征方程为\(\det(\lambda I - A^TA) = 0\)，展开行列式：

\[\det\begin{pmatrix} \lambda - 0.37 & -0.33 \\ -0.33 & \lambda - 0.34 \end{pmatrix} = 0 \]

\[(\lambda - 0.37)(\lambda - 0.34) - 0.33^2 = 0 \]

展开并化简方程：

\[\lambda^2 - 0.71\lambda + 0.1258 - 0.1089 = 0 \]

\[\lambda^2 - 0.71\lambda + 0.0169 = 0 \]

用一元二次方程求根公式\(\lambda = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，其中\(a=1,b=-0.71,c=0.0169\)：

• 判别式\(\Delta = 0.71^2 - 4\times1\times0.0169 = 0.5041 - 0.0676 = 0.4365\)
• 两个特征值：
  \[\lambda_1 = \frac{0.71 + \sqrt{0.4365}}{2} \approx 0.6853, \quad \lambda_2 = \frac{0.71 - \sqrt{0.4365}}{2} \approx 0.0247 \]

步骤3：计算2-范数

最大特征值\(\lambda_{\text{max}} \approx 0.6853\)，因此：

\[||A||_2 = \sqrt{\lambda_{\text{max}}} = \sqrt{0.6853} \approx \boldsymbol{0.8279} \]

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三、最终结果汇总

范数类型	精确值/近似值
行范数（\(||A||_\infty\)）	\(\boldsymbol{1.1}\)
列范数（\(||A||_1\)）	\(\boldsymbol{0.8}\)
2-范数（\(||A||_2\)）	\(\approx \boldsymbol{0.8279}\)
F-范数（\(||A||_F\)）	\(\sqrt{0.71} \approx \boldsymbol{0.8426}\)