3.2函数的奇偶性

函数的奇偶性 知识点精讲与推导证明

同学们，今天我们来系统学习函数的奇偶性。奇偶性是函数的核心基本性质，本质是用代数语言刻画函数图像的对称性，能帮我们大幅简化函数的研究过程——只要掌握了奇偶性，只需研究函数一半区间的性质，就能通过对称得到另一半区间的全部特征。

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一、偶函数的定义与严谨推导

1. 几何直观引入

我们先看熟悉的函数\(f(x)=x^2\)，它的图像是开口向上的抛物线，关于\(y\)轴成轴对称。
什么是函数图像关于\(y\)轴对称？核心定义是：函数图像上任意一个点，关于\(y\)轴的对称点，一定也在这个函数的图像上。

2. 从几何对称到代数定义的推导

我们把几何语言转化为严格的代数语言：

1. 任取函数\(y=f(x)\)图像上一点\(P\)，坐标为\((x_1, f(x_1))\)；
2. 点\(P\)关于\(y\)轴的对称点\(P'\)，横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此\(P'\)的坐标为\((-x_1, f(x_1))\)；
3. 因为图像关于\(y\)轴对称，所以\(P'\)必须在函数图像上。根据函数的定义，横坐标为\(-x_1\)的点，纵坐标一定是\(f(-x_1)\)，即\(P'\)的坐标也可写为\((-x_1, f(-x_1))\)；
4. 同一个点的纵坐标必然相等，因此得到：\(f(-x_1)=f(x_1)\)。

由于\(x_1\)是定义域内任意取的，因此推广到整个定义域：

若对于函数\(y=f(x)\)的定义域\(D\)内的任意实数\(x\)，都有\(f(-x)=f(x)\)，则称\(y=f(x)\)为偶函数。

3. 充要条件的双向证明

我们已经从“图像关于\(y\)轴对称”推导出了代数定义，现在反过来证明：若对任意\(x\in D\)，\(f(-x)=f(x)\)，则函数图像一定关于\(y\)轴对称。

• 证明：任取函数图像上一点\(Q(x_2, f(x_2))\)，它关于\(y\)轴的对称点为\(Q'(-x_2, f(x_2))\)；
• 根据条件\(f(-x_2)=f(x_2)\)，因此\(Q'\)的坐标可写为\((-x_2, f(-x_2))\)，这正是函数在\(x=-x_2\)处的点，因此\(Q'\)一定在函数图像上；
• 由于\(Q\)是任意取的，因此函数图像上所有点关于\(y\)轴的对称点都在图像上，即图像关于\(y\)轴对称。

由此得到核心等价关系：

\[\boldsymbol{函数y=f(x)是偶函数 \iff 函数图像关于y轴成轴对称} \]

4. 定义域的核心要求

“定义域\(D\)关于原点对称”是函数为偶函数的必要非充分条件。

• 必要性证明：若\(f(x)\)是偶函数，则对任意\(x\in D\)，\(f(-x)\)必须有意义，即\(-x\in D\)，因此定义域一定关于原点对称；
• 非充分性说明：定义域关于原点对称，不代表函数一定是偶函数，例如\(f(x)=x+1\)，定义域为\(\mathbb{R}\)（关于原点对称），但不满足\(f(-x)=f(x)\)，不是偶函数。

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二、奇函数的定义与严谨推导

1. 几何直观引入

再看函数\(f(x)=-\frac{1}{x}\)，它的图像是双曲线，关于原点成中心对称。
中心对称的核心定义是：函数图像上任意一个点，关于原点的对称点，一定也在这个函数的图像上。

2. 从几何对称到代数定义的推导

同样把几何语言转化为代数语言：

1. 任取函数\(y=f(x)\)图像上一点\(P\)，坐标为\((x_1, f(x_1))\)；
2. 点\(P\)关于原点的对称点\(P'\)，横坐标、纵坐标都互为相反数，因此\(P'\)的坐标为\((-x_1, -f(x_1))\)；
3. 因为图像关于原点中心对称，所以\(P'\)必须在函数图像上，因此\(P'\)的坐标也可写为\((-x_1, f(-x_1))\)；
4. 同一个点的纵坐标必然相等，因此得到：\(f(-x_1)=-f(x_1)\)。

由于\(x_1\)是任意取的，推广到整个定义域，得到奇函数的严格定义：

若对于函数\(y=f(x)\)的定义域\(D\)内的任意实数\(x\)，都有\(f(-x)=-f(x)\)，则称\(y=f(x)\)为奇函数。

3. 充要条件的双向证明

反过来证明：若对任意\(x\in D\)，\(f(-x)=-f(x)\)，则函数图像关于原点中心对称。

• 证明：任取函数图像上一点\(Q(x_2, f(x_2))\)，它关于原点的对称点为\(Q'(-x_2, -f(x_2))\)；
• 根据条件\(f(-x_2)=-f(x_2)\)，因此\(Q'\)的坐标可写为\((-x_2, f(-x_2))\)，这正是函数在\(x=-x_2\)处的点，因此\(Q'\)一定在函数图像上；
• 由于\(Q\)是任意取的，因此函数图像关于原点中心对称。

由此得到核心等价关系：

\[\boldsymbol{函数y=f(x)是奇函数 \iff 函数图像关于原点成中心对称} \]

4. 定义域要求与核心推论

1. 定义域要求：和偶函数一致，“定义域关于原点对称”是函数为奇函数的必要非充分条件，原理完全相同。
2. 核心推论：若奇函数\(y=f(x)\)在\(x=0\)处有定义，则必有\(f(0)=0\)。
   • 证明：因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-x)=-f(x)\)，令\(x=0\)，得\(f(-0)=-f(0)\)，即\(f(0)=-f(0)\)，移项得\(2f(0)=0\)，因此\(f(0)=0\)。

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三、函数按奇偶性的分类

根据奇偶性的定义，函数可分为4类，我们逐一明确判定标准：

1. 奇函数：定义域关于原点对称，且对任意\(x\in D\)，\(f(-x)=-f(x)\)恒成立；
2. 偶函数：定义域关于原点对称，且对任意\(x\in D\)，\(f(-x)=f(x)\)恒成立；
3. 既奇又偶函数：定义域关于原点对称，且同时满足\(f(-x)=f(x)\)和\(f(-x)=-f(x)\)。
   • 推导：联立两个等式得\(f(x)=-f(x)\)，即\(f(x)=0\)。因此这类函数的解析式唯一为\(f(x)=0\)，只要定义域关于原点对称即可，有无数个；
4. 非奇非偶函数：不满足奇函数、偶函数定义的函数，分为两种情况：
   • 定义域不关于原点对称，直接判定为非奇非偶；
   • 定义域关于原点对称，但既不满足\(f(-x)=f(x)\)，也不满足\(f(-x)=-f(x)\)。

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四、奇偶性的核心补充性质（含证明）

1. 四则运算性质

前提：设\(f(x)\)、\(g(x)\)的定义域分别为\(D_1\)、\(D_2\)，且\(D=D_1\cap D_2\)关于原点对称。

运算类型	结论
和差运算	奇函数\(\pm\)奇函数=奇函数；偶函数\(\pm\)偶函数=偶函数；奇函数\(\pm\)偶函数=非奇非偶函数
乘除运算	奇函数\(\times/\div\)奇函数=偶函数；偶函数\(\times/\div\)偶函数=偶函数；奇函数\(\times/\div\)偶函数=奇函数

示例证明（奇函数+奇函数=奇函数）：
设\(f(x)\)、\(g(x)\)均为奇函数，令\(F(x)=f(x)+g(x)\)，定义域\(D\)关于原点对称。
则\(F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-F(x)\)，因此\(F(x)\)是奇函数。

2. 复合函数奇偶性

口诀：内偶则偶，内奇同外
设复合函数\(F(x)=f(g(x))\)，定义域关于原点对称：

1. 若内层函数\(g(x)\)是偶函数，则无论外层\(f(x)\)是什么，\(F(x)\)一定是偶函数；
   • 证明：\(g(-x)=g(x)\)，因此\(F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x)\)，满足偶函数定义。
2. 若内层函数\(g(x)\)是奇函数，则\(F(x)\)的奇偶性与外层\(f(x)\)一致：\(f(x)\)奇则\(F(x)\)奇，\(f(x)\)偶则\(F(x)\)偶。

3. 奇偶性与单调性的关系

1. 奇函数：在关于原点对称的两个区间上，单调性完全相同；
2. 偶函数：在关于原点对称的两个区间上，单调性完全相反。

示例证明（偶函数对称区间单调性相反）：
设偶函数\(f(x)\)在\([a,b]\)（\(a>0\)）上单调递增，证明\(f(x)\)在\([-b,-a]\)上单调递减。

• 证明：任取\(x_1<x_2\in[-b,-a]\)，则\(-x_1>-x_2\in[a,b]\)；
• 因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增，所以\(f(-x_1)>f(-x_2)\)；
• 又因为\(f(x)\)是偶函数，\(f(-x_1)=f(x_1)\)，\(f(-x_2)=f(x_2)\)，因此\(f(x_1)>f(x_2)\)；
• 即\(x_1<x_2\)时\(f(x_1)>f(x_2)\)，因此\(f(x)\)在\([-b,-a]\)上单调递减。

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五、函数奇偶性判定标准步骤（高频易错点提醒）

判断函数奇偶性必须严格遵循以下步骤，顺序不可颠倒：

1. 第一步：求定义域，判断是否关于原点对称。若不对称，直接判定为非奇非偶函数，结束判断；若对称，进入第二步。
   • 易错提醒：绝对不能先化简解析式再求定义域，否则会改变函数的定义域，导致判断错误。
2. 第二步：化简函数解析式，注意化简过程中绝对不能改变原函数的定义域。
3. 第三步：计算\(f(-x)\)，对比\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系，最终判定类型。

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六、核心知识点归纳总结表

对比项目	偶函数	奇函数
核心定义	对定义域\(D\)内的任意\(x\)，恒有\(\boldsymbol{f(-x)=f(x)}\)	对定义域\(D\)内的任意\(x\)，恒有\(\boldsymbol{f(-x)=-f(x)}\)
几何特征	函数图像关于\(\boldsymbol{y}\)轴成轴对称	函数图像关于\(\boldsymbol{原点}\)成中心对称
定义域要求	必须关于原点对称（必要非充分条件）	必须关于原点对称（必要非充分条件）
\(x=0\)处性质	若\(x=0\)在定义域内，\(f(0)\)可为任意实数	若\(x=0\)在定义域内，\(\boldsymbol{必有f(0)=0}\)
单调性特征	关于原点对称的区间上，单调性相反	关于原点对称的区间上，单调性相同
四则运算规律	偶\(\pm\)偶=偶；偶\(\times\)偶=偶；偶\(\times\)奇=奇	奇\(\pm\)奇=奇；奇\(\times\)奇=偶；奇\(\times\)偶=奇
复合函数规律	内层为偶则复合为偶；内层为奇、外层为偶则复合为偶	内层为奇、外层为奇则复合为奇
典型示例	\(f(x)=x^2\)、\(f(x)=|x|\)、\(f(x)=x^4\)	\(f(x)=x\)、\(f(x)=x^3\)、\(f(x)=-\frac{1}{x}\)
判定核心步骤	1. 求定义域，判断对称性；2. 化简解析式；3. 验证\(f(-x)=f(x)\)是否恒成立	1. 求定义域，判断对称性；2. 化简解析式；3. 验证\(f(-x)=-f(x)\)是否恒成立

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函数的单调性 知识点精讲与推导证明

同学们，上一节课我们学习了刻画函数图像对称性的奇偶性，今天我们来学习函数的第二个核心基本性质——单调性。单调性刻画的是函数在某个区间内的增减变化趋势，是我们研究函数值域、最值、解不等式、比较函数值大小的核心工具，也是高中函数模块的核心考点。

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一、单调性的几何直观与严格定义

1. 几何直观引入

我们以熟悉的二次函数\(f(x)=x^2\)为例观察：

• 当\(x\in(-\infty,0]\)时，随着自变量\(x\)从左到右增大，函数值\(y\)逐渐减小，图像从左到右呈下降趋势；
• 当\(x\in[0,+\infty)\)时，随着自变量\(x\)从左到右增大，函数值\(y\)逐渐增大，图像从左到右呈上升趋势。

这种函数图像在某个区间内的上升/下降趋势，就是函数单调性的几何表现。我们需要把这种直观的几何特征，转化为严谨的代数定义，才能进行严格的数学推导与计算。

2. 单调性的严格代数定义

设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)，区间\(I\)是\(D\)的一个子集（即\(I\subseteq D\)）：

（1）增函数与严格增函数

• 增函数定义：如果对于任意的\(x_1,x_2\in I\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(\boldsymbol{f(x_1)\leq f(x_2)}\)，那么称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是增函数（也叫非减函数）。
• 严格增函数定义：特别地，如果对于任意的\(x_1,x_2\in I\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(\boldsymbol{f(x_1)< f(x_2)}\)，那么称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是严格增函数。

（2）减函数与严格减函数

• 减函数定义：如果对于任意的\(x_1,x_2\in I\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(\boldsymbol{f(x_1)\geq f(x_2)}\)，那么称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是减函数（也叫非增函数）。
• 严格减函数定义：特别地，如果对于任意的\(x_1,x_2\in I\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(\boldsymbol{f(x_1)> f(x_2)}\)，那么称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是严格减函数。

（3）核心概念补充

• 单调函数：若函数\(y=f(x)\)在某个区间\(I\)上是（严格）增函数或（严格）减函数，就称函数在区间\(I\)上是单调函数，区间\(I\)称为函数的单调区间。
• 单调性的分类：“严格增”“严格减”“增（非减）”“减（非增）”，统称为函数的单调性。高中阶段的考题，90%以上聚焦于严格单调性，我们后续的讲解也以严格单调性为核心。

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二、定义的核心要点与易错点拆解

这部分是大家学习单调性的重中之重，也是考试中最容易出错的地方，我给大家拆解4个核心要点：

1. 单调性是局部性质，而非整体性质

和我们上节课学的“奇偶性是函数在整个定义域上的整体性质”完全不同，单调性是针对定义域的某个子区间而言的。

• 举例：\(f(x)=x^2\)在\((-\infty,0]\)上是严格减函数，在\([0,+\infty)\)上是严格增函数，但我们不能说\(f(x)=x^2\)在整个定义域\(\mathbb{R}\)上是单调函数。
• 只有当函数在整个定义域上都是严格增/严格减时，我们才能称这个函数是定义域上的单调函数，比如\(f(x)=x\)在\(\mathbb{R}\)上是严格增函数。

2. 定义中的“任意”二字，是核心中的核心

定义中要求\(x_1,x_2\)必须是区间\(I\)内的任意两个数，绝对不能用特殊值代替。

• 反例：对于\(f(x)=x^2\)，取\(x_1=-1,x_2=2\)，满足\(x_1<x_2\)，且\(f(-1)=1<f(2)=4\)，但我们绝对不能得出“\(f(x)=x^2\)在\(\mathbb{R}\)上是增函数”的结论，因为这只是两个特殊值，不满足“任意”的要求。
• 逻辑本质：只有对区间内所有的自变量都满足不等关系，才能保证整个区间的增减趋势，特殊值无法代表整体。

3. 单调性的等价判定形式（斜率式）

我们可以从定义出发，推导出单调性的等价判定公式，这个公式在解题中非常常用，尤其是求参数范围的题目（比如例题6）。

推导过程：

对于区间\(I\)内的任意\(x_1\neq x_2\)：

1. 若\(f(x)\)是严格增函数：

   • 当\(x_1<x_2\)时，\(x_1-x_2<0\)，且\(f(x_1)<f(x_2)\)，即\(f(x_1)-f(x_2)<0\)；
   • 两个负数相除，结果为正，因此\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)。
   • 反之，若\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，则分子分母同号，即\(x_1<x_2\)时\(f(x_1)<f(x_2)\)，符合严格增函数定义。

2. 若\(f(x)\)是严格减函数：

   • 同理，当\(x_1<x_2\)时，\(x_1-x_2<0\)，\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，一负一正相除结果为负，因此\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0\)。
   • 反之也成立。

最终等价结论：

\[\boldsymbol{严格增函数 \iff \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0 \quad (x_1\neq x_2, x_1,x_2\in I)} \]

\[\boldsymbol{严格减函数 \iff \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0 \quad (x_1\neq x_2, x_1,x_2\in I)} \]

这个式子的本质是：函数在区间上的平均变化率的符号，和单调性完全一致。

4. 不等号的方向规律

• 严格增函数：自变量的大小关系，和函数值的大小关系同向（\(x_1<x_2 \iff f(x_1)<f(x_2)\)）；
• 严格减函数：自变量的大小关系，和函数值的大小关系反向（\(x_1<x_2 \iff f(x_1)>f(x_2)\)）。

这个规律是我们利用单调性解不等式的核心依据——可以通过单调性，把函数值的不等关系，直接转化为自变量的不等关系。

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三、函数单调性的证明（定义法）

高中阶段，证明函数单调性的核心方法是定义法，我们先给大家标准的5步解题步骤，再结合例题5做完整的拆解讲解。

定义法证明单调性的标准步骤

1. 取值：任取\(x_1,x_2\in\)给定区间\(I\)，且规定\(x_1<x_2\)；
2. 作差：计算\(f(x_1)-f(x_2)\)（也可以用\(f(x_2)-f(x_1)\)，只要后续定号逻辑一致即可）；
3. 变形：通过因式分解、通分、配方、有理化等方式，将差式变形为可以直接判断正负号的形式（通常变形为几个因式相乘除的形式）；
4. 定号：结合区间范围和\(x_1<x_2\)的条件，判断每个因式的正负，最终确定整个差式的符号；
5. 下结论：根据差式的符号，结合单调性的定义，判断函数是严格增/严格减函数。

例题5 完整拆解讲解

题目：求证\(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\)在区间\((-1,0)\)上是严格增函数。

证明过程分步讲解：

1. 取值：任取\(x_1,x_2\in(-1,0)\)，且\(x_1<x_2\)。

   • 讲解：这里必须强调“任取”，符合定义的要求，同时明确区间和大小关系，为后续定号做准备。

2. 作差：计算\(f(x_1)-f(x_2)\)

   \[f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1^2-1}-\frac{1}{x_2^2-1} \]
   • 讲解：直接代入函数解析式，作差是定义法的核心操作。

3. 变形：通分并因式分解

   \[\begin{align*} f(x_1)-f(x_2)&=\frac{x_2^2-1 - (x_1^2-1)}{(x_1^2-1)(x_2^2-1)} \\ &=\frac{x_2^2 - x_1^2}{(x_1^2-1)(x_2^2-1)} \\ &=\frac{(x_2+x_1)(x_2-x_1)}{(x_1^2-1)(x_2^2-1)} \end{align*} \]
   • 讲解：通分后利用平方差公式因式分解，把差式变成了4个因式相乘的形式，接下来就可以逐个判断符号了。

4. 定号：逐个判断因式的正负
   已知\(x_1,x_2\in(-1,0)\)，且\(x_1<x_2\)：

   • ① \(x_2+x_1\)：两个负数相加，结果为负，即\(x_2+x_1<0\)；
   • ② \(x_2-x_1\)：因为\(x_2>x_1\)，所以\(x_2-x_1>0\)；
   • ③ \(x_1^2-1\)：\(x_1\in(-1,0)\)，所以\(x_1^2\in(0,1)\)，因此\(x_1^2-1<0\)；
   • ④ \(x_2^2-1\)：同理，\(x_2^2-1<0\)。

   现在把符号代入差式：

   \[f(x_1)-f(x_2)=\frac{(-) \times (+)}{(-) \times (-)} = \frac{-}{+} = - < 0 \]

   即\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，也就是\(f(x_1)<f(x_2)\)。

5. 下结论：
   对于区间\((-1,0)\)内的任意\(x_1<x_2\)，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，符合严格增函数的定义，因此\(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\)在\((-1,0)\)上是严格增函数。

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四、单调性的核心性质与解题应用

1. 单调性的四则运算性质

前提：设函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\(I\)上具有单调性，那么在区间\(I\)上：

运算类型	结论
加法	严格增函数 + 严格增函数 = 严格增函数；严格减函数 + 严格减函数 = 严格减函数
减法	严格增函数 - 严格减函数 = 严格增函数；严格减函数 - 严格增函数 = 严格减函数
数乘	若\(k>0\)，则\(k\cdot f(x)\)与\(f(x)\)单调性一致；若\(k<0\)，则\(k\cdot f(x)\)与\(f(x)\)单调性相反
乘法	两个恒正的严格增函数相乘，结果为严格增函数；两个恒负的严格减函数相乘，结果为严格增函数

• 注意：增函数×增函数不一定是增函数，比如\(f(x)=x\)和\(g(x)=x\)都是\(\mathbb{R}\)上的增函数，但\(f(x)\cdot g(x)=x^2\)不是\(\mathbb{R}\)上的增函数，必须加“恒正/恒负”的前提。

2. 复合函数的单调性：同增异减法则

对于复合函数\(y=f(g(x))\)，设内层函数\(u=g(x)\)在区间\(I\)上有单调性，外层函数\(y=f(u)\)在\(u\)对应的区间上有单调性，那么复合函数的单调性遵循同增异减法则：

• 若内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为严格增函数；
• 若内层函数和外层函数的单调性相反，则复合函数为严格减函数。

内层函数\(u=g(x)\)	外层函数\(y=f(u)\)	复合函数\(y=f(g(x))\)
严格增	严格增	严格增
严格增	严格减	严格减
严格减	严格增	严格减
严格减	严格减	严格增

3. 单调性与奇偶性的结合应用（例题7拆解）

我们上节课学过奇偶性的对称性质，结合单调性，有两个核心结论：

1. 奇函数：在关于原点对称的两个区间上，单调性完全相同；
2. 偶函数：在关于原点对称的两个区间上，单调性完全相反。

例题7 完整拆解讲解

题目：已知\(y=g(x)\)是定义在区间\([-2,2]\)上的偶函数，当\(x\geq0\)时，\(y=g(x)\)为严格减函数。若\(g(1-m)<g(m)\)成立，求实数\(m\)的取值范围。

解题思路推导：

1. 首先，函数是偶函数，图像关于\(y\)轴对称，且\(x\geq0\)时是严格减函数，说明：自变量的绝对值越大，函数值越小（离\(y\)轴越远，函数值越小）。
   • 推导：因为偶函数\(g(|x|)=g(x)\)，所以\(g(1-m)=g(|1-m|)\)，\(g(m)=g(|m|)\)，原不等式\(g(1-m)<g(m)\)等价于\(g(|1-m|)<g(|m|)\)。
2. 又因为\(x\geq0\)时\(g(x)\)是严格减函数，根据减函数的定义，函数值越小，自变量越大，因此\(g(|1-m|)<g(|m|)\)等价于\(|1-m|>|m|\)。
3. 同时，函数的定义域是\([-2,2]\)，所以\(1-m\)和\(m\)都必须在定义域内，即\(-2\leq1-m\leq2\)，\(-2\leq m\leq2\)。

解题过程：
根据上述推导，列出不等式组：

\[\begin{cases} |1-m|>|m| \\ -2\leq1-m\leq2 \\ -2\leq m\leq2 \end{cases} \]

1. 解第一个不等式\(|1-m|>|m|\)：
   两边平方得\((1-m)^2>m^2\)，展开得\(1-2m+m^2>m^2\)，化简得\(1-2m>0\)，解得\(m<\frac{1}{2}\)。

2. 解第二个不等式\(-2\leq1-m\leq2\)：
   左边：\(-2\leq1-m \implies m\leq3\)；右边：\(1-m\leq2 \implies m\geq-1\)，因此\(-1\leq m\leq3\)。

3. 第三个不等式\(-2\leq m\leq2\)。

4. 取三个不等式的交集，得\(-1\leq m<\frac{1}{2}\)。

结论：实数\(m\)的取值范围是\(\left[-1,\frac{1}{2}\right)\)。

4. 利用单调性求参数范围（例题6拆解）

例题6 完整讲解

题目：已知函数\(f(x)=x+\frac{a}{x}\)在区间\([1,2]\)上是严格增函数，求实数\(a\)的取值范围。

解题思路推导：
题目给出了函数在区间上的单调性，我们可以用单调性的等价判定公式，转化为恒成立问题，进而求参数的范围。

解题过程：

1. 任取\(x_1,x_2\in[1,2]\)，且\(x_1\neq x_2\)，因为\(f(x)\)在\([1,2]\)上是严格增函数，根据等价判定公式：

   \[\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0 \]

   恒成立。

2. 代入解析式计算：

   \[\begin{align*} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}&=\frac{\left(x_1+\frac{a}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{a}{x_2}\right)}{x_1-x_2} \\ &=\frac{(x_1-x_2) + a\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)}{x_1-x_2} \\ &=\frac{(x_1-x_2) - a\cdot\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}}{x_1-x_2} \\ &=1 - \frac{a}{x_1x_2} \end{align*} \]

3. 因此，\(1 - \frac{a}{x_1x_2}>0\)在\([1,2]\)上恒成立，整理得：

   \[a < x_1x_2 \]

   对任意\(x_1,x_2\in[1,2]\)（\(x_1\neq x_2\)）恒成立。

4. 恒成立问题的核心：\(a\)要小于\(x_1x_2\)在区间\([1,2]\)上的最小值。
   因为\(x_1,x_2\in[1,2]\)，所以\(x_1x_2\)的最小值为\(1\times1=1\)（当\(x_1,x_2\)无限接近1时取得），最大值为\(2\times2=4\)，即\(x_1x_2\in(1,4)\)。

5. 因此，\(a\leq1\)，即实数\(a\)的取值范围是\((-\infty,1]\)。

易错点提醒：这里为什么是\(a\leq1\)而不是\(a<1\)？因为当\(a=1\)时，\(1-\frac{1}{x_1x_2}\geq0\)，且仅当\(x_1=x_2=1\)时取等号，而我们的定义中\(x_1\neq x_2\)，因此\(a=1\)时仍然满足严格增函数的条件，所以要包含等号。

5. 抽象函数的单调性与奇偶性综合（例题8拆解）

抽象函数是指没有给出具体解析式，只给出函数满足的运算性质的函数，这类题目是单调性的难点，核心方法是赋值法和定义法结合。

例题8 完整讲解

题目：已知函数\(f(x)\)满足：对任意\(a,b\in\mathbb{R}\)，都有\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)，且\(x>0\)时\(f(x)>0\)。
(1) 判断函数\(f(x)\)的奇偶性，并说明理由；
(2) 证明：\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上是严格增函数；
(3) 解不等式：\(f(t^2+3)+f(4t)<0\)。

逐问讲解：

(1) 判断奇偶性

奇偶性的判断需要先求\(f(0)\)，再找\(f(-x)\)和\(f(x)\)的关系，用赋值法。

• 第一步：求\(f(0)\)
  令\(a=b=0\)，代入\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)，得\(f(0+0)=f(0)+f(0)\)，即\(f(0)=2f(0)\)，移项得\(f(0)=0\)。

• 第二步：找\(f(-x)\)和\(f(x)\)的关系
  对任意\(x\in\mathbb{R}\)，令\(a=x\)，\(b=-x\)，代入得\(f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\)，即\(f(0)=f(x)+f(-x)\)。
  因为\(f(0)=0\)，所以\(0=f(x)+f(-x)\)，即\(f(-x)=-f(x)\)，符合奇函数的定义。

• 结论：\(f(x)\)是奇函数。

(2) 证明\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上是严格增函数

用定义法证明，核心是构造\(f(x_2)-f(x_1)\)，利用已知条件判断符号。

• 第一步：取值
  任取\(x_1,x_2\in\mathbb{R}\)，且\(x_1<x_2\)。

• 第二步：构造差式
  我们需要把\(f(x_2)\)用\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)变形，\(x_2\)可以写成\((x_2-x_1)+x_1\)，因此：

  \[f(x_2)=f\left((x_2-x_1)+x_1\right)=f(x_2-x_1)+f(x_1) \]

  移项得：\(f(x_2)-f(x_1)=f(x_2-x_1)\)。

• 第三步：定号
  因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_2-x_1>0\)，题目给出“\(x>0\)时\(f(x)>0\)”，因此\(f(x_2-x_1)>0\)。
  即\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，也就是\(f(x_1)<f(x_2)\)。

• 第四步：下结论
  对任意\(x_1<x_2\in\mathbb{R}\)，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，因此\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上是严格增函数。

(3) 解不等式\(f(t^2+3)+f(4t)<0\)

利用奇偶性和单调性，把抽象函数不等式转化为普通的代数不等式。

• 第一步：利用奇函数的性质变形
  因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-4t)=-f(4t)\)，原不等式\(f(t^2+3)+f(4t)<0\)可化为：

  \[f(t^2+3) < -f(4t) = f(-4t) \]

• 第二步：利用单调性转化为自变量的不等式
  因为\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上是严格增函数，根据增函数的性质，函数值小则自变量小，因此：

  \[t^2+3 < -4t \]

• 第三步：解一元二次不等式
  整理得\(t^2+4t+3<0\)，因式分解得\((t+1)(t+3)<0\)，解得\(-3<t<-1\)。

• 结论：不等式的解集为\((-3,-1)\)。

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五、核心知识点归纳总结表

对比项目	严格增函数	严格减函数
核心定义	对区间\(I\)内任意\(x_1<x_2\)，恒有\(\boldsymbol{f(x_1)<f(x_2)}\)	对区间\(I\)内任意\(x_1<x_2\)，恒有\(\boldsymbol{f(x_1)>f(x_2)}\)
几何特征	函数图像在区间\(I\)上，从左到右呈上升趋势	函数图像在区间\(I\)上，从左到右呈下降趋势
性质本质	自变量与函数值的大小关系同向	自变量与函数值的大小关系反向
等价判定式	\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)（\(x_1\neq x_2\)）	\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0\)（\(x_1\neq x_2\)）
定义法证明步骤	1. 取值（任取\(x_1<x_2\in I\)）；2. 作差\(f(x_1)-f(x_2)\)；3. 变形；4. 定号（差式<0）；5. 下结论	1. 取值（任取\(x_1<x_2\in I\)）；2. 作差\(f(x_1)-f(x_2)\)；3. 变形；4. 定号（差式>0）；5. 下结论
四则运算规律	增+增=增；增-减=增；\(k>0\)时，\(k\cdot\)增=增	减+减=减；减-增=减；\(k>0\)时，\(k\cdot\)减=减
复合函数规律	内外层单调性相同，复合为增	内外层单调性相反，复合为减
与奇偶性结合	奇函数在对称区间上单调性一致；偶函数在对称区间上单调性相反	同左
核心易错点	1. 忽略“任意”，用特殊值判断单调性；2. 混淆整体与局部，脱离区间谈单调性；3. 解不等式时忽略定义域	同左
典型示例	\(f(x)=x\)、\(f(x)=x^3\)、\(f(x)=2^x\)	\(f(x)=-x\)、\(f(x)=-x^3\)、\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)

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六、学习单调性的核心提醒

1. 单调性的核心是“任意”二字，所有的证明和判断，都必须围绕“区间内的任意两个自变量”展开，绝对不能用特殊值代替；
2. 单调性是局部性质，提到单调性，必须明确对应的区间，脱离区间谈单调性是没有意义的；
3. 定义法是证明单调性的根本方法，必须熟练掌握5步标准步骤，尤其是变形和定号两个核心环节；
4. 单调性的核心应用，是把函数值的不等关系转化为自变量的不等关系，这是解抽象函数不等式、比较大小的核心逻辑。

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函数的最值 知识点精讲与解题方法拆解

同学们，前面我们学习了刻画函数对称特征的奇偶性、刻画函数增减趋势的单调性，今天我们来学习函数的第三个核心性质——最值。最值是函数在定义域（或指定区间）上的整体特征，是解决实际优化问题、求函数值域的核心工具，而我们之前学的单调性，正是求函数最值的最核心手段。

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一、函数最值的严格定义与核心要点

1. 最大值与最小值的定义

设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)，\(x_0\in D\)：

• 最小值：如果对于任意\(x\in D\)，都有\(f(x)\geq f(x_0)\)，那么称\(f(x_0)\)为函数\(y=f(x)\)的最小值，记作\(y_{\text{min}}=f(x_0)\)。
• 最大值：如果对于任意\(x\in D\)，都有\(f(x)\leq f(x_0)\)，那么称\(f(x_0)\)为函数\(y=f(x)\)的最大值，记作\(y_{\text{max}}=f(x_0)\)。

最大值和最小值统称为函数的最值。

2. 定义的核心要点（高频易错点）

1. 最值必须是函数能取到的值：最值点\(x_0\)必须在定义域内，对应的\(f(x_0)\)必须是函数实际能取到的函数值，而非极限值。
   • 例：区间\((-2,2]\)中，\(x=-2\)不在定义域内，即使\(f(-2)=0\)是函数的下界，也不能称为最小值。
2. “任意”是核心要求：不等关系必须对定义域内的所有自变量成立，不能用特殊值代替整体。
3. 最值是整体性质：和单调性的“局部性质”不同，最值是针对整个定义域（或指定的完整区间）而言的。
4. 最值与值域的关系：
   • 函数的值域是所有函数值的集合，最大值是值域中的最大元素，最小值是值域中的最小元素；
   • 求出最值，不一定能确定完整值域；但求出值域，一定能判断函数是否存在最值。

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二、核心考点1：二次函数的最值问题

二次函数的最值是高中最值问题的基础，核心逻辑是根据对称轴与给定区间的位置关系，结合单调性确定最值点。

二次函数顶点式：\(f(x)=a\left(x-h\right)^2+k\)，对称轴为\(x=h\)，顶点为\((h,k)\)。

• \(a>0\)（开口向上）：顶点是最小值点，离对称轴越远的端点，函数值越大；
• \(a<0\)（开口向下）：顶点是最大值点，离对称轴越远的端点，函数值越小。

类型1：定轴定区间（对称轴、区间均固定）

对应例题9：求\(f(x)=-x^2+2x+8\)在区间\((-2,2]\)上的最值与值域。

解题拆解

1. 配方定特征：\(f(x)=-(x-1)^2+9\)，开口向下（\(a=-1<0\)），对称轴\(x=1\)，顶点\((1,9)\)。
2. 分析单调性：对称轴\(x=1\)在区间\((-2,2]\)内，因此函数在\((-2,1]\)上严格递增，在\([1,2]\)上严格递减。
3. 求最值：
   • 最大值：开口向下，顶点是最大值点，且\(x=1\)在区间内，因此\(y_{\text{max}}=f(1)=9\)；
   • 最小值：左端点\(x=-2\)为开区间，取不到，\(f(-2)=0\)；右端点\(f(2)=8\)。函数值永远大于0但无法取到0，因此无最小值。
4. 确定值域：\((0,9]\)。

类型2：动轴定区间（对称轴含参数、区间固定）

对应例题10：求\(f(x)=x^2-ax+3\)在区间\([-1,1]\)上的最值。

解题拆解

1. 配方定特征：\(f(x)=\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+3-\frac{a^2}{4}\)，开口向上（\(a=1>0\)），对称轴\(x=\frac{a}{2}\)（随参数\(a\)移动），顶点为最小值点。
2. 分类讨论（对称轴与区间的位置关系）：
   | 分类 | 参数范围 | 单调性 | 最小值 | 最大值 |
   |------|----------|--------|--------|--------|
   | 对称轴在区间左侧 | \(\frac{a}{2}\leq-1\)，即\(a\leq-2\) | \([-1,1]\)上严格递增 | \(f_{\text{min}}=f(-1)=4+a\) | \(f_{\text{max}}=f(1)=4-a\) |
   | 对称轴在区间左半段 | \(-1<\frac{a}{2}<0\)，即\(-2<a<0\) | \([-1,\frac{a}{2}]\)递减，\([\frac{a}{2},1]\)递增 | \(f_{\text{min}}=f(\frac{a}{2})=3-\frac{a^2}{4}\) | \(f_{\text{max}}=f(1)=4-a\)（右端点离对称轴更远） |
   | 对称轴在区间右半段 | \(0\leq\frac{a}{2}<1\)，即\(0\leq a<2\) | \([-1,\frac{a}{2}]\)递减，\([\frac{a}{2},1]\)递增 | \(f_{\text{min}}=f(\frac{a}{2})=3-\frac{a^2}{4}\) | \(f_{\text{max}}=f(-1)=4+a\)（左端点离对称轴更远） |
   | 对称轴在区间右侧 | \(\frac{a}{2}\geq1\)，即\(a\geq2\) | \([-1,1]\)上严格递减 | \(f_{\text{min}}=f(1)=4-a\) | \(f_{\text{max}}=f(-1)=4+a\) |

类型3：定轴动区间（对称轴固定、区间含参数）

对应例题11：已知二次函数\(f(x)=ax^2-2ax+2+b\)在\([2,3]\)上的最大值为5，最小值为2，求实数\(a,b\)的值。

解题拆解

1. 配方定特征：\(f(x)=a(x-1)^2+2+b-a\)，对称轴固定为\(x=1\)，区间\([2,3]\)在对称轴右侧，函数在区间上必为单调函数，单调性由开口方向决定。
2. 分类讨论：
   • 当\(a>0\)（开口向上）：函数在\([2,3]\)上严格递增，最小值在左端点，最大值在右端点。
     列方程：\(\begin{cases}f(2)=2+b=2\\f(3)=3a+2+b=5\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}\)。
   • 当\(a<0\)（开口向下）：函数在\([2,3]\)上严格递减，最大值在左端点，最小值在右端点。
     列方程：\(\begin{cases}f(2)=2+b=5\\f(3)=3a+2+b=2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a=-1\\b=3\end{cases}\)。
3. 综上，\(a=1,b=0\)或\(a=-1,b=3\)。

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三、核心考点2：对勾函数的最值与值域

对勾函数基础

形如\(f(x)=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)\)的函数称为对勾函数，定义域为\(x\neq0\)，是奇函数。

• 极值点：\(x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}\)，在\(x>0\)时，最小值为\(2\sqrt{ab}\)（当且仅当\(x=\sqrt{\frac{b}{a}}\)时取到）；
• 单调性：在\((0,\sqrt{\frac{b}{a}}]\)上严格递减，在\([\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty)\)上严格递增。

例题12 完整拆解

求\(f(x)=2x+\frac{8}{x}\)在指定区间上的值域。
首先分析函数特征：\(a=2,b=8\)，极值点\(x=\sqrt{\frac{8}{2}}=2\)，最小值\(f(2)=8\)，在\((0,2]\)递减，\([2,+\infty)\)递增。

1. 区间\((0,1]\)：在递减区间内，函数严格递减。
   • 最小值：\(f(1)=10\)，\(x\to0^+\)时\(f(x)\to+\infty\)，值域为\([10,+\infty)\)。
2. 区间\([3,+\infty)\)：在递增区间内，函数严格递增。
   • 最小值：\(f(3)=\frac{26}{3}\)，\(x\to+\infty\)时\(f(x)\to+\infty\)，值域为\([\frac{26}{3},+\infty)\)。
3. 区间\([1,3]\)：包含极值点\(x=2\)，在\([1,2]\)递减，\([2,3]\)递增。
   • 最小值：\(f(2)=8\)；最大值：比较端点\(f(1)=10>f(3)=\frac{26}{3}\)，值域为\([8,10]\)。
4. 区间\([-3,-1]\cup(2,4]\)：
   • \([-3,-1]\)：奇函数对称区间，在\([-3,-2]\)递增，\([-2,-1]\)递减，值域为\([-10,-8]\)；
   • \((2,4]\)：严格递增，\(f(2)=8\)（取不到），\(f(4)=10\)，值域为\((8,10]\)；
   • 综上，值域为\([-10,-8]\cup(8,10]\)。

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四、求函数值域与最值的6种常用方法

求值域的核心是确定函数值的取值范围，本质是求函数的上下界与最值，以下是高中阶段最常用的方法：

1. 单调性法（最基础、最核心）

若能确定函数在区间上的单调性，可直接通过端点值确定最值与值域。

• 对应例题13(1)：\(y=x-\frac{1}{x}\)，\(x\in[\frac{1}{2},3]\)。
  分析：\(y=x\)和\(y=-\frac{1}{x}\)在区间上均为增函数，因此函数整体严格递增。
  最值：\(f_{\text{min}}=f(\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}\)，\(f_{\text{max}}=f(3)=\frac{8}{3}\)，值域为\([-\frac{3}{2},\frac{8}{3}]\)。

2. 换元法

通过换元将复杂函数转化为二次函数、对勾函数等熟悉的模型，必须注意换元后新变量的取值范围。

• 对应例题13(2)：\(y=2x+\sqrt{1-x}\)。
  解：令\(t=\sqrt{1-x}\geq0\)，则\(x=1-t^2\)，代入得\(y=-2t^2+t+2\)（开口向下的二次函数）。
  对称轴\(t=\frac{1}{4}\geq0\)，最大值为\(f(\frac{1}{4})=\frac{17}{8}\)，\(t\to+\infty\)时\(y\to-\infty\)，值域为\((-\infty,\frac{17}{8}]\)。

• 对应例题13(3)：\(y=\frac{x^2}{x-1}\)，\(x>1\)。
  解：令\(t=x-1>0\)，则\(x=t+1\)，代入得\(y=t+\frac{1}{t}+2\)（对勾函数）。
  最小值为\(2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}+2=4\)，值域为\([4,+\infty)\)。

3. 基本不等式法

针对形如\(y=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0,x>0)\)的函数，利用基本不等式\(ax+\frac{b}{x}\geq2\sqrt{ab}\)求最小值，需注意“一正二定三相等”。

4. 判别式法

针对形如\(y=\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\)的分式函数（定义域为\(\mathbb{R}\)），将函数转化为关于\(x\)的一元二次方程，利用方程有实根的条件\(\Delta\geq0\)求\(y\)的范围。

• 对应例题13(4)：\(y=\frac{x^2+2x+3}{x^2+1}\)。
  解：去分母整理得\((y-1)x^2-2x+(y-3)=0\)，方程对\(x\in\mathbb{R}\)有实根。
  • \(y=1\)时，方程有解\(x=-1\)，符合条件；
  • \(y\neq1\)时，\(\Delta=4-4(y-1)(y-3)\geq0\)，解得\(2-\sqrt{2}\leq y\leq2+\sqrt{2}\)且\(y\neq1\)。
    综上，值域为\([2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]\)。

5. 图像法

画出函数图像，直接观察函数值的取值范围，适合对勾函数、分段函数等图像特征明确的函数。

6. 导数法

通过求导确定函数的极值点与单调性，进而求最值，适用于所有可导函数，是通用方法。

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五、最值的综合应用（恒成立问题）

对应例题14，核心逻辑：恒成立问题转化为函数的最值问题

• 若\(p>f(x)\)对任意\(x\)恒成立，则\(p>f(x)_{\text{max}}\)；
• 若\(p<f(x)\)对任意\(x\)恒成立，则\(p<f(x)_{\text{min}}\)。

例题14最终结论：存在符合条件的正数\(p\)，取值范围是\((2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})\)。

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六、核心知识点归纳总结表

项目	核心内容
最值定义	最小值：对任意\(x\in D\)，\(f(x)\geq f(x_0)\)，\(y_{\text{min}}=f(x_0)\)； 最大值：对任意\(x\in D\)，\(f(x)\leq f(x_0)\)，\(y_{\text{max}}=f(x_0)\)
二次函数最值核心逻辑	看对称轴与区间的位置关系： 1. 对称轴在区间外：最值在区间端点取得； 2. 对称轴在区间内：一个最值在顶点，另一个在离对称轴更远的端点
求最值的核心方法	单调性法（基础）、换元法、基本不等式法、判别式法、图像法、导数法
最值与值域的关系	1. 最值是值域的上下确界，且必须能被函数取到； 2. 有最值可确定值域上下界，不一定能确定完整值域； 3. 有值域一定能判断函数是否存在最值
高频易错点	1. 忽略开区间端点取不到，误将极限值当作最值； 2. 换元时忽略新变量的取值范围； 3. 用基本不等式时忽略“等号成立的条件”； 4. 二次函数分类讨论时遗漏对称轴在区间中点两侧的情况
典型函数模型	1. 二次函数：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间； 2. 对勾函数：\(f(x)=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)\)

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学习最值的核心提醒

1. 求最值的第一步永远是确定定义域，所有分析都必须在定义域内进行；
2. 单调性是求最值的根本工具，任何方法最终都要回归到“函数的增减趋势”；
3. 分类讨论时要做到“不重不漏”，尤其是含参数的问题，要明确分类的依据；
4. 求出最值后，一定要验证等号是否能取到，这是判断最值是否存在的关键。

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第12题 求下列函数的值域

(1) \(y = x + 4\sqrt{1-x}\)

考点：换元法+二次函数值域
解：
定义域：\(1-x\geq0\)，即\(x\in(-\infty,1]\)。
令\(t=\sqrt{1-x}\)（\(t\geq0\)），则\(x=1-t^2\)，代入得：

\[y = 1-t^2 + 4t = -t^2 +4t +1 \]

这是开口向下的二次函数，对称轴为\(t=2\)，在\(t\geq0\)范围内：

• 最大值：\(t=2\)时，\(y_{\text{max}}=5\)；
• \(t\to+\infty\)时，\(y\to-\infty\)。

值域：\(\boldsymbol{(-\infty,5]}\)

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(2) \(y = \frac{\sqrt{1-x}}{x-2}\)

考点：换元法+基本不等式
解：
定义域：\(1-x\geq0\)且\(x\neq2\)，即\(x\in(-\infty,1]\)。
令\(t=\sqrt{1-x}\)（\(t\geq0\)），则\(x=1-t^2\)，代入得：

\[y = \frac{t}{-t^2-1} = -\frac{t}{t^2+1} \]

• \(t=0\)时，\(y=0\)；
• \(t>0\)时，由基本不等式\(t+\frac{1}{t}\geq2\)，得\(0<\frac{t}{t^2+1}=\frac{1}{t+\frac{1}{t}}\leq\frac{1}{2}\)，即\(-\frac{1}{2}\leq y<0\)。

值域：\(\boldsymbol{\left[-\frac{1}{2},0\right]}\)

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(3) \(y = \frac{x+1}{x^2 +8}\)

考点：判别式法
解：
定义域为\(\mathbb{R}\)，将函数变形为关于\(x\)的一元二次方程：

\[yx^2 -x + (8y-1)=0 \]

• \(y=0\)时，方程有解\(x=-1\)，符合条件；
• \(y\neq0\)时，方程有实根需满足\(\Delta\geq0\)：
  \[\Delta=1-4y(8y-1)\geq0 \implies 32y^2-4y-1\leq0 \]
  解得\(-\frac{1}{8}\leq y\leq\frac{1}{4}\)且\(y\neq0\)。

值域：\(\boldsymbol{\left[-\frac{1}{8},\frac{1}{4}\right]}\)

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第13题

设\(\alpha、\beta\)是方程\(4x^2-4mx+m+2=0\)的两个实根，求\(\alpha^2+\beta^2\)的最小值及对应\(m\)的值。

考点：韦达定理+二次函数最值+判别式
解：

1. 先保证方程有实根，判别式\(\Delta\geq0\)：
   \[\Delta=16m^2-16(m+2)\geq0 \implies m\leq-1 \text{ 或 } m\geq2 \]

2. 由韦达定理：\(\alpha+\beta=m\)，\(\alpha\beta=\frac{m+2}{4}\)，因此：
   \[\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=m^2-\frac{m+2}{2}=m^2-\frac{m}{2}-1 \]

3. 这是开口向上的二次函数，对称轴为\(m=\frac{1}{4}\)，结合\(m\)的范围：
   • \(m=-1\)时，\(\alpha^2+\beta^2=\frac{1}{2}\)；
   • \(m=2\)时，\(\alpha^2+\beta^2=2\)。

结论：当\(\boldsymbol{m=-1}\)时，\(\alpha^2+\beta^2\)取得最小值\(\boldsymbol{\frac{1}{2}}\)。

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第14题

求函数\(f(x)=x + \frac{m}{x+3}\)，\(x\in[0,+\infty)\)的最小值。

考点：对勾函数单调性+分类讨论
解：
变形函数：\(f(x)=(x+3)+\frac{m}{x+3}-3\)，令\(t=x+3\)（\(t\geq3\)），则\(g(t)=t+\frac{m}{t}-3\)。

1. 当\(m\leq9\)时：
   对勾函数的极值点\(\sqrt{m}\leq3\)，\(g(t)\)在\([3,+\infty)\)上严格递增，最小值为：

   \[g_{\text{min}}=g(3)=\frac{m}{3} \]

   即\(x=0\)时，\(f(x)\)取得最小值\(\frac{m}{3}\)。

2. 当\(m>9\)时：
   极值点\(\sqrt{m}>3\)，\(g(t)\)在\([3,\sqrt{m}]\)递减，\([\sqrt{m},+\infty)\)递增，最小值为：

   \[g_{\text{min}}=g(\sqrt{m})=2\sqrt{m}-3 \]

   即\(x=\sqrt{m}-3\)时，\(f(x)\)取得最小值\(2\sqrt{m}-3\)。

最终结论：

• \(m\leq9\)时，最小值为\(\boldsymbol{\frac{m}{3}}\)；
• \(m>9\)时，最小值为\(\boldsymbol{2\sqrt{m}-3}\)。

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第15题

注：题干(1)原式存在OCR模糊，结合上下文修正为\(f(x)=\frac{4^x - a\cdot2^x -a}{2^x +1}\)（与后续\(a\geq1\)匹配）。

(1) 求\(f(x)=\frac{4^x - a\cdot2^x -a}{2^x +1}\)，\(x\in[0,1]\)的值域

解：
令\(t=2^x\)（\(t\in[1,2]\)），代入化简得：

\[f(x)=(t+1)+\frac{2}{t+1}-(a+2) \]

令\(u=t+1\)（\(u\in[2,3]\)），\(h(u)=u+\frac{2}{u}-a-2\)在\([2,3]\)上严格递增，因此：

• 最小值\(h(2)=1-a\)，最大值\(h(3)=\frac{5}{3}-a\)。

值域：\(\boldsymbol{\left[1-a,\frac{5}{3}-a\right]}\)

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(2) 当\(a\geq1\)时，判断\(g(x)=x^3-3a^2x-2a\)，\(x\in[0,1]\)的单调性

解：
求导得\(g’(x)=3x^2-3a^2=3(x^2-a^2)\)。
由\(a\geq1\)，\(x\in[0,1]\)，得\(x^2\leq1\leq a^2\)，即\(g’(x)\leq0\)，因此\(g(x)\)在\([0,1]\)上严格单调递减。

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(3) 求满足条件的\(a\)的取值范围

解：
题意等价于：\(f(x)\)的值域\(\subseteq g(x)\)的值域。
由(2)得\(g(x)\)的值域为\(\left[1-3a^2-2a,-2a\right]\)，结合\(f(x)\)的值域列不等式：

\[\begin{cases} 1-a\geq1-3a^2-2a \\ \frac{5}{3}-a\leq-2a \\ a\geq1 \end{cases} \]

第二个不等式解得\(a\leq-\frac{5}{3}\)，与\(a\geq1\)无交集。

结论：不存在满足条件的实数\(a\)。

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第16题

设\(f(x)=a\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\)，最大值为\(g(a)\)。

(1) 设\(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\)，求\(t\)的范围并将\(f(x)\)表示为\(m(t)\)

解：
定义域为\(x\in[-1,1]\)，对\(t\)平方得：

\[t^2=2+2\sqrt{1-x^2} \]

由\(\sqrt{1-x^2}\in[0,1]\)，得\(t^2\in[2,4]\)，结合\(t\geq0\)，得\(t\in[\sqrt{2},2]\)。
由\(\sqrt{1-x^2}=\frac{t^2-2}{2}\)，代入得：

\[m(t)=\boldsymbol{\frac{a}{2}t^2 + t -a}, \quad t\in[\sqrt{2},2] \]

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(2) 求\(g(a)\)的表达式

解：
\(g(a)\)是\(m(t)\)在\([\sqrt{2},2]\)上的最大值，为开口由\(a\)决定的二次函数，对称轴\(t=-\frac{1}{a}\)，分类讨论：

1. 当\(a\geq-\frac{1}{2}\)时：
   对称轴在区间左侧或开口向上，\(m(t)\)在\([\sqrt{2},2]\)递增，\(g(a)=m(2)=a+2\)。

2. 当\(-\frac{1}{2}<a<-\frac{\sqrt{2}}{2}\)时：
   对称轴在区间内，开口向下，最大值在对称轴处取得：

   \[g(a)=m\left(-\frac{1}{a}\right)=-a-\frac{1}{2a} \]

3. 当\(a\leq-\frac{\sqrt{2}}{2}\)时：
   对称轴在区间右侧，\(m(t)\)在\([\sqrt{2},2]\)递减，\(g(a)=m(\sqrt{2})=\sqrt{2}\)。

最终表达式：

\[\boldsymbol{g(a)= \begin{cases} a+2, & a\geq-\frac{1}{2} \\ -a-\frac{1}{2a}, & -\frac{1}{2}<a<-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2}, & a\leq-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} } \]