3.3函数的应用

函数的应用 知识点精讲与解题方法拆解

同学们，前面我们系统学习了函数的奇偶性、单调性、最值等核心性质，今天我们来学习函数知识的最终落脚点——函数的实际应用。函数是刻画现实世界中变量依赖关系的核心数学模型，解决实际问题的本质，就是把实际问题转化为数学问题，通过建立函数模型、研究函数性质，最终得到实际问题的解决方案。

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一、函数应用的核心逻辑：数学建模四步走

用函数解决实际问题，核心是建立函数模型，必须严格遵循以下4个步骤，这是解决所有函数应用题的通用框架：

1. 审题定变量：明确实际问题的背景，区分已知量、未知量，确定自变量（主动变化的量）和因变量（随自变量变化的量，即函数）；
2. 建模写解析式：根据问题中的等量关系，推导出自变量和因变量的函数解析式，必须同步确定函数的定义域（这是实际问题与纯数学题的核心区别，定义域必须符合现实意义）；
3. 解模用性质：利用函数的单调性、最值、奇偶性等性质，求解数学问题（比如求最值、解不等式、求取值范围等）；
4. 还原验实际：把数学计算的结果，还原为实际问题的答案，验证结果是否符合现实逻辑。

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二、核心例题精讲（三大高频应用模型）

模型1：分段函数模型（例1：个人所得税计算）

分段函数是实际应用中最常见的模型之一，适用于不同区间内变量的对应规则不同的场景，比如个税计算、出租车计费、阶梯水价/电价、快递计费等。

例题核心背景拆解

我国个人所得税采用超额累进税率：

• 个税起征点为5000元，仅对「月收入-5000元」的部分（应纳税所得额）计税；
• 应纳税所得额被划分为多个区间，每个区间对应不同的税率，计税时各区间分别计算后求和；
• 速算扣除数：为了简化计算，可直接用公式「个税=应纳税所得额×对应区间税率-速算扣除数」。

函数建模过程

1. 定变量：自变量\(x\)为个人月收入（单位：元），定义域\(x\geq0\)；因变量\(y\)为应缴纳的个人所得税（单位：元）。
2. 分区间写解析式：根据税率表，按收入区间分段推导：
   | 月收入\(x\)区间 | 应纳税所得额区间 | 对应税率 | 个税解析式 |
   |---------------|------------------|----------|------------|
   | \(0\leq x\leq5000\) | \(\leq0\) | 无需纳税 | \(y=0\) |
   | \(5000<x\leq8000\) | \((0,3000]\) | 3% | \(y=0.03(x-5000)\) |
   | \(8000<x\leq17000\) | \((3000,12000]\) | 10% | \(y=0.1(x-5000)-210\) |
   | \(17000<x\leq30000\) | \((12000,25000]\) | 20% | \(y=0.2(x-5000)-1410\) |
   | \(30000<x\leq40000\) | \((25000,35000]\) | 25% | \(y=0.25(x-5000)-2660\) |
   | \(40000<x\leq60000\) | \((35000,55000]\) | 30% | \(y=0.3(x-5000)-4410\) |
   | \(60000<x\leq85000\) | \((55000,80000]\) | 35% | \(y=0.35(x-5000)-7160\) |
   | \(x>85000\) | \((80000,+\infty)\) | 45% | \(y=0.45(x-5000)-15160\) |

最终得到个税的分段函数模型：

\[y= \begin{cases} 0, & 0\leq x\leq5000, \\ 0.03(x-5000), & 5000<x\leq8000, \\ 0.1(x-5000)-210, & 8000<x\leq17000, \\ 0.2(x-5000)-1410, & 17000<x\leq30000, \\ 0.25(x-5000)-2660, & 30000<x\leq40000, \\ 0.3(x-5000)-4410, & 40000<x\leq60000, \\ 0.35(x-5000)-7160, & 60000<x\leq85000, \\ 0.45(x-5000)-15160, & x>85000. \end{cases} \]

核心易错点提醒

分段函数建模时，区间端点必须做到“不重不漏”，每个端点只能归属于一个区间，避免出现重复计税或遗漏计税的情况。

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模型2：取整函数（高斯函数）模型（例2：电商满减促销）

取整函数\(y=[x]\)（也叫地板函数）是分段函数的特殊形式，定义为：\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，例如\([3.1]=3\)，\([4]=4\)，\([-0.5]=-1\)。适用于“满减、阶梯计费、按件计费”等场景。

例题建模过程

1. 问题分析：促销规则为“每满100减30”，即消费额\(x\)中，每包含1个100元，就抵扣30元，抵扣的总金额由\(x\)中100元的整数倍决定。
2. 定变量：自变量\(x\)为消费额（单位：元），定义域\(x\in[0,+\infty)\)；因变量\(y\)为实际支付费用（单位：元）。
3. 写解析式：
   消费额中可抵扣的100元的个数为\(\left[\frac{x}{100}\right]\)，总抵扣金额为\(\left[\frac{x}{100}\right]\times30\)，因此实际支付费用为：
   \[\boldsymbol{y = x - 30\cdot\left[\frac{x}{100}\right],\quad x\in[0,+\infty)} \]

4. 问题(2)解析：消费金额不同，实际支付费用可能相同。
   本质原因：该函数是阶梯式递增函数，不是严格单调函数。例如：
   • 消费额170元时，\(\left[\frac{170}{100}\right]=1\)，实际支付\(170-30\times1=140\)元；
   • 消费额200元时，\(\left[\frac{200}{100}\right]=2\)，实际支付\(200-30\times2=140\)元。
     不同的消费额，最终实际支付费用相同。

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模型3：二次函数模型（例3：喷水池水柱设计）

二次函数是实际应用中最核心的模型之一，适用于抛物线轨迹、最值优化、面积/体积计算等场景，核心是利用二次函数的顶点式求最值、确定轨迹。

例题建模过程

1. 问题分析：喷出的水柱轨迹为抛物线，需要通过抛物线的顶点和落点确定解析式，最终求池中心位置的水柱高度（即抛物线在\(x=0\)处的函数值）。
2. 建立坐标系：以喷水池中心为原点\(O\)，水面为\(x\)轴，竖直向上为\(y\)轴，建立平面直角坐标系。
3. 设抛物线解析式：
   已知水柱在离池中心3米处达到最高高度4米，即抛物线的顶点为\((3,4)\)，因此设抛物线的顶点式：
   \[y = -a(x-3)^2 + 4 \quad (a>0, 0\leq x\leq8) \]
   （\(a>0\)保证抛物线开口向下，符合水柱下落的物理规律；水池直径16米，因此\(x\)的最大值为8）
4. 确定参数\(a\)：
   水柱落在水池边缘，即\(x=8\)时\(y=0\)，代入解析式：
   \[0 = -a(8-3)^2 + 4 \implies 25a=4 \implies a=0.16 \]
   因此抛物线的解析式为：\(\boldsymbol{y=-0.16(x-3)^2+4,\quad 0\leq x\leq8}\)
5. 求装饰物高度：
   装饰物在池中心上方，对应\(x=0\)，代入解析式得：
   \[h = f(0) = -0.16\times(0-3)^2 +4 = 2.56 \text{ 米} \]
   因此装饰物的高度应设计为2.56米。

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三、常见函数应用模型汇总表

函数模型	适用场景	核心特征	注意事项
一次函数模型	匀速变化、固定单价、线性增长/衰减、行程问题	变量变化率恒定，解析式为\(y=kx+b\)	注意\(k\)的正负：\(k>0\)递增，\(k<0\)递减
分段函数模型	阶梯计费、分段规则、不同区间对应不同算法	不同定义域区间对应不同的解析式	区间端点不重不漏，定义域必须符合实际
二次函数模型	抛物线轨迹、面积/利润最值、优化问题	有唯一的最值点（顶点），解析式常用顶点式	注意开口方向，最值点是否在定义域内
对勾函数模型	成本优化、均值不等式最值、双变量乘积固定的场景	形如\(y=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)\)，有唯一极小值点	注意等号成立的条件，是否在定义域内
取整函数模型	满减、按件计费、阶梯式优惠	解析式含\([x]\)，为阶梯式分段函数	\([x]\)是向下取整，不是四舍五入

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四、函数应用的高频易错点提醒

1. 忽略实际问题的定义域：这是最常见的错误，实际问题中自变量的取值必须符合现实意义（比如收入、长度不能为负，人数必须为正整数等），不能只按数学解析式写定义域。
2. 分段函数区间端点处理错误：区间端点必须唯一归属一个区间，避免出现重复计算、遗漏计算的问题。
3. 等量关系建模错误：审题时没有理清变量之间的逻辑关系，导致解析式写错，后续计算全部错误。
4. 结果未还原验证：算出数学结果后，没有验证是否符合实际场景，比如算出人数为小数、利润为负数等，必须修正后再给出最终答案。

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第1题

答案：函数关系式为\(\boldsymbol{y=x(20-2x)^2}\)，定义域为\(\boldsymbol{(0,10)}\)。

解析：

1. 分析长方体的尺寸：正方形铁皮边长为20cm，四个角各剪去边长为\(x\)的小正方形后，折成的无盖长方体的高为\(x\) cm，底面是边长为\(20-2x\) cm的正方形。
2. 容积公式：长方体容积=长×宽×高，因此\(y=x\cdot(20-2x)\cdot(20-2x)=x(20-2x)^2\)。
3. 确定定义域：实际问题中，边长必须为正数，因此\(\begin{cases}x>0 \\ 20-2x>0\end{cases}\)，解得\(0<x<10\)。

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第2题

答案：

\[\boldsymbol{y= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}x^2, & 0\leq x\leq2, \\ 2x-2, & 2<x\leq5, \\ \displaystyle -\frac{1}{2}(x-7)^2+10, & 5<x\leq7 \end{cases} } \]

解析：

1. 先求梯形的核心参数：
   等腰梯形底角为\(45^\circ\)，腰长\(2\sqrt{2}\) cm，因此梯形的高\(h=2\sqrt{2}\cdot\sin45^\circ=2\) cm，底边左右两侧的水平段长度均为\(2\sqrt{2}\cdot\cos45^\circ=2\) cm。
   上底\(AD=7-2-2=3\) cm，梯形总面积\(S=\frac{(3+7)\times2}{2}=10\) cm²。

2. 分三段讨论直线\(l\)左侧的图形：

   • 当\(0\leq x\leq2\)时：左侧是底为\(x\)、高为\(x\)的直角三角形（底角\(45^\circ\)），面积\(y=\frac{1}{2}x\cdot x=\frac{1}{2}x^2\)。
   • 当\(2<x\leq5\)时：左侧是直角梯形，由左侧固定的直角三角形（面积2）和长为\(x-2\)、高为2的矩形组成，面积\(y=2+2(x-2)=2x-2\)。
   • 当\(5<x\leq7\)时：左侧面积=梯形总面积-右侧直角三角形面积，右侧三角形底为\(7-x\)、高为\(7-x\)，因此\(y=10-\frac{1}{2}(7-x)^2=-\frac{1}{2}(x-7)^2+10\)。

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第3题

(1) 邮费计算

答案：50克邮件邮费为\(\boldsymbol{2.4}\)元，500克邮件邮费为\(\boldsymbol{12}\)元。

解析：

• 50克：不超过100克，每20克0.8元，不足20克按20克计算。50克包含3个20克，因此邮费\(3\times0.8=2.4\)元。
• 500克：100克以内的部分邮费为\(5\times0.8=4\)元；超过100克的部分为400克，每100克2元，邮费\(4\times2=8\)元，总邮费\(4+8=12\)元。

(2) 函数解析式

答案：设邮件质量为\(x\)克，邮费为\(y\)元，定义域为\(0<x\leq2000\)，则

\[\boldsymbol{y= \begin{cases} 0.8\cdot\left\lceil \displaystyle \frac{x}{20} \right\rceil, & 0<x\leq100, \\ 4+2\cdot\left\lceil \displaystyle \frac{x-100}{100} \right\rceil, & 100<x\leq2000 \end{cases} } \]

（\(\lceil a \rceil\)表示向上取整，即不足1个单位按1个单位计算）

(3) 函数图像

该函数为阶梯型分段函数：

• \(0<x\leq20\)时，\(y=0.8\)；\(20<x\leq40\)时，\(y=1.6\)；\(40<x\leq60\)时，\(y=2.4\)；\(60<x\leq80\)时，\(y=3.2\)；\(80<x\leq100\)时，\(y=4\)；
• \(100<x\leq200\)时，\(y=6\)；\(200<x\leq300\)时，\(y=8\)；……；\(1900<x\leq2000\)时，\(y=42\)。
  图像为水平线段组成的阶梯，每到计费分界点，函数值向上跳跃。

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第4题

(1) 燃料费用函数

答案：\(\boldsymbol{P=\frac{2}{3}v^2}\)，定义域\(\boldsymbol{v\in(0,48]}\)。

解析：
燃料费用\(P\)与船速\(v\)的平方成正比，设\(P=kv^2\)。
代入\(v=30\)时\(P=600\)，得\(600=k\cdot30^2\)，解得\(k=\frac{2}{3}\)，因此\(P=\frac{2}{3}v^2\)。

(2) 总费用函数

答案：\(\boldsymbol{y=\frac{200}{3}v+\frac{86400}{v}}\)，定义域\(\boldsymbol{v\in(0,48]}\)。

解析：
甲乙两地相距100海里，行驶时间为\(\frac{100}{v}\)小时，每小时总费用=燃料费+其余固定费用=\(\frac{2}{3}v^2+864\)。
因此总费用\(y=\frac{100}{v}\cdot\left(\frac{2}{3}v^2+864\right)=\frac{200}{3}v+\frac{86400}{v}\)。

(3) 费用最少的船速

答案：当船速为\(\boldsymbol{36}\)海里/时，总费用最少。

解析：
利用基本不等式求最值：

\[y=\frac{200}{3}v+\frac{86400}{v}\geq2\sqrt{\frac{200}{3}v\cdot\frac{86400}{v}}=4800 \]

当且仅当\(\frac{200}{3}v=\frac{86400}{v}\)时取等号，解得\(v^2=1296\)，即\(v=36\)（舍去负根）。
\(36\in(0,48]\)，符合船速限制，因此船速为36海里/时时总费用最少。

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第5题

答案：\(\boldsymbol{y=-200x+10600}\)，定义域为\(\boldsymbol{x\in\{4,5,6,7,8,9,10\}}\)（\(x\)为整数）。

解析：

1. 梳理调运数量（所有数量非负）：

   • 上海调往A市\(x\)台，则上海调往B市\(12-x\)台；
   • A市需10台，因此杭州调往A市\(10-x\)台；
   • 杭州共6台，因此杭州调往B市\(6-(10-x)=x-4\)台。
     定义域约束：\(\begin{cases}x\geq0 \\ 12-x\geq0 \\ 10-x\geq0 \\ x-4\geq0\end{cases}\)，解得\(4\leq x\leq10\)，且\(x\)为整数。

2. 计算总运费：
   总运费=各路线运费之和，代入得：

   \[\begin{align*} y&=400x+800(12-x)+300(10-x)+500(x-4) \\ &=400x+9600-800x+3000-300x+500x-2000 \\ &=-200x+10600 \end{align*} \]

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用函数的观点求解方程与不等式 知识点精讲

同学们，今天我们学习的内容，是函数知识的核心应用之一——用函数的观点统一看待方程与不等式。在此之前，我们解方程、解不等式多使用纯代数方法，而今天我们要把方程、不等式和函数三者绑定，用“数形结合”的思想，把代数问题转化为函数图像与性质的问题，这也是高中数学“函数统领代数”的核心体现。

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一、核心概念：函数的零点

1. 零点的定义

对于函数\(y=f(x)(x\in D)\)，若存在实数\(c\in D\)，使得\(\boldsymbol{f(c)=0}\)，则称\(c\)为函数\(y=f(x)\)的零点。

2. 核心等价关系（本章节的灵魂）

\[\boldsymbol{函数y=f(x)有零点 \iff 方程f(x)=0有实数解 \iff 函数y=f(x)的图像与x轴有交点} \]

• 深度解读：
  1. 方程\(f(x)=0\)的解，就是函数\(f(x)\)的零点，也是函数图像与x轴交点的横坐标；
  2. 我们可以通过研究函数的图像与性质，直接判断方程有没有解、有几个解，无需硬解方程。

3. 高频易错点提醒

函数的零点不是一个点，而是一个实数！

• 举例：函数\(f(x)=x-1\)的零点是\(x=1\)，而非点\((1,0)\)，这是考试中最易出错的概念题。

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二、零点存在性定理（判断零点是否存在的核心依据）

1. 定理内容

如果函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上的图像是一条连续不断的曲线，并且\(\boldsymbol{f(a)\cdot f(b)<0}\)，那么函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上至少存在一个零点，即存在\(c\in(a,b)\)，使得\(f(c)=0\)。

2. 定理的深度拆解

定理有两个缺一不可的核心条件：

1. 连续性条件：函数图像在\([a,b]\)上连续不断。
   • 反例：\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(f(-1)=-1\)，\(f(1)=1\)，满足\(f(-1)\cdot f(1)<0\)，但函数在\([-1,1]\)上不连续（\(x=0\)处断开），因此在\((-1,1)\)内没有零点。
2. 符号条件：区间端点的函数值异号，即\(f(a)\cdot f(b)<0\)。
   • 含义：函数图像的两个端点，一个在x轴上方、一个在x轴下方，又因为图像连续，必然会穿过x轴至少一次，即至少有一个零点。

3. 定理的性质：充分非必要条件

• 正向成立：满足“连续+端点异号”，就一定有零点；
• 反向不成立：函数有零点，不一定满足\(f(a)\cdot f(b)<0\)。
  • 反例：\(f(x)=x^2\)在\([-1,1]\)上有零点\(x=0\)，但\(f(-1)\cdot f(1)=1>0\)，不满足端点异号。

4. 零点个数的补充判断

如果函数在区间\([a,b]\)上连续，\(f(a)\cdot f(b)<0\)，且函数在区间上严格单调，那么函数在\((a,b)\)上有且只有一个零点。

• 解读：单调函数只会穿过x轴一次，可直接确定唯一零点，是判断方程解的个数的核心方法。

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三、例题4拆解：判断方程解的个数

题目：判断方程\(x^3-5x+3=0\)的解的个数。

解题思路与步骤：

1. 等价转化：方程的解的个数 = 函数\(f(x)=x^3-5x+3\)的零点个数。
2. 连续性分析：\(f(x)\)是三次初等函数，在\(\mathbb{R}\)上连续不断。
3. 找区间端点的函数值符号：
   • \(f(-3)=-9<0\)，\(f(-2)=5>0\)，\(f(-3)\cdot f(-2)<0\)，在\((-3,-2)\)上至少1个零点；
   • \(f(0)=3>0\)，\(f(1)=-1<0\)，\(f(0)\cdot f(1)<0\)，在\((0,1)\)上至少1个零点；
   • \(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=1>0\)，\(f(1)\cdot f(2)<0\)，在\((1,2)\)上至少1个零点。
4. 次数限制：三次方程最多有3个实数解，因此方程共有3个实数解。

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四、二分法：求函数零点的近似值

1. 二分法的原理

对于在区间\([a,b]\)上连续不断，且\(f(a)\cdot f(b)<0\)的函数，通过不断把零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，叫做二分法。

• 核心逻辑：每次取区间中点，判断零点在左半还是右半区间，把区间长度缩小一半，直到区间长度小于精度要求，即可用区间端点作为零点的近似值。

2. 二分法的标准步骤

1. 定初始区间：确定区间\([a,b]\)，验证\(f(a)\cdot f(b)<0\)，给定精度\(\varepsilon\)；
2. 取中点：求区间\((a,b)\)的中点\(c\)；
3. 判断零点归属：
   • 若\(f(c)=0\)，则\(c\)就是零点，结束计算；
   • 若\(f(a)\cdot f(c)<0\)，则零点在\((a,c)\)，令\(b=c\)；
   • 若\(f(c)\cdot f(b)<0\)，则零点在\((c,b)\)，令\(a=c\)；
4. 验证精度：若\(|a-b|<\varepsilon\)，则区间内的任意值都可作为零点近似值；否则重复步骤2-4。

例题5拆解：求\(f(x)=x^3-5x+3\)在\([0,1]\)上的零点近似值（精确到0.1）

1. 定初始区间
   \(f(0)=3>0\)，\(f(1)=-1<0\)，\(f(0)\cdot f(1)<0\)，零点在\((0,1)\)内，精度要求0.1，即最终区间长度需小于0.1。

2. 第一次二分，中点0.5
   中点\(x_1=0.5\)，\(f(0.5)=0.625>0\)，因\(f(0.5)\cdot f(1)<0\)，零点缩小到\((0.5,1)\)，区间长度0.5。

3. 第二次二分，中点0.75
   中点\(x_2=0.75\)，\(f(0.75)\approx-0.328<0\)，因\(f(0.5)\cdot f(0.75)<0\)，零点缩小到\((0.5,0.75)\)，区间长度0.25。

4. 第三次二分，中点0.625
   中点\(x_3=0.625\)，\(f(0.625)\approx0.119>0\)，因\(f(0.625)\cdot f(0.75)<0\)，零点缩小到\((0.625,0.75)\)，区间长度0.125。

5. 第四次二分，中点0.6875
   中点\(x_4=0.6875\)，\(f(0.6875)\approx-0.113<0\)，因\(f(0.625)\cdot f(0.6875)<0\)，零点缩小到\((0.625,0.6875)\)，区间长度0.0625<0.1，满足精度要求。

6. 确定近似值
   区间两个端点保留一位小数均为0.7，因此零点的近似值为\(\boldsymbol{0.7}\)。

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五、用函数的观点解不等式

1. 核心逻辑

不等式的本质是函数值的正负关系，因此：

• 不等式\(\boldsymbol{f(x)>0}\)的解集 = 函数\(y=f(x)\)的图像在x轴上方对应的x的取值范围；
• 不等式\(\boldsymbol{f(x)<0}\)的解集 = 函数\(y=f(x)\)的图像在x轴下方对应的x的取值范围；
• 不等式\(\boldsymbol{f(x)>g(x)}\)的解集 = 函数\(y=f(x)\)的图像在\(y=g(x)\)图像上方对应的x的取值范围。

2. 解题标准步骤

1. 移项整理：把不等式整理为\(f(x)>0\)（或\(<0\)）的形式，构造函数\(y=f(x)\)；
2. 求零点：解方程\(f(x)=0\)，得到函数的零点（图像与x轴的交点）；
3. 分析单调性与图像：分析函数在各个区间的单调性，画出大致图像；
4. 写解集：根据函数图像在x轴上方/下方的区间，写出不等式的解集。

例题6拆解：解不等式\(x+\frac{1}{x}>\frac{5}{2}\)

解题过程：

1. 构造函数：
   移项得\(x+\frac{1}{x}-\frac{5}{2}>0\)，记\(g(x)=x+\frac{1}{x}-\frac{5}{2}\)，不等式的解集就是\(g(x)>0\)的x的取值范围。

2. 求函数的零点：
   解方程\(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\)，去分母得\(2x^2-5x+2=0\)，解得\(x_1=\frac{1}{2}\)，\(x_2=2\)，即\(g(x)\)的零点为\(\frac{1}{2}\)和\(2\)。

3. 分析定义域与单调性：
   定义域：\(x\neq0\)。
   单调性：\(g(x)\)的单调性和对勾函数\(y=x+\frac{1}{x}\)一致，在\((0,1]\)上严格递减，在\([1,+\infty)\)上严格递增；\(x<0\)时，\(x+\frac{1}{x}<0\)，因此\(g(x)<0\)，不可能满足\(g(x)>0\)。

4. 结合图像写解集：
   \(x>0\)时，\(x\in(0,\frac{1}{2})\)时\(g(x)>0\)，\(x\in(2,+\infty)\)时\(g(x)>0\)。
   最终不等式的解集为：\(\boldsymbol{(0,\frac{1}{2})\cup(2,+\infty)}\)。

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六、方程解的个数与参数范围问题

这类问题是高考高频考点，核心方法有两种：零点存在定理法和数形结合法，我们结合例题7拆解。

例题7：已知方程\(x(x-3)=x-a\)在区间\((0,3)\)上只有一个实数解，求\(a\)的取值范围。

方法一：零点存在定理法

1. 整理方程：原方程化为\(x^2-4x+a=0\)，问题转化为：函数\(f(x)=x^2-4x+a\)在\((0,3)\)上只有一个零点，求\(a\)的范围。
2. 分类讨论：
   • 情况1：方程有两个相等实根（\(\Delta=0\)）
     \(\Delta=16-4a=0\)，解得\(a=4\)，此时方程的解为\(x=2\)，在\((0,3)\)内，符合条件。
   • 情况2：方程有两个不等实根，且在\((0,3)\)内只有一个
     根据零点存在定理，端点函数值异号，即\(f(0)\cdot f(3)<0\)，代入得\(a(a-3)<0\)，解得\(0<a<3\)。
   • 情况3：端点处函数值为0
     \(f(3)=0\)时，\(a=3\)，此时方程的解为\(x=1\)和\(x=3\)，在\((0,3)\)内只有\(x=1\)，符合条件；
     \(f(0)=0\)时，\(a=0\)，此时方程的解为\(x=0\)和\(x=4\)，在\((0,3)\)内无解，舍去。
3. 综上：\(a\)的取值范围是\(\boldsymbol{(0,3]\cup\{4\}}\)。

方法二：数形结合法（转化为两个函数的交点问题）

1. 分离参数：原方程化为\(a=-x^2+4x\)，问题转化为：直线\(y=a\)与函数\(y=-x^2+4x\)在\(x\in(0,3)\)上的图像只有一个交点，求\(a\)的范围。
2. 分析函数图像：
   \(y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4\)，是开口向下的抛物线，顶点为\((2,4)\)，在\(x\in(0,3)\)上，\(x=0\)时\(y=0\)，\(x=3\)时\(y=3\)。
3. 结合图像找交点：
   • 当\(0<a\leq3\)时，直线\(y=a\)与抛物线只有一个交点；
   • 当\(a=4\)时，直线与抛物线的顶点相切，只有一个交点。
4. 结论：\(a\in(0,3]\cup\{4\}\)，与方法一结果一致。

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七、核心知识点归纳总结表

核心内容	关键结论	易错点提醒
函数的零点	函数\(y=f(x)\)的零点\(\iff\)方程\(f(x)=0\)的解\(\iff\)函数图像与x轴交点的横坐标	零点是实数，不是点，不能写成\((c,0)\)
零点存在性定理	连续函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上满足\(f(a)f(b)<0\)，则在\((a,b)\)内至少有一个零点	1. 必须满足“连续不断”；2. 是充分非必要条件，有零点不一定满足端点异号
零点个数判断	连续+端点异号+严格单调\(\implies\)区间内有且只有一个零点	单调是唯一零点的核心补充条件
二分法	核心是不断二分区间，逼近零点，直到区间长度小于精度要求	每次二分后必须准确判断零点所在区间，避免符号搞反
函数解不等式	\(f(x)>0\)的解集=函数图像在x轴上方的x范围；\(f(x)<0\)的解集=图像在x轴下方的x范围	必须先确定函数的定义域，尤其是分式、根式函数
方程参数范围问题	两种核心方法：1. 零点存在定理+分类讨论；2. 分离参数，数形结合转化为函数交点问题	数形结合法要准确绘制函数图像，注意区间端点的开闭

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学习本章节的核心提醒

1. 本章节的核心是数形结合思想，所有方程、不等式问题，都可以转化为函数图像问题，一定要养成“画草图辅助分析”的习惯；
2. 零点存在定理的两个条件缺一不可，尤其是“连续性”，遇到分式函数、反比例函数一定要注意间断点；
3. 二分法的核心是“逐步逼近”，计算中点函数值时一定要注意符号，避免区间搞反；
4. 解不等式时，一定要先确定定义域，所有解集都必须在定义域内，这是高频失分点。

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第6题

答案：另外两个零点的近似值分别为\(\boldsymbol{-2.5}\)和\(\boldsymbol{1.8}\)（精确到0.1）。

解析：
函数\(f(x)=x^3-5x+3\)的三个零点分别在区间\((-3,-2)\)、\((0,1)\)、\((1,2)\)内，其中\((0,1)\)内的零点已求得为\(0.7\)，剩余两个零点用二分法求解：

1. 区间\((-3,-2)\)内的零点

   • \(f(-3)=-9<0\)，\(f(-2)=5>0\)，中点\(x=-2.5\)，\(f(-2.5)=-0.125<0\)，零点缩小到\((-2.5,-2)\)；
   • 继续二分，最终零点落在\((-2.5,-2.4375)\)，区间长度小于0.1，端点精确到0.1均接近\(-2.5\)，因此近似值为\(-2.5\)。

2. 区间\((1,2)\)内的零点

   • \(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=1>0\)，多次二分后零点落在\((1.8125,1.875)\)，区间长度小于0.1，端点精确到0.1接近\(1.8\)，因此近似值为\(1.8\)。

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第7题

答案：函数在\((-3,3)\)上有\(\boldsymbol{3}\)个零点。

解析：

1. 函数\(f(x)=x^3-x^2-4x+3\)是三次初等函数，在\(\mathbb{R}\)上连续，求导得\(f'(x)=3x^2-2x-4\)，令\(f'(x)=0\)，解得极值点\(x_1\approx-0.868\)，\(x_2\approx1.535\)，均在\((-3,3)\)内。
2. 计算区间端点与极值点的函数值：
   • \(f(-3)=-21<0\)，极大值\(f(-0.868)\approx5.065>0\)，因此\((-3,-0.868)\)内有1个零点；
   • 极小值\(f(1.535)\approx-1.875<0\)，因此\((-0.868,1.535)\)内有1个零点；
   • \(f(3)=9>0\)，因此\((1.535,3)\)内有1个零点。
3. 三次函数最多3个实数解，因此函数在\((-3,3)\)上共有3个零点。

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第8题

答案：实数\(m\)的取值范围是\(\boldsymbol{\{-2\}\cup(0,\frac{5}{2}]}\)。

解析：

1. 求\(f(x)\)的解析式：令\(t=x+1\)，则\(x=t-1\)，代入得\(f(t)=(t-1)^2-4=t^2-2t-3\)，即\(f(x)=x^2-2x-3\)。
2. \(F(x)=f(x)-2m\)在\([-2,3]\)上有唯一零点，等价于方程\(x^2-2x-3=2m\)在\([-2,3]\)上有唯一解，即\(y=f(x)\)与\(y=2m\)的图像在\([-2,3]\)上有唯一交点。
3. 分析\(f(x)\)在\([-2,3]\)上的取值：\(f(x)=(x-1)^2-4\)，对称轴\(x=1\)，最小值\(f(1)=-4\)，\(f(-2)=5\)，\(f(3)=0\)。
   • 当\(2m=-4\)即\(m=-2\)时，唯一解\(x=1\)，符合条件；
   • 当\(0<2m\leq5\)即\(0<m\leq\frac{5}{2}\)时，仅有一个解，符合条件；
   • 当\(-4<2m<0\)时，有两个解，不符合条件。

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第9题

(1)

答案：实数\(c\)的取值范围是\(\boldsymbol{(1,2]\cup(4,5]}\)。

解析：

1. 先化简\(f(x)\)：根据定义，\(a=x^2+1\)，\(b=x+2\)，\(a-b=x^2-x-1\)。
   • 当\(x^2-x-1\leq1\)即\(-1\leq x\leq2\)时，\(f(x)=x^2+1\)；
   • 当\(x^2-x-1>1\)即\(x<-1\)或\(x>2\)时，\(f(x)=x+2\)。
2. 分析\(f(x)\)的图像特征：
   • \(x<-1\)时，\(f(x)=x+2<1\)；
   • \(-1\leq x\leq2\)时，\(f(x)=x^2+1\)，取值范围\([1,5]\)；
   • \(x>2\)时，\(f(x)=x+2>4\)。
3. \(y=f(x)-c\)与\(x\)轴有两个公共点，即\(f(x)=c\)有两个不同解：
   • \(1<c<2\)时，与抛物线有两个交点，符合条件；
   • \(c=2\)时，与抛物线交于\(x=-1\)和\(x=1\)，两个解，符合条件；
   • \(4<c<5\)时，与抛物线、\(x>2\)的直线各有一个交点，符合条件；
   • \(c=5\)时，与抛物线、\(x>2\)的直线各有一个交点，符合条件。

(2)

答案：实数\(a\)的取值范围是\(\boldsymbol{(\frac{4}{3},\frac{3}{2})}\)（或\([\frac{4}{3},\frac{3}{2})\)）。

解析：

1. 零点即\(\frac{[x]}{x}=a\)（\(x\neq0\)），令\(g(x)=\frac{[x]}{x}\)，方程有且仅有三个解即\(y=a\)与\(g(x)\)的图像有三个交点。
2. 分析\(g(x)\)的取值：
   • \(x>0\)时，\(g(x)\leq1\)，且对任意\(0<a<1\)，存在无限多正整数\(k\)使得\(\frac{k}{k+1}<a\)，因此有无限个解；
   • \(x<0\)时，分区间讨论：
     • \(x\in(-1,0)\)：\(g(x)=-\frac{1}{x}\)，\(a>1\)时有1个解；
     • \(x\in(-2,-1)\)：\(g(x)=-\frac{2}{x}\)，\(1<a<2\)时有1个解；
     • \(x\in(-3,-2)\)：\(g(x)=-\frac{3}{x}\)，\(1<a<\frac{3}{2}\)时有1个解；
     • \(x\in(-4,-3)\)：\(g(x)=-\frac{4}{x}\)，\(1<a<\frac{4}{3}\)时有1个解。
3. 当\(\frac{4}{3}<a<\frac{3}{2}\)时，仅在\((-1,0)\)、\((-2,-1)\)、\((-3,-2)\)内各有1个解，共3个解，符合条件。

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第10题

(1)

答案：方程没有整数解。

解析：
令\(f(x)=x^3+2x-99\)，\(f'(x)=3x^2+2>0\)，因此\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上严格递增，最多1个零点。
计算整数点函数值：\(f(4)=64+8-99=-27<0\)，\(f(5)=125+10-99=36>0\)，零点在\((4,5)\)之间，无整数解。
也可通过因数验证：\(x(x^2+2)=99\)，99的正整数因数均不满足方程，负整数代入左边为负，不可能等于99，因此无整数解。

(2)

答案：不等式的解集为\(\boldsymbol{(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)}\)。

解析：

1. 移项整理不等式：\(x^6+x^2 > (2x+3)^3+(2x+3)\)。
2. 构造函数\(f(t)=t^3+t\)，求导得\(f'(t)=3t^2+1>0\)，因此\(f(t)\)在\(\mathbb{R}\)上严格递增。
3. 不等式可化为\(f(x^2) > f(2x+3)\)，根据单调性得\(x^2>2x+3\)。
4. 解二次不等式：\(x^2-2x-3>0 \implies (x-3)(x+1)>0\)，解得\(x<-1\)或\(x>3\)。