昆仑山:眼中无形心中有穴之穴人合一

夫君子之行，静以修身，俭以养德；非澹泊无以明志，非宁静无以致远。夫学须静也，才须学也；非学无以广才，非志无以成学。怠慢则不能励精，险躁则不能冶性。年与时驰，意与岁去，遂成枯落，多不接世。悲守穷庐，将复何及！

 

ch01微分几何预备知识

第一章 预备知识：三维欧氏空间中的标架 详细讲解与推导

各位同学，今天我们来系统讲解微分几何最核心的预备知识——三维欧氏空间与标架。微分几何的本质，是用标架这个工具，把曲线、曲面的几何性质转化为代数运算，而这部分内容就是整个微分几何的基石。我们会从最基础的公理化定义出发，完成每一个核心公式的推导与证明，最后用表格完成全知识点的归纳总结。

一、三维欧氏空间\(E^3\)的公理化定义与向量的基本概念

1. 三维欧氏空间\(E^3\)的公理化定义

我们所处的现实空间，数学上严格定义为三维欧氏空间\(E^3\)，它是一个非空集合，满足以下核心公理：

  1. 集合中的元素称为点，任意两个不同的点唯一确定一条连接它们的直线；
  2. 不共线的任意三个不同的点，唯一确定一个过这三点的平面；
  3. \(E^3\)中存在不共面的四个点（保证空间是3维的，而非更低维）；
  4. 平行公理：过直线外任意一点，能且只能作一条直线与已知直线平行（这是欧氏空间区别于非欧空间的核心特征）。

欧氏空间的核心是平直性，所有欧氏几何的定理都建立在这套公理之上。

2. 向量的定义：有向线段的等价类

在\(E^3\)中，指定起点\(A\)、终点\(B\)的线段\(AB\)称为有向线段，记作\(\overrightarrow{AB}\)。

  • 等价关系：若两条有向线段\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{CD}\)满足\(ABDC\)构成平行四边形，则称这两条有向线段相等，记作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)。
  • 向量的定义：所有相等的有向线段构成的集合，称为一个向量。

这里要特别强调：向量是自由的，它只由长度和方向决定，和起点的位置无关，这是向量可以进行平移、线性运算的核心基础。

3. 向量的基本运算与运算律证明

（1）向量的加法

  • 定义（三角形法则）：设向量\(\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}\)，\(\boldsymbol{b}=\overrightarrow{BC}\)，则连接\(A\)和\(C\)的有向线段\(\overrightarrow{AC}\)代表\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\)。

  • 特殊向量：

    • 零向量\(\boldsymbol{0}\)：起点和终点重合的有向线段的集合，满足\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{a}\)；
    • 反向量\(-\boldsymbol{a}\)：若\(\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}\)，则\(-\boldsymbol{a}=\overrightarrow{BA}\)，满足\(\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{0}\)。

  • 运算律与证明：

    1. 交换律：\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\)
      证明：设\(\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}\)，\(\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AD}\)，构造平行四边形\(ABCD\)。
      由三角形法则，\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)；\(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}\)，因此\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\)。
    2. 结合律：\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)
      证明：设\(\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}\)，\(\boldsymbol{b}=\overrightarrow{BC}\)，\(\boldsymbol{c}=\overrightarrow{CD}\)。
      左边：\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\)；
      右边：\(\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\)，因此等式成立。

（2）数乘运算

  • 定义：实数\(\lambda\)与向量\(\boldsymbol{a}\)的乘积\(\lambda\boldsymbol{a}\)是一个向量，满足：

    1. 长度：\(|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda|\cdot|\boldsymbol{a}|\)；
    2. 方向：\(\lambda>0\)时，\(\lambda\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{a}\)同向；\(\lambda<0\)时，\(\lambda\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{a}\)反向；\(\lambda=0\)时，\(\lambda\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\)。

  • 运算律与证明：

    1. 第一分配律：\(\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}\)
      证明：\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)构成三角形，\(\lambda\)缩放后得到的三角形与原三角形相似，\(\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\)的长度和方向，与\(\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}\)完全一致，因此等式成立。
    2. 第二分配律：\((\lambda+\mu)\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{a}\)
      证明：\(\lambda,\mu\)同号时，\(\lambda\boldsymbol{a}\)与\(\mu\boldsymbol{a}\)同向，长度和为\(|\lambda+\mu||\boldsymbol{a}|\)，与\((\lambda+\mu)\boldsymbol{a}\)一致；异号时，利用反向量可验证等式依然成立。
    3. 结合律：\((\lambda\mu)\boldsymbol{a}=\lambda(\mu\boldsymbol{a})\)
      证明：左右两边长度均为\(|\lambda\mu||\boldsymbol{a}|\)；方向上，\(\lambda\mu>0\)时均与\(\boldsymbol{a}\)同向，\(\lambda\mu<0\)时均与\(\boldsymbol{a}\)反向，因此等式成立。

（3）内积（点乘）：刻画向量的长度与垂直关系

  • 定义：两个向量\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)的点乘是一个实数，定义为

    \[\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\cdot\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}) \]

    几何意义：\(\boldsymbol{a}\)在\(\boldsymbol{b}\)上的投影长度，乘以\(\boldsymbol{b}\)的长度。

  • 运算律与证明：

    1. 分配律：\(\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}\)
      证明：\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\)在\(\boldsymbol{c}\)上的投影，等于\(\boldsymbol{a}\)和\(\boldsymbol{b}\)分别在\(\boldsymbol{c}\)上的投影之和，两边同乘\(|\boldsymbol{c}|\)，即得该等式。
    2. 齐次性：\((\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\)
      证明：\(|\lambda\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\angle(\lambda\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=|\lambda||\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\cdot\text{sgn}(\lambda)=\lambda|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\)。
    3. 交换律：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}\)
      证明：\(|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}|\cos\angle(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a})\)，显然成立。

  • 核心推论（严格证明）：

    1. \(|\boldsymbol{a}|^2=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}\geq0\)，等号成立当且仅当\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\)。
      证明：\(\boldsymbol{a}\)与自身的夹角为0，\(\cos0=1\)，因此\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2\)；向量长度非负，仅零向量长度为0，因此等号当且仅当\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\)时成立。
    2. 向量\(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\)的充要条件是\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0\)。
      证明：必要性：若\(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\)，则\(\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=90^\circ\)，\(\cos90^\circ=0\)，因此\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0\)；
      充分性：若\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0\)，若\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)均非零，则\(\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=0\)，夹角为90°，垂直；若其中一个为零向量，零向量与任意向量垂直，因此结论成立。

（4）外积（叉乘）：刻画向量的平行关系与张成的面积

  • 定义：

    1. 若\(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)，则\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)；
    2. 若\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)不平行，则\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)是一个向量，满足：
      • 方向：与\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)都垂直，且\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)构成右手系；
      • 长度：\(|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\cdot\sin\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)，几何意义是\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)张成的平行四边形的面积。

  • 运算律与证明：

    1. 分配律：\(\boldsymbol{c}\times(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{b}\)
      证明：将\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)投影到与\(\boldsymbol{c}\)垂直的平面上，缩放\(|\boldsymbol{c}|\)倍后绕\(\boldsymbol{c}\)旋转90°（右手系），投影的和等于和的投影，因此等式成立。
    2. 齐次性：\((\lambda\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\)
      证明：左右两边长度均为\(|\lambda||\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)；方向上，\(\lambda>0\)时与\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)同向，\(\lambda<0\)时反向，因此等式成立。
    3. 反交换律：\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}\)
      证明：左右两边长度相等；\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)构成右手系，\(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}\)构成右手系，因此\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)与\(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}\)方向相反，等式成立。

  • 核心推论：
    向量\(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)的充要条件是\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)。
    证明：必要性：若\(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)，则\(\sin\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=0\)，因此\(|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=0\)，即\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)；
    充分性：若\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)，若\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)均非零，则\(\sin\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=0\)，夹角为0°或180°，两向量平行；若其中一个为零向量，零向量与任意向量平行，结论成立。

二、标架的核心概念：空间的坐标化

1. 标架的定义与点的坐标的唯一性

（1）标架的定义

在\(E^3\)中取定不共面的4个点，将其中一点记作\(O\)，另外3点记作\(A,B,C\)，由点\(O\)和3个不共面的向量\(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\)构成的图形\(\{O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}\)，称为\(E^3\)中的一个标架，点\(O\)称为标架的原点。

核心要求：\(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\)不共面（线性无关），这是3维空间中一组基的核心条件，保证空间中任意向量都能被它们唯一线性表示。

（2）点的坐标的存在性与唯一性证明

定理：在\(E^3\)中取定标架\(\{O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}\)后，空间中任意一点\(p\)，存在唯一的有序实数组\((x,y,z)\)，使得

\[\overrightarrow{Op}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC} \]

该数组\((x,y,z)\)称为点\(p\)关于该标架的坐标。

证明：

  1. 存在性：
    过点\(p\)作平面平行于平面\(OBC\)，与直线\(OA\)交于唯一交点\(p_1\)，则\(\overrightarrow{Op_1}\)与\(\overrightarrow{OA}\)共线，因此存在实数\(x\)，使得\(\overrightarrow{Op_1}=x\overrightarrow{OA}\)；
    同理，过\(p\)作平面平行于\(OAC\)，交\(OB\)于\(p_2\)，存在实数\(y\)使得\(\overrightarrow{Op_2}=y\overrightarrow{OB}\)；过\(p\)作平面平行于\(OAB\)，交\(OC\)于\(p_3\)，存在实数\(z\)使得\(\overrightarrow{Op_3}=z\overrightarrow{OC}\)。
    根据平行六面体的向量加法法则，\(\overrightarrow{Op}=\overrightarrow{Op_1}+\overrightarrow{Op_2}+\overrightarrow{Op_3}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\)，存在性得证。

  2. 唯一性：
    假设存在两组有序实数组\((x,y,z)\)和\((x',y',z')\)，都满足

    \[\overrightarrow{Op}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=x'\overrightarrow{OA}+y'\overrightarrow{OB}+z'\overrightarrow{OC} \]

    移项得：\((x-x')\overrightarrow{OA}+(y-y')\overrightarrow{OB}+(z-z')\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}\)。
    由于\(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\)不共面，因此它们线性无关，线性组合为零向量当且仅当所有系数均为0，即\(x=x',y=y',z=z'\)，唯一性得证。

2. 右手单位正交标架（笛卡尔直角坐标系）

这是微分几何中最常用的标架，是标架的特殊形式，对应我们熟知的笛卡尔直角坐标系。

（1）定义

标架\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\)称为右手单位正交标架（简称正交标架），当且仅当满足：

  1. 单位性：\(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\)都是单位向量，即\(|\boldsymbol{i}|=|\boldsymbol{j}|=|\boldsymbol{k}|=1\)，等价于\(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k}=1\)；
  2. 正交性：\(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\)两两垂直，即\(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}=\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{k}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k}=0\)；
  3. 右手系：\(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}\)，\(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}\)，\(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}\)。

（2）正交标架下的向量运算坐标表示（核心推导）

取定正交标架\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\)后，任意向量都可以表示为\(\boldsymbol{a}=x_1\boldsymbol{i}+y_1\boldsymbol{j}+z_1\boldsymbol{k}\)，其中\((x_1,y_1,z_1)\)称为向量\(\boldsymbol{a}\)的坐标。我们来推导所有运算的坐标形式：

① 点乘的坐标表示

设\(\boldsymbol{a}=x_1\boldsymbol{i}+y_1\boldsymbol{j}+z_1\boldsymbol{k}\)，\(\boldsymbol{b}=x_2\boldsymbol{i}+y_2\boldsymbol{j}+z_2\boldsymbol{k}\)，则：

\[\begin{align*} \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}&=(x_1\boldsymbol{i}+y_1\boldsymbol{j}+z_1\boldsymbol{k})\cdot(x_2\boldsymbol{i}+y_2\boldsymbol{j}+z_2\boldsymbol{k})\\ &=x_1x_2(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i})+x_1y_2(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j})+x_1z_2(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{k})\\ &\quad +y_1x_2(\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{i})+y_1y_2(\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j})+y_1z_2(\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k})\\ &\quad +z_1x_2(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{i})+z_1y_2(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{j})+z_1z_2(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k}) \end{align*} \]

根据正交性，交叉项\(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}=\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{k}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k}=0\)；根据单位性，\(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k}=1\)，因此上式化简为：

\[\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \]

核心推论：

  • 向量的长度公式：\(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)；
  • 空间两点间距离公式：设点\(A(x_1,y_1,z_1)\)，点\(B(x_2,y_2,z_2)\)，则\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\)，因此

    \[|AB|=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \]

② 叉乘的坐标表示

同样设\(\boldsymbol{a}=x_1\boldsymbol{i}+y_1\boldsymbol{j}+z_1\boldsymbol{k}\)，\(\boldsymbol{b}=x_2\boldsymbol{i}+y_2\boldsymbol{j}+z_2\boldsymbol{k}\)，则：

\[\begin{align*} \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}&=(x_1\boldsymbol{i}+y_1\boldsymbol{j}+z_1\boldsymbol{k})\times(x_2\boldsymbol{i}+y_2\boldsymbol{j}+z_2\boldsymbol{k})\\ &=x_1y_2(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j})+x_1z_2(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{k})+y_1x_2(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{i})\\ &\quad +y_1z_2(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k})+z_1x_2(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i})+z_1y_2(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{j}) \end{align*} \]

根据叉乘的性质，\(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{0}\)，代入右手系叉乘结果\(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k},\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{k}=-\boldsymbol{j},\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{i}=-\boldsymbol{k},\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i},\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{j}=-\boldsymbol{i}\)，合并同类项得：

\[\begin{align*} \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}&=(y_1z_2-y_2z_1)\boldsymbol{i}-(x_1z_2-x_2z_1)\boldsymbol{j}+(x_1y_2-x_2y_1)\boldsymbol{k}\\ &=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} \end{align*} \]

③ 空间的坐标化

取定正交标架后，三维欧氏空间\(E^3\)就和三维实向量空间\(\mathbb{R}^3\)完全等同起来：\(E^3\)中的点对应\(\mathbb{R}^3\)中的三元组\((x,y,z)\)，向量的内积对应\(\mathbb{R}^3\)中的标准内积。我们后续讨论的三维欧氏空间，默认就是带标准内积的\(\mathbb{R}^3\)。

三、正交标架的变换与特殊正交群\(SO(3)\)

1. 正交标架的参数化

固定一个参考正交标架\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\)，\(E^3\)中任意一个正交标架\(\{p;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)，都可以用参考标架唯一表示：

  1. 新标架原点的位置向量：\(\overrightarrow{Op}=a_1\boldsymbol{i}+a_2\boldsymbol{j}+a_3\boldsymbol{k}\)，记\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)\)，这是新原点的3个平动参数；
  2. 新标架的基向量：\(\boldsymbol{e}_i=\sum_{k=1}^3 a_{ik}\boldsymbol{k}\)，即

    \[\begin{cases} \boldsymbol{e}_1=a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12}\boldsymbol{j}+a_{13}\boldsymbol{k}\\ \boldsymbol{e}_2=a_{21}\boldsymbol{i}+a_{22}\boldsymbol{j}+a_{23}\boldsymbol{k}\\ \boldsymbol{e}_3=a_{31}\boldsymbol{i}+a_{32}\boldsymbol{j}+a_{33}\boldsymbol{k} \end{cases} \]

    系数构成3阶矩阵\(A=(a_{ij})\)，称为基变换矩阵。

2. 基变换矩阵的性质推导

由于\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\)是单位正交基，满足\(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j=\delta_{ij}\)（克罗内克函数，\(i=j\)时\(\delta_{ij}=1\)，\(i\neq j\)时\(\delta_{ij}=0\)），我们来推导矩阵\(A\)的性质：

\[\begin{align*} \boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j&=\left(\sum_{k=1}^3 a_{ik}\boldsymbol{k}\right)\cdot\left(\sum_{l=1}^3 a_{jl}\boldsymbol{l}\right)\\ &=\sum_{k=1}^3\sum_{l=1}^3 a_{ik}a_{jl}(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{l})\\ &=\sum_{k=1}^3 a_{ik}a_{jk} \end{align*} \]

结合正交条件\(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j=\delta_{ij}\)，可得：

\[\sum_{k=1}^3 a_{ik}a_{jk}=\delta_{ij} \]

这说明矩阵\(A\)的行向量是两两正交的单位向量，即\(A\)满足\(AA^T=E\)（单位矩阵），因此\(A\)是正交矩阵。

同时，由于\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\)构成右手系，因此它们的混合积\((\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)=(\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{e}_2)\cdot\boldsymbol{e}_3=1\)。而混合积的坐标表示就是矩阵\(A\)的行列式，即\((\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)=\det(A)\)，因此\(\det(A)=1\)。

3. 特殊正交群\(SO(3)\)与标架的自由度

  • 定义：所有行列式为1的3阶正交矩阵构成的集合，称为3维特殊正交群，记作\(SO(3)\)。
  • 自由度：3阶正交矩阵有9个元素，满足6个正交约束（3个行单位长度，3个行两两正交），因此独立参数有\(9-6=3\)个，即\(SO(3)\)是3维的。
  • 正交标架的总自由度：新原点有3个平动参数，基变换矩阵有3个转动参数，因此\(E^3\)中全体正交标架的集合与\(E^3\times SO(3)\)一一对应，总自由度为\(3+3=6\)，这恰好对应了空间中刚体的6个自由度（3个平动+3个转动）。

四、坐标变换与刚体运动

1. 坐标变换公式（被动变换：点不动，标架动）

设有两个正交标架：旧标架\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\)，新标架\(\{p;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)，二者的关系由上述的\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)\)和\(A=(a_{ij})\in SO(3)\)给出。

任取一点\(q\)，它在旧标架下的坐标为\((x,y,z)\)，即\(\overrightarrow{Oq}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\)；在新标架下的坐标为\((\bar{x},\bar{y},\bar{z})\)，即\(\overrightarrow{pq}=\bar{x}\boldsymbol{e}_1+\bar{y}\boldsymbol{e}_2+\bar{z}\boldsymbol{e}_3\)。

根据向量的三角形法则，\(\overrightarrow{Oq}=\overrightarrow{Op}+\overrightarrow{pq}\)，将右边用旧基展开：

\[\begin{align*} \overrightarrow{Oq}&=\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k})^T + (\bar{x},\bar{y},\bar{z})\cdot(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)^T\\ &=\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k})^T + (\bar{x},\bar{y},\bar{z})A\cdot(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k})^T\\ &=\left[\boldsymbol{a} + (\bar{x},\bar{y},\bar{z})A\right]\cdot(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k})^T \end{align*} \]

结合\(\overrightarrow{Oq}=(x,y,z)\cdot(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k})^T\)，得到坐标变换公式：

\[(x,y,z)=\boldsymbol{a} + (\bar{x},\bar{y},\bar{z})\cdot A \]

展开为分量形式：

\[\begin{cases} x=a_1+a_{11}\bar{x}+a_{21}\bar{y}+a_{31}\bar{z}\\ y=a_2+a_{12}\bar{x}+a_{22}\bar{y}+a_{32}\bar{z}\\ z=a_3+a_{13}\bar{x}+a_{23}\bar{y}+a_{33}\bar{z} \end{cases} \]

2. 刚体运动公式（主动变换：标架不动，点动）

（1）刚体运动的定义

\(E^3\)到自身的变换\(\sigma\)，如果满足：

  1. 保持任意两点之间的距离不变；
  2. 保持右手系（保持空间定向），
    则称\(\sigma\)为刚体运动。刚体运动不改变物体的形状和大小，只改变它在空间中的位置和朝向。

（2）刚体运动与正交标架的核心定理

定理1.1：\(E^3\)中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于\(E^3\)中任意两个正交标架，存在唯一的刚体运动，将第一个标架变为第二个。

证明：

  1. 正向：设\(\sigma\)是刚体运动，\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\)是正交标架，\(\sigma(O)=p\)，\(\sigma(\boldsymbol{i})=\boldsymbol{e}_1\)，\(\sigma(\boldsymbol{j})=\boldsymbol{e}_2\)，\(\sigma(\boldsymbol{k})=\boldsymbol{e}_3\)。
    刚体运动保持距离，因此\(|\boldsymbol{e}_i|=|\boldsymbol{i}|=1\)；保持角度，因此\(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j=\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}=\delta_{ij}\)；保持右手系，因此\(\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{e}_2=\boldsymbol{e}_3\)，因此\(\{p;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)是正交标架。

  2. 反向：给定两个正交标架\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\)和\(\{p;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)，定义变换\(\sigma\)：对任意点\(q\)，若\(q\)在旧标架下的坐标为\((x,y,z)\)，则\(\sigma(q)\)满足\(\overrightarrow{p\sigma(q)}=x\boldsymbol{e}_1+y\boldsymbol{e}_2+z\boldsymbol{e}_3\)。
    显然\(\sigma\)把旧标架变为新标架；任取两点\(q_1,q_2\)，坐标为\((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\)，则\(|\sigma(q_1)\sigma(q_2)|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}=|q_1q_2|\)，保持距离，且保持右手系，因此是刚体运动。唯一性由坐标的唯一性直接可得。

（3）刚体运动的坐标表示

设刚体运动\(\sigma\)把参考标架\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\)变为\(\{p;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)，其中\(\overrightarrow{Op}=\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)\)，基变换矩阵为\(A\in SO(3)\)。

任取点\(q\)，旧坐标为\((x,y,z)\)，\(\sigma(q)\)的旧坐标为\((\bar{x},\bar{y},\bar{z})\)，根据上述定理的定义，\(\overrightarrow{p\sigma(q)}=x\boldsymbol{e}_1+y\boldsymbol{e}_2+z\boldsymbol{e}_3\)，因此：

\[\overrightarrow{O\sigma(q)}=\overrightarrow{Op}+\overrightarrow{p\sigma(q)}=\boldsymbol{a}+(x,y,z)A \]

得到刚体运动的坐标公式：

\[(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=\boldsymbol{a}+(x,y,z)\cdot A \]

（4）等距变换的推广

\(E^3\)到自身的、保持任意两点距离不变的变换，称为等距变换。

  • 刚体运动是保定向的等距变换，对应\(\det(A)=1\)；
  • 一般的等距变换，还包括反射（如平面镜像），会把右手系变为左手系，对应\(\det(A)=-1\)；
  • 结论：任意等距变换，要么是刚体运动，要么是刚体运动与一个平面反射的合成。

3. 几何不变量的核心思想

几何图形的性质，如果与笛卡尔直角坐标系的选取无关，也就是在刚体运动下保持不变，那么这个性质就是几何图形的内蕴性质，是微分几何研究的核心。比如长度、角度、面积、曲率，都是刚体运动下的不变量，是欧氏几何的核心研究对象。

五、仿射标架：标架的推广

1. 仿射标架的定义

仿射标架是标架的一般形式，定义为：空间中的一个点\(p\)，和在该点的三个不共面的向量\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\)构成的图形\(\{p;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)。

与正交标架的区别：不要求\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\)是单位正交的，只要求它们不共面（线性无关）。

2. 度量系数

对于仿射标架\(\{p;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)，定义度量系数：

\[g_{ij}=\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j,\quad 1\leq i,j\leq3 \]

  • 性质：\(g_{ij}\)是对称矩阵（\(g_{ij}=g_{ji}\)），且正定（因为\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\)线性无关）；
  • 意义：度量系数完全刻画了仿射标架的度量性质，任意向量的长度、夹角都可以用\(g_{ij}\)表示。例如向量\(\boldsymbol{u}=\sum u_i\boldsymbol{e}_i\)，\(\boldsymbol{v}=\sum v_i\boldsymbol{e}_i\)，则\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\sum_{i,j=1}^3 u_i v_j g_{ij}\)。

3. 仿射标架的自由度

全体仿射标架的集合与\(E^3\times GL(3)\)一一对应，其中\(GL(3)\)是3阶可逆实矩阵的集合。\(GL(3)\)有9个自由度，加上原点的3个平动自由度，因此全体仿射标架构成12维的空间。

六、全知识点归纳总结表

核心概念 严格定义 核心性质/公式 几何意义/核心作用
三维欧氏空间\(E^3\) 满足欧氏几何公理的非空点集，核心是平行公理 任意两点确定直线，不共线三点确定平面，存在不共面四点 微分几何的基础空间，刻画现实的平直三维空间
向量 相等有向线段的等价类（自由向量） 满足加法、数乘的线性运算律，构成3维实线性空间 刻画空间中的平移、方向和长度，是标架的核心元素
内积（点乘） $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}= \boldsymbol
外积（叉乘） 与\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)都垂直的右手系向量，长度$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol =
标架 \(\{O;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)，\(O\)为原点，\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\)不共面 空间中点与有序三元组\((x,y,z)\)一一对应，实现空间的坐标化 建立空间的坐标系，把几何问题转化为代数运算
右手单位正交标架 满足单位性、正交性、右手系的标架\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\) \(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}=\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{k}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k}=0\)，\(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k}=1\)，\(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}\) 对应笛卡尔直角坐标系，简化所有向量运算，是最常用的标架
正交标架变换 两个正交标架之间的基与原点的变换关系 由平动参数\(\boldsymbol{a}\)和转动矩阵\(A\in SO(3)\)刻画，总自由度6 描述坐标系的变换，对应被动的坐标变换
特殊正交群\(SO(3)\) 所有行列式为1的3阶正交矩阵构成的集合 3个自由度，刻画空间中的所有旋转变换 描述刚体的转动，是微分几何中活动标架的核心群
刚体运动 \(E^3\)到自身保距离、保定向的变换 把正交标架变为正交标架，坐标公式\((\bar{x},\bar{y},\bar{z})=\boldsymbol{a}+(x,y,z)A\) 描述空间中物体的平动+转动，对应主动的点变换
等距变换 \(E^3\)到自身保距离的变换 要么是刚体运动，要么是刚体运动+反射，对应正交矩阵\(\det(A)=\pm1\) 刻画欧氏空间中所有保持形状大小的变换
仿射标架 点\(p\)加三个不共面向量构成的图形\(\{p;\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\) 度量系数\(g_{ij}=\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j\)，总自由度12 标架的一般形式，是后续曲面论中活动标架的基础
几何不变量 刚体运动下保持不变的几何量 长度、角度、面积、曲率等，与坐标系选取无关 微分几何的核心研究对象，刻画几何图形的内蕴性质

§1.2 向量函数 完整讲解与推导

各位同学，今天我们讲解微分几何的核心工具——向量函数。微分几何的核心是用微积分研究曲线、曲面的几何性质，而空间曲线本质上就是一元向量函数的像，曲面是二元向量函数的像，因此这部分内容是整个曲线论、曲面论的基础。我们会从基础向量运算复习开始，完成所有定义的严谨推导、定理的完整证明，最后用表格归纳全知识点。

一、三维欧氏向量空间的核心向量运算复习

在给定右手单位正交标架\(\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}\)后，三维欧氏向量空间与\(\mathbb{R}^3\)完全等同，任意向量可表示为三元有序实数组\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)\)，对应\(\boldsymbol{a}=a_1\boldsymbol{i}+a_2\boldsymbol{j}+a_3\boldsymbol{k}\)。我们先复习三个核心运算，它们是向量函数求导的基础。

1. 内积（点乘/数量积）

定义

  • 几何定义：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\cdot\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)，刻画向量的投影与夹角；
  • 代数定义（正交标架下）：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)，由正交基的性质\(\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i}=1,\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}=0\)展开直接可得。

核心性质

  1. 对称性：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}\)；
  2. 双线性：对加法和数乘满足分配律；
  3. 正定性：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2\geq0\)，等号当且仅当\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\)成立；
  4. 垂直判定：\(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0\)。

2. 外积（叉乘/向量积）

定义

  • 几何定义：\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)是与\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)都垂直的向量，满足\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)构成右手系，长度\(|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\cdot\sin\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)，等于\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)张成的平行四边形的面积；
  • 代数定义（正交标架下）：

    \[\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}=\left( \begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix} \right)\]

核心性质

  1. 反交换律：\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}\)，顺序不可随意调换；
  2. 双线性：对加法和数乘满足分配律；
  3. 平行判定：\(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)；
  4. 垂直性：\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}\)，\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}\)。

3. 混合积

定义

三个向量\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)的混合积定义为\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\)，正交标架下等于三阶行列式：

\[(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\]

核心性质

  1. 几何意义：\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)张成的平行六面体的有向体积，右手系为正，左手系为负，绝对值为体积；
  2. 轮换对称性：\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a})=(\boldsymbol{c},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)；
  3. 交换变号：任意交换两个向量，混合积变号，如\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=-(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})\)；
  4. 共面判定：\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)共面 \(\iff (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=0\)，这是后续定理的核心依据。

二、向量函数的定义、连续、可微与积分

1. 向量函数的定义

定义：从实数区间\(I\subset\mathbb{R}\)到三维欧氏向量空间\(\mathbb{R}^3\)的映射，称为一元向量函数，记作

\[\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\quad t\in I \]

其中\(x(t),y(t),z(t)\)是定义在\(I\)上的一元数值函数，称为\(\boldsymbol{r}(t)\)的分量函数。

几何意义：一元向量函数的像就是空间中的参数曲线，\(t\)为曲线的参数，每个\(t\)对应曲线上的一个点，这是曲线论的核心表示方法。

2. 向量函数的连续性

极限的等价性

向量函数的极限等价于其分量函数的极限，即：

\[\lim_{t\to t_0}\boldsymbol{r}(t)=\left( \lim_{t\to t_0}x(t),\lim_{t\to t_0}y(t),\lim_{t\to t_0}z(t) \right) \]

严谨证明：
由向量模长的定义，\(|\boldsymbol{r}(t)-\boldsymbol{r}_0|=\sqrt{(x(t)-x_0)^2+(y(t)-y_0)^2+(z(t)-z_0)^2}\)，因此：

\[\lim_{t\to t_0}|\boldsymbol{r}(t)-\boldsymbol{r}_0|=0 \iff \lim_{t\to t_0}x(t)=x_0,\ \lim_{t\to t_0}y(t)=y_0,\ \lim_{t\to t_0}z(t)=z_0 \]

即向量函数的极限存在，当且仅当三个分量函数的极限都存在。

连续性定义

  • 向量函数\(\boldsymbol{r}(t)\)在\(t_0\)处连续，当且仅当\(\lim_{t\to t_0}\boldsymbol{r}(t)=\boldsymbol{r}(t_0)\)；
  • 由极限的等价性，向量函数连续\(\iff\) 三个分量函数都连续，将向量函数的连续性完全转化为我们熟悉的数值函数的连续性。

3. 向量函数的导数与可微性

导数的定义

向量函数\(\boldsymbol{r}(t)\)在\(t_0\)处的导数定义为：

\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=t_0}=\boldsymbol{r}'(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\boldsymbol{r}(t_0+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_0)}{\Delta t} \]

若该极限存在，则称\(\boldsymbol{r}(t)\)在\(t_0\)处可微。

导数的分量表示

由极限的等价性，导数的存在性等价于分量函数的导数存在，且：

\[\boldsymbol{r}'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)) \]

推导：

\[\frac{\boldsymbol{r}(t_0+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_0)}{\Delta t}=\left( \frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t},\frac{y(t_0+\Delta t)-y(t_0)}{\Delta t},\frac{z(t_0+\Delta t)-z(t_0)}{\Delta t} \right) \]

取\(\Delta t\to0\)的极限，直接得到分量形式的导数。

核心概念与几何意义

  1. 连续可微：若\(\boldsymbol{r}(t)\)的导数\(\boldsymbol{r}'(t)\)在区间\(I\)上连续，则称\(\boldsymbol{r}(t)\)是连续可微的（\(C^1\)类），等价于分量函数都是\(C^1\)类；高阶导数同理，\(\boldsymbol{r}^{(n)}(t)=(x^{(n)}(t),y^{(n)}(t),z^{(n)}(t))\)，对应\(C^n\)类。
  2. 几何意义：\(\boldsymbol{r}'(t_0)\)是曲线\(\boldsymbol{r}(t)\)在\(t_0\)处的切向量。\(\Delta\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t_0+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_0)\)是曲线的割线向量，除以\(\Delta t\)后方向不变，\(\Delta t\to0\)时割线趋近于切线，极限即为切向量，这是曲线论最核心的几何概念。

4. 向量函数的积分

定积分的定义

向量函数\(\boldsymbol{r}(t)\)在区间\([a,b]\)上的定积分是黎曼和的极限：

\[\int_a^b \boldsymbol{r}(t)\mathrm{d}t=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n \boldsymbol{r}(\tau_i)\Delta t_i \]

其中\(\lambda\)是区间分割的最大子区间长度，\(\tau_i\)是子区间内的任意点。

积分的分量表示

与极限、导数同理，向量函数的黎曼可积等价于分量函数黎曼可积，且：

\[\int_a^b \boldsymbol{r}(t)\mathrm{d}t=\left( \int_a^b x(t)\mathrm{d}t,\int_a^b y(t)\mathrm{d}t,\int_a^b z(t)\mathrm{d}t \right) \]

核心性质

  1. 线性性：\(\int_a^b [k_1\boldsymbol{r}_1(t)+k_2\boldsymbol{r}_2(t)]\mathrm{d}t=k_1\int_a^b \boldsymbol{r}_1(t)\mathrm{d}t + k_2\int_a^b \boldsymbol{r}_2(t)\mathrm{d}t\)；
  2. 牛顿-莱布尼茨公式：若\(\boldsymbol{r}(t)\)在\([a,b]\)上连续，且\(\boldsymbol{R}'(t)=\boldsymbol{r}(t)\)，则\(\int_a^b \boldsymbol{r}(t)\mathrm{d}t=\boldsymbol{R}(b)-\boldsymbol{R}(a)\)。

三、向量函数的求导法则（定理2.1 完整证明）

定理2.1

设\(\boldsymbol{a}(t),\boldsymbol{b}(t),\boldsymbol{c}(t)\)是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数满足如下莱布尼茨法则：

  1. \((\boldsymbol{a}(t)\cdot\boldsymbol{b}(t))' = \boldsymbol{a}'(t)\cdot\boldsymbol{b}(t) + \boldsymbol{a}(t)\cdot\boldsymbol{b}'(t)\)
  2. \((\boldsymbol{a}(t)\times\boldsymbol{b}(t))' = \boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{b}(t) + \boldsymbol{a}(t)\times\boldsymbol{b}'(t)\)
  3. \((\boldsymbol{a}(t),\boldsymbol{b}(t),\boldsymbol{c}(t))' = (\boldsymbol{a}'(t),\boldsymbol{b}(t),\boldsymbol{c}(t)) + (\boldsymbol{a}(t),\boldsymbol{b}'(t),\boldsymbol{c}(t)) + (\boldsymbol{a}(t),\boldsymbol{b}(t),\boldsymbol{c}'(t))\)

完整证明

证明(1) 内积的导数法则

方法1：定义法
根据导数定义：

\[(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{a}(t+\Delta t)\cdot\boldsymbol{b}(t+\Delta t)-\boldsymbol{a}(t)\cdot\boldsymbol{b}(t)}{\Delta t} \]

对分子做恒等变形（加一项减一项）：

\[\boldsymbol{a}(t+\Delta t)\cdot\boldsymbol{b}(t+\Delta t)-\boldsymbol{a}(t)\cdot\boldsymbol{b}(t)=[\boldsymbol{a}(t+\Delta t)-\boldsymbol{a}(t)]\cdot\boldsymbol{b}(t+\Delta t) + \boldsymbol{a}(t)\cdot[\boldsymbol{b}(t+\Delta t)-\boldsymbol{b}(t)] \]

除以\(\Delta t\)后取极限：

  • 第一项：\(\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{a}(t+\Delta t)-\boldsymbol{a}(t)}{\Delta t}\cdot\lim_{\Delta t\to0}\boldsymbol{b}(t+\Delta t)=\boldsymbol{a}'(t)\cdot\boldsymbol{b}(t)\)（可微必连续，\(\lim\boldsymbol{b}(t+\Delta t)=\boldsymbol{b}(t)\)）
  • 第二项：\(\lim_{\Delta t\to0}\boldsymbol{a}(t)\cdot\frac{\boldsymbol{b}(t+\Delta t)-\boldsymbol{b}(t)}{\Delta t}=\boldsymbol{a}(t)\cdot\boldsymbol{b}'(t)\)

因此\((\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})'=\boldsymbol{a}'\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}'\)，得证。

方法2：分量法验证
设\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3),\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)\)，则\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)，对\(t\)求导：

\[(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})'=(a_1b_1)'+(a_2b_2)'+(a_3b_3)'=a_1'b_1+a_1b_1'+a_2'b_2+a_2b_2'+a_3'b_3+a_3b_3'=\boldsymbol{a}'\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}' \]

证明(2) 外积的导数法则

与内积证明逻辑一致，用定义法：

\[(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{a}(t+\Delta t)\times\boldsymbol{b}(t+\Delta t)-\boldsymbol{a}(t)\times\boldsymbol{b}(t)}{\Delta t} \]

分子恒等变形：

\[\boldsymbol{a}(t+\Delta t)\times\boldsymbol{b}(t+\Delta t)-\boldsymbol{a}(t)\times\boldsymbol{b}(t)=[\boldsymbol{a}(t+\Delta t)-\boldsymbol{a}(t)]\times\boldsymbol{b}(t+\Delta t) + \boldsymbol{a}(t)\times[\boldsymbol{b}(t+\Delta t)-\boldsymbol{b}(t)] \]

除以\(\Delta t\)取极限，可得：

\[(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})'=\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}' \]

⚠️ 注意：外积不满足交换律，求导后必须保持向量的顺序，不可调换。

证明(3) 混合积的导数法则

由混合积定义\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\)，结合内积和外积的求导法则：

\[(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})'=[(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}]'=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})'\cdot\boldsymbol{c} + (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}' \]

将\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})'\)展开：

\[=(\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}')\cdot\boldsymbol{c} + (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}' \]

\[=(\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} + (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}')\cdot\boldsymbol{c} + (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}' \]

\[=(\boldsymbol{a}',\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}) + (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}',\boldsymbol{c}) + (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}') \]

得证。

四、特殊向量函数的性质（定理2.2 完整证明）

定理2.2是微分几何中最常用的核心结论，刻画了长度、方向固定的向量函数的微分特征，是后续Frenet标架、曲线论基本定理的基础。

定理2.2

设\(\boldsymbol{a}(t)\)是处处非零的连续可微向量函数，则：

  1. \(|\boldsymbol{a}(t)|\)为常数 \(\iff \boldsymbol{a}'(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)\equiv0\)（导数与自身垂直）；
  2. \(\boldsymbol{a}(t)\)的方向不变 \(\iff \boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}(t)\equiv0\)（导数与自身共线）；
  3. 若\(\boldsymbol{a}(t)\)与某固定方向垂直，则\((\boldsymbol{a}(t),\boldsymbol{a}'(t),\boldsymbol{a}''(t))\equiv0\)；反之，若上式成立且处处\(\boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}(t)\neq0\)，则\(\boldsymbol{a}(t)\)必与某固定方向垂直。

完整证明

证明(1) 长度为常数的充要条件

\(|\boldsymbol{a}(t)|\)为常数，等价于\(|\boldsymbol{a}(t)|^2=\boldsymbol{a}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)=C\)（\(C>0\)为常数）。
对等式两边关于\(t\)求导，由定理2.1(1)：

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a}'\cdot\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}'=2\boldsymbol{a}'\cdot\boldsymbol{a} \]

右边常数的导数为0，因此：

\[2\boldsymbol{a}'(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)\equiv0 \implies \boldsymbol{a}'(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)\equiv0 \]

反向推导同理：若\(\boldsymbol{a}'\cdot\boldsymbol{a}\equiv0\)，则\((\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a})'\equiv0\)，即\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2\)为常数，\(|\boldsymbol{a}(t)|\)为常数。

核心推论：单位向量的导数必与自身垂直，这是Frenet标架的核心性质。

证明(2) 方向不变的充要条件

方向不变的定义：存在固定单位常向量\(\boldsymbol{b}\)，使得\(\boldsymbol{a}(t)=f(t)\boldsymbol{b}\)，其中\(f(t)\neq0\)（\(\boldsymbol{a}(t)\)处处非零）。

必要性（方向不变\(\implies \boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}\equiv0\)）

若\(\boldsymbol{a}(t)=f(t)\boldsymbol{b}\)，\(\boldsymbol{b}\)为常向量，则\(\boldsymbol{a}'(t)=f'(t)\boldsymbol{b}\)，因此：

\[\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}=f'(t)\boldsymbol{b}\times f(t)\boldsymbol{b}=f(t)f'(t)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{0} \]

（任何向量与自身的叉乘为0），必要性得证。

充分性（\(\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}\equiv0 \implies\) 方向不变）

我们的目标是证明\(\boldsymbol{a}(t)\)平行于固定常向量。

  1. 单位化：令\(\boldsymbol{b}(t)=\frac{\boldsymbol{a}(t)}{|\boldsymbol{a}(t)|}\)，则\(|\boldsymbol{b}(t)|=1\)（单位向量），\(\boldsymbol{a}(t)=f(t)\boldsymbol{b}(t)\)，其中\(f(t)=|\boldsymbol{a}(t)|>0\)。

  2. 由结论(1)，\(|\boldsymbol{b}(t)|=1\)为常数，因此\(\boldsymbol{b}'(t)\cdot\boldsymbol{b}(t)\equiv0\)（\(\boldsymbol{b}'\)与\(\boldsymbol{b}\)垂直）。

  3. 对\(\boldsymbol{a}(t)=f(t)\boldsymbol{b}(t)\)求导：\(\boldsymbol{a}'(t)=f'(t)\boldsymbol{b}(t)+f(t)\boldsymbol{b}'(t)\)。

  4. 计算叉乘：

    \[\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}=[f'\boldsymbol{b}+f\boldsymbol{b}']\times f\boldsymbol{b}=f'f(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{b})+f^2(\boldsymbol{b}'\times\boldsymbol{b})=f^2(\boldsymbol{b}'\times\boldsymbol{b}) \]

    由题设\(\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}\equiv0\)，且\(f^2(t)>0\)，因此\(\boldsymbol{b}'\times\boldsymbol{b}\equiv0\)。

  5. 最终推导：
    我们同时有\(\boldsymbol{b}'\cdot\boldsymbol{b}\equiv0\)和\(\boldsymbol{b}'\times\boldsymbol{b}\equiv0\)。由拉格朗日恒等式：

    \[|\boldsymbol{b}'\times\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{b}'|^2|\boldsymbol{b}|^2-(\boldsymbol{b}'\cdot\boldsymbol{b})^2 \]

    代入两个条件，得\(0=|\boldsymbol{b}'|^2\cdot1-0\)，因此\(|\boldsymbol{b}'|=0\)，即\(\boldsymbol{b}'(t)\equiv\boldsymbol{0}\)，说明\(\boldsymbol{b}(t)\)是常向量。
    因此\(\boldsymbol{a}(t)=f(t)\boldsymbol{b}\)，方向始终与固定常向量\(\boldsymbol{b}\)一致，方向不变，充分性得证。

证明(3) 与固定方向垂直的充要条件

必要性（与固定方向垂直\(\implies (\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}',\boldsymbol{a}'')\equiv0\)）

若\(\boldsymbol{a}(t)\)与固定单位常向量\(\boldsymbol{b}\)垂直，则\(\boldsymbol{a}(t)\cdot\boldsymbol{b}\equiv0\)。
对等式连续求导两次（\(\boldsymbol{b}\)为常向量，导数为0）：

\[\boldsymbol{a}'(t)\cdot\boldsymbol{b}\equiv0,\quad \boldsymbol{a}''(t)\cdot\boldsymbol{b}\equiv0 \]

这说明\(\boldsymbol{a}(t),\boldsymbol{a}'(t),\boldsymbol{a}''(t)\)都与同一个非零常向量\(\boldsymbol{b}\)垂直，即三个向量都落在与\(\boldsymbol{b}\)垂直的二维平面内，因此三个向量共面。
而三个向量共面的充要条件是混合积为0，即\((\boldsymbol{a}(t),\boldsymbol{a}'(t),\boldsymbol{a}''(t))\equiv0\)，必要性得证。

充分性（\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}',\boldsymbol{a}'')\equiv0\)且\(\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}\neq0 \implies\) 与固定方向垂直）

我们的目标是找到固定常向量\(\boldsymbol{b}_0\)，使得\(\boldsymbol{a}(t)\cdot\boldsymbol{b}_0\equiv0\)。

  1. 构造向量：令\(\boldsymbol{b}(t)=\boldsymbol{a}(t)\times\boldsymbol{a}'(t)\)，由叉乘性质，\(\boldsymbol{b}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)\)，\(\boldsymbol{b}(t)\perp\boldsymbol{a}'(t)\)，即\(\boldsymbol{b}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)=0\)。

  2. 求\(\boldsymbol{b}(t)\)的导数：

    \[\boldsymbol{b}'(t)=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}')'=\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}'+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}''=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}'' \]

  3. 计算\(\boldsymbol{b}(t)\times\boldsymbol{b}'(t)\)，用向量三重积公式\(\boldsymbol{u}\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w})=(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w})\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v})\boldsymbol{w}\)：

    \[\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{b}'=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}')\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}'')=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}')\cdot\boldsymbol{a}'' \cdot \boldsymbol{a} - (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}')\cdot\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}'' \]

    其中：

    • 第二项\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}')\cdot\boldsymbol{a}=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}',\boldsymbol{a})=0\)（混合积有两个相同向量，必为0）；
    • 第一项\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}')\cdot\boldsymbol{a}''=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}',\boldsymbol{a}'')\equiv0\)（题设条件）。
      因此\(\boldsymbol{b}(t)\times\boldsymbol{b}'(t)\equiv0\)。

  4. 由结论(2)，\(\boldsymbol{b}(t)\times\boldsymbol{b}'(t)\equiv0\)说明\(\boldsymbol{b}(t)\)的方向不变，即存在固定单位常向量\(\boldsymbol{b}_0\)，使得\(\boldsymbol{b}(t)=g(t)\boldsymbol{b}_0\)，\(g(t)\neq0\)（题设\(\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}\neq0\)，故\(\boldsymbol{b}(t)\neq\boldsymbol{0}\)）。

  5. 代入\(\boldsymbol{b}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)=0\)，得\(g(t)\boldsymbol{b}_0\cdot\boldsymbol{a}(t)\equiv0\)，\(g(t)\neq0\)，因此\(\boldsymbol{b}_0\cdot\boldsymbol{a}(t)\equiv0\)，即\(\boldsymbol{a}(t)\)与固定方向\(\boldsymbol{b}_0\)垂直，充分性得证。

⚠️ 补充：题设中\(\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}\neq0\)是为了避免退化，保证\(\boldsymbol{b}(t)\)非零、方向确定。

五、全知识点归纳总结表

核心概念 严格定义 核心公式/性质 几何意义/核心应用
向量函数 从区间\(I\subset\mathbb{R}\)到\(\mathbb{R}^3\)的映射\(\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\) 连续/可微/可积等价于分量函数的连续/可微/可积 表示空间参数曲线，是微分几何的核心工具
向量函数的导数 \(\boldsymbol{r}'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}\) \(\boldsymbol{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))\)，满足莱布尼茨求导法则 曲线在该点的切向量，刻画曲线的切线方向
向量函数的积分 \(\int_a^b\boldsymbol{r}(t)\mathrm{d}t=\lim_{\lambda\to0}\sum\boldsymbol{r}(\tau_i)\Delta t_i\) \(\int_a^b\boldsymbol{r}(t)\mathrm{d}t=\left(\int_a^b x(t)\mathrm{d}t,\int_a^b y(t)\mathrm{d}t,\int_a^b z(t)\mathrm{d}t\right)\) 计算曲线的弧长、位移等几何量
内积求导法则 内积的导数满足莱布尼茨法则 \((\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})'=\boldsymbol{a}'\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}'\) 推导长度固定的向量函数的微分特征
外积求导法则 外积的导数满足莱布尼茨法则（顺序不变） \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})'=\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}'\) 推导方向固定的向量函数的微分特征
混合积求导法则 混合积的导数为轮换求导的和 \((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})'=(\boldsymbol{a}',\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})+(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}',\boldsymbol{c})+(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}')\) 推导共面向量函数的微分特征
长度固定的向量函数 \(|\boldsymbol{a}(t)|=C\)（常数） 充要条件：\(\boldsymbol{a}'(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)\equiv0\) 单位向量的导数与自身垂直，Frenet标架的核心基础
方向固定的向量函数 \(\boldsymbol{a}(t)\)始终平行于固定常向量 充要条件：\(\boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}(t)\equiv0\) 判定曲线是否为直线（切向量方向固定）
与固定方向垂直的向量函数 \(\boldsymbol{a}(t)\)始终与固定常向量垂直 充要条件：\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}',\boldsymbol{a}'')\equiv0\)（非退化条件下） 判定曲线是否为平面曲线（曲线落在固定平面内）

posted on 2026-03-11 12:43  Indian_Mysore  阅读(1)  评论(0)    收藏  举报

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