9.6线性多步法的相容性与收敛性

线性多步法的相容性与收敛性 详细讲解与推导证明

作为常微分方程数值解法的核心内容，线性k步法的相容性、收敛性是判断数值方法是否有效的核心准则，以下将从基础定义出发，完成严格推导证明，最终归纳核心知识点。

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一、前置基础：线性k步法与初值问题

我们研究的核心对象是一阶常微分方程初值问题（IVP）：

\[\begin{cases} y'(x) = f(x,y(x)), & x\in [a,b] \\ y(a) = y_0 \end{cases} \tag{9.1/9.2} \]

用于求解该问题的线性k步法的通用格式为：

\[y_{n+k} = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i y_{n+i} + h \sum_{i=0}^k \beta_i f_{n+i}, \quad n=0,1,2,\dots \tag{9.34} \]

符号说明：

• \(h\)为等距步长，离散节点\(x_n = x_0 + nh\)，\(x_0=a\)；
• \(f_{n+i} = f(x_{n+i}, y_{n+i})\)，即精确解的导数\(y'(x_{n+i})\)；
• \(\alpha_i, \beta_i\)为与\(n,h\)无关的常数，因此称为线性多步法；格式需要\(k\)个初始值才能启动递推，因此称为k步法。

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二、核心概念1：相容性（Consistency）

相容性的本质是：当步长\(h\to0\)时，离散的差分格式能够还原为原连续的微分方程，是数值方法对原方程的“局部逼近能力”的刻画。

2.1 局部截断误差（LTE）：相容性的核心载体

要定义相容性，首先需要明确局部截断误差（Local Truncation Error），这是衡量单步逼近精度的核心指标。

严格定义

设\(y(x)\)是初值问题的精确解，线性k步法的局部截断误差为：

\[T_{n+k} = y(x_{n+k}) - \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i y(x_{n+i}) - h \sum_{i=0}^k \beta_i y'(x_{n+i}) \tag{9.35} \]

定义解读

“局部”的含义：假设前\(k\)个节点的数值解\(y_{n},y_{n+1},\dots,y_{n+k-1}\)均等于精确解\(y(x_{n}),y(x_{n+1}),\dots,y(x_{n+k-1})\)，此时用多步法计算\(y_{n+k}\)，与精确解\(y(x_{n+k})\)的差值，就是仅由单步差分格式产生的误差，不包含前序步骤的误差积累。

2.2 相容性的定义

定义：若局部截断误差满足\(T_{n+k} = O(h^{p+1})\)，且\(p\geq1\)，则称k步法与微分方程(9.1)相容。
其等价条件为：

\[\lim_{h\to0} \frac{1}{h}T_{n+k} = 0 \]

定义解读

• 若\(p\geq1\)，则\(T_{n+k}=O(h^2)\)，此时\(\frac{1}{h}T_{n+k}=O(h)\)，当\(h\to0\)时极限为0，差分格式的误差趋于0，能够逼近原微分方程；
• 相容性等价于数值方法的阶数至少为1阶，这是数值方法有效的最低要求。

2.3 两个特征多项式：相容性的代数工具

为了将差分格式的系数转化为可分析的代数性质，引入两个核心多项式：

1. 第一特征多项式（齐次特征多项式）：

\[\rho(\xi) = \xi^k - \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i \xi^i \]

2. 第二特征多项式（增量多项式）：

\[\sigma(\xi) = \sum_{i=0}^k \beta_i \xi^i \]

多项式的意义

线性k步法的所有核心性质（相容性、收敛性、稳定性），完全由这两个多项式决定，实现了“差分格式→代数多项式”的转化，可用代数方法分析数值方法的性质。

2.4 定理9.5 相容性充要条件 详细证明

定理9.5：线性k步法(9.34)与微分方程(9.1)相容的充分必要条件是

\[\rho(1)=0, \quad \rho'(1)=\sigma(1) \]

证明过程

我们通过对局部截断误差做泰勒展开，推导相容性的核心条件。

步骤1：精确解的泰勒展开

将\(y(x_{n+i})=y(x_n+ih)\)和\(y'(x_{n+i})=y'(x_n+ih)\)在\(x=x_n\)处做无穷阶泰勒展开：

\[y(x_n + ih) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(ih)^m}{m!} y^{(m)}(x_n) \]

\[y'(x_n + ih) = \sum_{m=1}^\infty \frac{(ih)^{m-1}}{(m-1)!} y^{(m)}(x_n) \]

步骤2：代入局部截断误差的定义

将泰勒展开代入\(T_{n+k}\)的定义式，交换求和顺序：

\[\begin{align*} T_{n+k} &= \sum_{m=0}^\infty \frac{h^m}{m!} \left[ k^m - \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i i^m \right] y^{(m)}(x_n) - h \sum_{m=1}^\infty \frac{h^{m-1}}{(m-1)!} \left[ \sum_{i=0}^k \beta_i i^{m-1} \right] y^{(m)}(x_n) \\ &= \sum_{m=0}^\infty c_m h^m y^{(m)}(x_n) \end{align*} \]

其中系数\(c_m\)的表达式为：

\[\begin{cases} c_0 = 1 - \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i \\ c_m = \frac{1}{m!} \left( k^m - \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i i^m - m \sum_{i=0}^k \beta_i i^{m-1} \right), & m\geq1 \end{cases} \]

步骤3：相容性条件的推导

相容性要求\(\lim_{h\to0}\frac{1}{h}T_{n+k}=0\)，将\(T_{n+k}\)除以\(h\)得：

\[\frac{1}{h}T_{n+k} = \frac{c_0}{h} y(x_n) + c_1 y'(x_n) + c_2 h y''(x_n) + \dots \]

• 若要\(h\to0\)时极限存在且为0，必须消除\(\frac{c_0}{h}\)的奇性，因此必须有\(c_0=0\)；
• 当\(c_0=0\)后，极限为\(c_1 y'(x_n)\)，要对任意初值问题（任意\(y'(x_n)\)）都成立，必须有\(c_1=0\)。

步骤4：与特征多项式的对应

• 计算\(\rho(1)\)：\(\rho(1) = 1^k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \cdot 1^i = 1 - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i = c_0\)，因此\(c_0=0 \iff \rho(1)=0\)；
• 计算\(\rho'(1)\)：\(\rho'(\xi)=k\xi^{k-1} - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \cdot i \xi^{i-1}\)，因此\(\rho'(1)=k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i i\)；
• 计算\(\sigma(1)\)：\(\sigma(1)=\sum_{i=0}^k \beta_i \cdot 1^i = \sum_{i=0}^k \beta_i\)；
• 因此\(c_1 = k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i i - \sum_{i=0}^k \beta_i = \rho'(1) - \sigma(1)\)，即\(c_1=0 \iff \rho'(1)=\sigma(1)\)。

必要性与充分性闭环

• 必要性：若方法相容，则\(c_0=0,c_1=0\)，故\(\rho(1)=0,\rho'(1)=\sigma(1)\)；
• 充分性：若\(\rho(1)=0,\rho'(1)=\sigma(1)\)，则\(c_0=0,c_1=0\)，此时\(T_{n+k}=O(h^2)\)，\(\frac{1}{h}T_{n+k}=O(h)\)，满足\(\lim_{h\to0}\frac{1}{h}T_{n+k}=0\)，方法相容。

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三、核心概念2：收敛性（Convergence）

收敛性的本质是：当步长\(h\to0\)时，数值解在整个求解区间上全局逼近精确解，是衡量数值方法“全局有效性”的最终准则。

3.1 收敛性的前置背景

线性k步法需要\(k\)个初始值才能启动递推，但原微分方程仅给出1个初值\(y(x_0)=y_0\)，因此完整的多步法格式为：

\[\begin{cases} y_{n+k} = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i y_{n+i} + h \sum_{i=0}^k \beta_i f_{n+i}, & n=0,1,2,\dots \\ y_j = \eta_j(h), & j=0,1,\dots,k-1 \end{cases} \tag{9.46} \]

其中\(y_0=\eta_0(h)=y_0\)由原方程给出，剩余\(k-1\)个初值\(\eta_1(h),\dots,\eta_{k-1}(h)\)由单步法（如欧拉法、龙格-库塔法）计算，且要求初值满足\(\lim_{h\to0}\eta_j(h)=y(x_j)\)（初值收敛到精确值）。

3.2 收敛性的严格定义（定义9.9）

设初值问题(9.1)(9.2)有精确解\(y(x)\)，对固定的节点\(x=x_n = x_0 + nh \in [a,b]\)（\(x_n\)固定，\(h\to0\)时\(n\to\infty\)，保证\(nh=x_n-x_0\)为定值），若数值解满足：

\[\lim_{\substack{h\to0 \\ x_n=x}} y_n = y(x) \]

则称线性k步法(9.46)是收敛的。

定义解读

• 收敛性是全局性质：考虑从\(x_0\)到\(x_n\)所有步骤的误差积累，而非单步的局部误差；
• 固定\(x_n\)的意义：我们关注的是“求解区间上某一固定点的数值解，是否随步长缩小趋于精确解”，而非固定n让h→0。

3.3 定理9.6 收敛性与相容性的关系 详细证明

定理9.6：设线性多步法(9.46)是收敛的，则它一定是相容的。
即：收敛性必然蕴含相容性，相容性是收敛性的必要条件。

证明过程

我们通过构造两个典型的测试初值问题，利用收敛性的定义，推导得到相容性的充要条件。

步骤1：证明\(\rho(1)=0\)（即\(c_0=0\)）

构造测试初值问题：

\[\begin{cases} y'(x) = 0, & x\in [a,b] \\ y(a) = 0 \end{cases} \]

该问题的精确解为\(y(x)\equiv0\)。

对于该问题，\(f(x,y)=0\)，多步法的递推式简化为线性齐次递推关系：

\[y_{n+k} = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i y_{n+i} \]

由于方法收敛，对固定的\(x=x_n\)，当\(h\to0\)时，\(y_n \to y(x)=0\)。

取初值\(\eta_j(h) = h\)（满足\(\lim_{h\to0}\eta_j(h)=0=y(x_j)\)，符合收敛性的初值要求），则递推解为\(y_n = h \cdot C_n\)，其中\(C_n\)为与h无关的常数。

对固定的\(x=x_0+nh=T\)（定值），\(n=T/h\)，收敛性要求：

\[\lim_{h\to0} y_n = \lim_{h\to0} h \cdot C_{T/h} = 0 \]

再构造第二个测试问题：

\[\begin{cases} y'(x) = 1, & x\in [a,b] \\ y(a) = 0 \end{cases} \]

精确解为\(y(x)=x-x_0\)，代入局部截断误差的定义得：

\[T_{n+k} = (n+k)h - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i (n+i)h - h\sum_{i=0}^k \beta_i = h\left( n c_0 + c_1 \right) \]

其中\(c_0=1-\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i\)，\(c_1=k-\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i i - \sum_{i=0}^k \beta_i\)。

定义全局误差\(e_n = y(x_n) - y_n\)，则误差满足递推关系：

\[e_{n+k} = \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i e_{n+i} + T_{n+k} \]

由于方法收敛，对固定的\(x=x_n=T\)，\(\lim_{h\to0}e_n=0\)。将\(T_{n+k}\)代入得：

\[e_{n+k} - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i e_{n+i} = h(n c_0 + c_1) \]

固定\(T=x_0+nh\)，则\(n=(T-x_0)/h\)，代入右边得：

\[h\left( \frac{T-x_0}{h} c_0 + c_1 \right) = (T-x_0)c_0 + h c_1 \]

当\(h\to0\)时，左边极限为\(0 - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \cdot 0 = 0\)，右边极限为\((T-x_0)c_0\)。因此：

\[(T-x_0)c_0 = 0 \]

该式对任意\(T\in[a,b]\)成立，故\(c_0=0\)，即\(\rho(1)=0\)。

步骤2：证明\(\rho'(1)=\sigma(1)\)（即\(c_1=0\)）

已证\(c_0=0\)，即\(\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i=1\)，此时误差递推式简化为：

\[e_{n+k} - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i e_{n+i} = h c_1 \]

由于方法收敛，初值满足\(\eta_j(h)=y(x_j)+o(h)=jh+o(h)\)，即初值误差\(e_j=o(h)\)，因此全局误差\(e_n=o(h)\)，即\(y_n = nh + o(h)\)。

将\(y_n = nh + o(h)\)代入原多步法递推式：

\[(n+k)h + o(h) = \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \left[ (n+i)h + o(h) \right] + h\sum_{i=0}^k \beta_i \]

展开右边并利用\(\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i=1\)消去\(nh\)项，两边除以\(h\)得：

\[k + o(1) = \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i i + \sum_{i=0}^k \beta_i + o(1) \]

当\(h\to0\)时，\(o(1)\to0\)，因此：

\[k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i i - \sum_{i=0}^k \beta_i = 0 \]

即\(c_1=0\)，等价于\(\rho'(1)=\sigma(1)\)。

结论

收敛性必然推出\(\rho(1)=0\)且\(\rho'(1)=\sigma(1)\)，即收敛的方法一定是相容的。

补充说明

相容性只是收敛的必要非充分条件，相容的方法不一定收敛。线性多步法收敛的充要条件是著名的Dahlquist等价定理：线性多步法收敛，当且仅当方法相容且满足根条件（0-稳定）（根条件：\(\rho(\xi)\)的所有根的模≤1，且模为1的根均为单根）。

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四、核心知识点归纳总结表

核心概念	严格数学定义	核心判定条件	等价表述	直观含义	关键性质
线性k步法	\(y_{n+k} = \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i y_{n+i} + h\sum_{i=0}^k \beta_i f_{n+i}\)，\(\alpha_i,\beta_i\)为与n,h无关的常数	由系数\(\alpha_0,\dots,\alpha_{k-1},\beta_0,\dots,\beta_k\)唯一确定	由第一、第二特征多项式唯一确定	用k个历史节点的数值解，递推下一个节点的解，是单步法的推广	误差满足线性递推关系，可通过代数方法分析性质
第一特征多项式\(\rho(\xi)\)	\(\rho(\xi) = \xi^k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \xi^i\)	由\(\alpha_i\)唯一确定	齐次递推部分的特征方程为\(\rho(\xi)=0\)	刻画多步法的齐次递推性质	根的分布决定方法的0-稳定性，是收敛性的核心
第二特征多项式\(\sigma(\xi)\)	\(\sigma(\xi) = \sum_{i=0}^k \beta_i \xi^i\)	由\(\beta_i\)唯一确定	导数项的加权系数多项式	刻画多步法对导数项的加权方式	与\(\rho(\xi)\)共同决定方法的阶数、相容性
局部截断误差\(T_{n+k}\)	\(T_{n+k}=y(x_{n+k}) - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i y(x_{n+i}) - h\sum_{i=0}^k \beta_i y'(x_{n+i})\)	泰勒展开\(T_{n+k}=\sum_{m=0}^\infty c_m h^m y^{(m)}(x_n)\)	前k步为精确值时，单步计算的误差	衡量差分格式对微分方程的单步逼近精度	\(T_{n+k}=O(h^{p+1})\)时，方法为p阶
相容性	若\(T_{n+k}=O(h^{p+1})\)且\(p\geq1\)，称方法相容，等价于\(\lim_{h\to0}\frac{1}{h}T_{n+k}=0\)	充要条件：\(\rho(1)=0\)且\(\rho'(1)=\sigma(1)\)	方法的阶数\(p\geq1\)	步长趋于0时，差分格式还原为原微分方程	是收敛的必要条件，相容≠收敛
收敛性	对固定\(x=x_n=x_0+nh\)，若\(\lim_{\substack{h\to0 \\ x_n=x}} y_n = y(x)\)，称方法收敛	必要条件：相容；充要条件：相容+根条件（0-稳定）	全局误差\(e_n=y(x_n)-y_n\)随\(h\to0\)趋于0	步长趋于0时，数值解全局逼近精确解	收敛的方法一定相容，是数值方法有效的最终准则
定理9.6	收敛的线性k步法一定是相容的	收敛\(\implies \rho(1)=0\)且\(\rho'(1)=\sigma(1)\)	收敛\(\implies\)方法至少1阶	全局收敛的方法，必须先满足对原方程的局部逼近性	相容性是收敛的必要非充分条件

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例9.9 完整推导与核心知识点详解

本案例是常微分方程数值解法中，线性多步法“相容但不收敛”的经典反例，核心是验证“相容性是收敛的必要非充分条件”，并引出收敛的充要条件（零点条件+相容性），以下是完整推导与知识点解读。

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一、例9.9 完整分步推导

1. 基础信息对应

我们研究的线性二步法格式为：

\[\begin{cases} y_{n+2}=3y_{n+1}-2y_n + h(f_{n+1}-2f_n), \quad n=0,1,2,\dots \\ y_0=\eta_0(h),\ y_1=\eta_1(h) \end{cases} \tag{9.47} \]

求解的初值问题为：

\[\begin{cases} y'=2x \\ y(0)=0 \end{cases} \]

该初值问题的精确解为 \(y(x)=x^2\)（对 \(y'=2x\) 积分，代入初值 \(y(0)=0\) 得积分常数 \(C=0\)）。

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2. 第一步：验证方法的相容性

根据线性多步法相容性的充要条件（定理9.5），方法相容当且仅当：

\[\rho(1)=0,\quad \rho'(1)=\sigma(1) \]

其中 \(\rho(\xi)\) 为第一特征多项式，\(\sigma(\xi)\) 为第二特征多项式。

步骤1：写出两个特征多项式

线性k步法的特征多项式通用形式为：

\[\rho(\xi)=\xi^k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \xi^i,\quad \sigma(\xi)=\sum_{i=0}^k \beta_i \xi^i \]

本例为二步法（\(k=2\)），对比格式(9.47)，系数为：\(\alpha_0=-2,\ \alpha_1=3\)，\(\beta_0=-2,\ \beta_1=1,\ \beta_2=0\)。

代入得：

\[\rho(\xi)=\xi^2 - 3\xi + 2,\quad \sigma(\xi)=\xi - 2 \]

步骤2：验证相容性条件

1. 计算 \(\rho(1)\)：\(\rho(1)=1^2-3\times1+2=0\)，满足第一个条件；
2. 计算导数 \(\rho'(\xi)=2\xi-3\)，得 \(\rho'(1)=2\times1-3=-1\)；
3. 计算 \(\sigma(1)=1-2=-1\)，满足 \(\rho'(1)=\sigma(1)\)。

因此，该线性二步法满足相容性条件。

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3. 第二步：代入初值与右端项，得到完整差分方程

本例取初值 \(y_0=0,\ y_1=h\)，满足收敛性定义的初值要求：\(\lim_{h\to0}\eta_j(h)=y(x_j)\)（\(h\to0\) 时 \(y_1=h\to0=y(0)\)）。

将右端项 \(f(x,y)=2x\) 代入格式，其中 \(x_n=nh\)，因此：

\[f_n=2x_n=2nh,\quad f_{n+1}=2x_{n+1}=2(n+1)h \]

代入原格式的增量项：

\[h(f_{n+1}-2f_n)=h\left[2(n+1)h - 2\times2nh\right]=-2nh^2+2h^2 \]

最终得到完整的线性非齐次差分方程：

\[y_{n+2}-3y_{n+1}+2y_n=-2nh^2+2h^2,\quad y_0=0,\ y_1=h \tag{9.48} \]

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4. 第三步：求解差分方程

线性差分方程的通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解。

步骤1：求齐次通解

齐次方程为 \(y_{n+2}-3y_{n+1}+2y_n=0\)，特征方程为 \(\rho(\xi)=\xi^2-3\xi+2=0\)，解得特征根：

\[\xi_1=1,\quad \xi_2=2 \]

因此齐次通解为：

\[y_n^h = A\cdot1^n + B\cdot2^n = A + B\cdot2^n \]

其中 \(A,B\) 为待定常数。

步骤2：求非齐次特解

非齐次项为一次多项式 \(-2h^2\cdot n + 2h^2\)，且 \(\xi=1\) 是特征方程的单根，因此设特解形式为：

\[y_n^* = n\cdot(Cn+D) = Cn^2 + Dn \]

将特解代入差分方程，展开并匹配系数：

• 左边化简得：\(-2C\cdot n + (C-D)\)
• 右边为：\(-2h^2\cdot n + 2h^2\)

对应系数相等，解得：\(C=h^2,\ D=-h^2\)，因此特解为：

\[y_n^* = h^2 n(n-1) \]

步骤3：通解+初值确定常数

差分方程的通解为：

\[y_n = A + B\cdot2^n + h^2 n(n-1) \]

代入初值 \(y_0=0,\ y_1=h\)：

1. \(n=0\)：\(0=A+B\)
2. \(n=1\)：\(h=A+2B\)

解得：\(A=-h,\ B=h\)，因此差分方程的最终解为：

\[y_n = h(2^n -1) + n(n-1)h^2,\quad x=nh \]

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5. 第四步：验证收敛性

收敛性的定义为：固定求解点 \(x=x_n=nh\)（\(x\) 为定值，\(h\to0\) 时 \(n\to\infty\)），若 \(\lim_{h\to0}y_n=y(x)\)，则方法收敛。

将 \(n=x/h\) 代入解的表达式，化简：

\[\begin{align*} y_n &= h\left(2^{x/h}-1\right) + \frac{x}{h}\left(\frac{x}{h}-1\right)h^2 \\ &= h\cdot2^{x/h} - h + x(x-h) \end{align*} \]

当 \(h\to0^+\) 时，令 \(t=1/h\to+\infty\)，则 \(h\cdot2^{x/h}=\frac{2^{xt}}{t}\)，指数函数的增长速度远快于多项式，因此 \(\frac{2^{xt}}{t}\to+\infty\)。

最终极限为：

\[\lim_{h\to0}y_n = \lim_{h\to0}\left(h\cdot2^{x/h} - h + x^2 -xh\right)=+\infty \]

而精确解 \(y(x)=x^2\) 为有限值，因此数值解不收敛到精确解，该方法不收敛。

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二、核心概念与定理解读

1. 定义9.10 零点条件（根条件/零稳定条件）

严格定义

如果线性多步法的第一特征多项式 \(\rho(\xi)\) 的所有零点（特征根）都在单位圆内或单位圆上，且单位圆上的零点均为单零点，则称该线性多步法满足零点条件。

直观解读

• 单位圆：复平面上满足 \(|\xi|\leq1\) 的区域，单位圆上即 \(|\xi|=1\)；
• 零点条件的本质：保证差分方程的解不会随步数 \(n\) 指数发散，即方法是零稳定的（初值的微小扰动不会被无限放大）。

本例中 \(\rho(\xi)\) 的根为 \(\xi_1=1\)、\(\xi_2=2\)，其中 \(\xi_2=2\) 的模为 \(2>1\)，超出单位圆范围，因此不满足零点条件，这是方法相容但不收敛的核心原因。

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2. 定理9.7 线性多步法收敛的充要条件（Dahlquist等价定理核心）

定理内容

若线性多步法是相容的，则该方法收敛的充分必要条件是：线性多步法满足零点条件。

核心意义

1. 补充了收敛性的完整条件：收敛 ⇔ 相容 + 零点条件；
2. 解释了本例的矛盾：方法仅满足相容性，不满足零点条件，因此不收敛；
3. 明确了数值方法有效的两大核心：
   • 相容性：保证差分格式局部逼近原微分方程（单步误差是高阶小量）；
   • 零点条件：保证全局误差不会随步数无限放大（稳定性）。

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三、核心知识点总结表

核心内容	关键结论	本例对应情况
线性二步法格式	\(y_{n+2}=3y_{n+1}-2y_n + h(f_{n+1}-2f_n)\)	系数 \(\alpha_0=-2,\alpha_1=3\)，\(\beta_0=-2,\beta_1=1\)
特征多项式	\(\rho(\xi)=\xi^2-3\xi+2\)，\(\sigma(\xi)=\xi-2\)	特征根 \(\xi_1=1,\xi_2=2\)
相容性	充要条件 \(\rho(1)=0,\rho'(1)=\sigma(1)\)	满足，\(\rho(1)=0,\rho'(1)=\sigma(1)=-1\)
零点条件	所有特征根满足 $	\xi
收敛性	充要条件：相容 + 零点条件	不收敛，仅满足相容性，不满足零点条件
核心启示	相容性是收敛的必要非充分条件，零稳定（零点条件）是收敛的另一核心要求	特征根超出单位圆导致解指数发散，数值解不收敛

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线性多步法的稳定性与绝对稳定性 详细讲解与推导

本节是常微分方程数值解法的核心内容，解决的核心问题是：数值计算中的扰动（舍入误差、初值误差等）是否会被无限放大，导致数值解完全失真。我们将从零稳定性（简称稳定性）和绝对稳定性两个层级，完成定义解读、定理推导与核心特性分析，并关联之前的相容性、收敛性知识点，形成完整的理论体系。

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一、零稳定性（稳定性）：h→0时的理论稳定性

1. 研究背景与扰动模型

数值计算中，我们无法得到完全精确的初始值，计算过程中也会存在舍入误差、右端项的计算误差，这些统称为扰动。稳定性的核心，就是研究这些扰动对数值解的影响是否可控。

我们的研究对象是线性k步法的完整格式：

\[\begin{cases} y_{n+k} = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i y_{n+i} + h \sum_{i=0}^k \beta_i f(x_{n+i}, y_{n+i}), \quad n=0,1,\dots,N-1 \\ y_j = \eta_j(h), \quad j=0,1,\dots,k-1 \end{cases} \tag{9.46} \]

其中总步数 \(N=\frac{b-a}{h}\)，\([a,b]\) 是求解区间。

设扰动序列为 \(\{\delta_n\}_{n=0}^N\)，扰动后的数值解为 \(\{z_n\}_{n=0}^N\)，则扰动后的方程为：

\[\begin{cases} z_{n+k} = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i z_{n+i} + h\left( \sum_{i=0}^k \beta_i f(x_{n+i}, z_{n+i}) + \delta_{n+k} \right) \\ z_j = \eta_j(h) + \delta_j, \quad j=0,1,\dots,k-1 \end{cases} \tag{9.49} \]

符号说明：

• \(\delta_j\)（\(j=0,\dots,k-1\)）：初始值的扰动；
• \(\delta_{n+k}\)（\(n\geq0\)）：差分方程右端项的计算扰动（如舍入误差）。

2. 零稳定性的严格定义（定义9.11）

定义原文解读

对初值问题，若存在常数 \(C\) 和临界步长 \(h_0\)，使得对所有 \(h\in(0,h_0)\)，当所有扰动满足 \(|\delta_n|\leq\varepsilon\)（\(0\leq n\leq N\)）时，扰动带来的解误差满足：

\[|z_n - y_n| \leq C\varepsilon \]

则称该线性多步法是稳定的，也称为零稳定的。

核心含义

1. 误差可控性：初始和计算过程的小扰动，只会带来数值解的有界误差，不会被无限放大；
2. “零稳定”的由来：该稳定性是针对 \(h\to0\) 的场景定义的，对应收敛性分析中“步长趋于0，固定求解点”的极限过程，是数值方法收敛的前提；
3. 常数 \(C\) 与 \(h,n\) 无关，仅由方法本身决定，保证了对所有步数和步长的一致性。

3. 零稳定性的充要条件（定理9.8）

定理内容

线性多步法是稳定（零稳定）的充分必要条件是：该方法满足零点条件（根条件）。

定理推导与解读

1. 零点条件回顾：线性多步法的第一特征多项式 \(\rho(\xi)=\xi^k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \xi^i\) 的所有零点（特征根），都满足 \(|\xi|\leq1\)；且模等于1的零点，必须是单零点（无重根）。
2. 推导逻辑：
   当 \(h\to0\) 时，差分方程的解的特性完全由齐次部分决定，也就是由 \(\rho(\xi)=0\) 的根决定：
   • 若根满足 \(|\xi|<1\)：对应的解分量会随 \(n\) 增大指数衰减，扰动不会放大；
   • 若根满足 \(|\xi|=1\) 且为单根：对应的解分量是有界的（常数或振荡有界），扰动不会放大；
   • 若根满足 \(|\xi|>1\)：对应的解分量会随 \(n\) 增大指数发散，扰动被无限放大，方法不稳定；
   • 若单位圆上的根是重根：对应的解分量会随 \(n\) 多项式增长，扰动被放大，方法不稳定。
3. 与收敛性的关联（Dahlquist等价定理）
   结合之前的收敛性定理，我们可以得到数值方法收敛的完整充要条件：
   \[\text{线性多步法收敛} \iff \text{方法相容} + \text{方法零稳定（满足零点条件）} \]
   这就是常微分方程数值解法中最核心的等价定理，完美串联了相容性、稳定性、收敛性三大核心概念。
   例如之前的例9.9，方法满足相容性，但不满足零点条件（根为2，模>1），因此是不稳定的，也不收敛，完全符合该定理。

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二、绝对稳定性：有限步长下的实际计算稳定性

1. 研究背景

零稳定性是 \(h\to0\) 时的理论稳定性，但在实际工程计算中，步长 \(h\) 不可能无限缩小（否则计算量会爆炸），我们需要研究有限步长下，数值方法的稳定性与步长 \(h\)、方程特性的关系，这就是绝对稳定性的研究目标。

2. 测试模型方程与稳定性多项式推导

标准测试模型方程

数值稳定性分析的通用测试方程为线性常系数模型方程：

\[y' = \lambda y \tag{9.32} \]

其中 \(\lambda\) 为复数（可以是实数、纯虚数，对应不同的方程特性）。选择该方程的原因是：任何非线性微分方程，在局部都可以通过线性化转化为该形式，因此该方程的稳定性表现可以推广到一般方程。

稳定性多项式的推导

将线性k步法应用到模型方程 \(y'=\lambda y\)，此时 \(f(x_{n+i},y_{n+i})=\lambda y_{n+i}\)，代入多步法格式：

\[y_{n+k} = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i y_{n+i} + h \sum_{i=0}^k \beta_i \cdot \lambda y_{n+i} \]

整理得：

\[y_{n+k} - \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_i y_{n+i} - h\lambda \sum_{i=0}^k \beta_i y_{n+i} = 0 \tag{9.50} \]

引入第一、第二特征多项式：

\[\rho(\xi)=\xi^k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \xi^i, \quad \sigma(\xi)=\sum_{i=0}^k \beta_i \xi^i \]

令无量纲参数 \(\mu = h\lambda\)（称为复步长参数），则差分方程可改写为特征多项式形式：

\[\rho(\xi) - \mu \sigma(\xi) = 0 \]

我们定义稳定性多项式：

\[\pi(\xi,\mu) = \rho(\xi) - \mu \sigma(\xi) \tag{9.51} \]

这是关于 \(\xi\) 的k次多项式，其零点 \(\xi_r(\mu)\)（\(r=1,2,\dots,k\)）完全决定了差分方程解的特性。

绝对稳定的核心逻辑

差分方程的解由稳定性多项式的零点决定：若所有零点都满足 \(|\xi_r(\mu)| < 1\)，则差分方程的解 \(y_n\) 会随着 \(n\to\infty\) 指数衰减到0，也就是说，任何初始扰动都会随着计算步数增加而衰减，不会被放大，这就是绝对稳定的本质。

3. 绝对稳定性的严格定义（定义9.12）

1. 绝对稳定：对于给定的 \(\mu=h\lambda\)，若稳定性多项式 \(\pi(\xi,\mu)\) 的所有零点 \(\xi_r\) 都满足 \(|\xi_r| < 1\)，则称该线性多步法关于此 \(\mu\) 是绝对稳定的。
2. 绝对稳定域：在 \(\mu=h\lambda\) 的复平面上，所有使得方法绝对稳定的 \(\mu\) 的集合，称为该方法的绝对稳定域，记为 \(R\)。
3. 绝对稳定区间：绝对稳定域 \(R\) 与复平面实轴的交集，称为该方法的绝对稳定区间。

定义解读

• 绝对稳定域越大，方法对步长的适应性越强，实际计算中可以选择的步长范围越广；
• 对于实系数的微分方程（\(\lambda\) 为实数），我们只需要关注绝对稳定区间，即可判断步长的选择范围。

4. 阿当姆斯方法的绝对稳定域与区间

阿当姆斯（Adams）方法是工程中最常用的线性多步法，分为显式阿当姆斯（Adams-Bashforth）和隐式阿当姆斯（Adams-Moulton）两类，其绝对稳定特性如下：

绝对稳定域图形（图9-6）

• 图(a) 显式阿当姆斯方法：绝对稳定域是复平面左半平面的有限区域，随着方法的阶数 \(k\) 增加，绝对稳定域逐渐缩小；
• 图(b) 隐式阿当姆斯方法：绝对稳定域远大于同阶的显式方法，同样随阶数增加略有缩小，但始终比显式方法更宽松。

绝对稳定区间（表9-9）

整理后的规范表格如下：

显式阿当姆斯方法	绝对稳定区间	隐式阿当姆斯方法	绝对稳定区间
k=1阶（p=1，欧拉显式法）	\(-2 < h\lambda < 0\)	k=1阶（p=2，梯形法）	\(-\infty < h\lambda < 0\)
k=2阶（p=2）	\(-1 < h\lambda < 0\)	k=2阶（p=3）	\(-6.0 < h\lambda < 0\)
k=3阶（p=3）	\(-0.55 < h\lambda < 0\)	k=3阶（p=4）	\(-3.0 < h\lambda < 0\)
k=4阶（p=4）	\(-0.30 < h\lambda < 0\)	k=4阶（p=5）	\(-1.8 < h\lambda < 0\)

核心特性分析

1. 显式vs隐式：同阶下，隐式阿当姆斯方法的绝对稳定区间远大于显式方法，这是隐式方法最核心的优势；
2. 阶数影响：无论是显式还是隐式，随着阶数升高，绝对稳定区间都会缩小，对步长的限制更严格；
3. 区间位置：所有绝对稳定区间都位于负实轴上，对应模型方程 \(y'=\lambda y\) 中 \(\lambda<0\) 的情况（精确解指数衰减），数值方法需要模拟精确解的衰减特性，因此仅当 \(h\lambda<0\) 时可实现绝对稳定；
4. A-稳定：k=1阶隐式阿当姆斯方法（梯形法）的绝对稳定域覆盖整个左半复平面，这类方法称为A-稳定，对步长无上限限制，是稳定性最优的方法。

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三、核心概念对比与总结

1. 零稳定性 vs 绝对稳定性 核心区别

对比维度	零稳定性（稳定性）	绝对稳定性
研究场景	\(h\to0\) 时的理论稳定性	有限步长 \(h\) 下的实际计算稳定性
核心判定	第一特征多项式 \(\rho(\xi)\) 的零点条件	稳定性多项式 \(\pi(\xi,\mu)=\rho(\xi)-\mu\sigma(\xi)\) 的所有零点模<1
与步长的关系	与步长 \(h\) 无关，仅由方法系数决定	与步长 \(h\)、方程特性 \(\lambda\) 共同决定，核心参数 \(\mu=h\lambda\)
核心作用	保证方法的收敛性，是方法有效的理论前提	指导实际计算中步长的选择，保证数值计算的可靠性
误差特性	保证扰动有界，不会无限放大	要求扰动随步数增加指数衰减，稳定性要求更严格

2. 线性多步法核心性质的逻辑关系

1. 相容性：差分格式局部逼近原微分方程，是方法有效的最低要求；
2. 零稳定性：保证全局误差不会被放大，是方法收敛的必要条件；
3. 收敛性：方法有效的最终准则，充要条件是相容+零稳定；
4. 绝对稳定性：实际计算中步长选择的核心依据，保证有限步长下计算结果可靠。

3. 工程应用核心结论

1. 选择数值方法时，首先要保证方法相容且零稳定，否则方法一定不收敛，计算结果无意义；
2. 实际计算中，必须根据方法的绝对稳定区间选择步长 \(h\)，保证 \(h\lambda\) 落在绝对稳定区间内，否则即使方法收敛，也会因扰动放大得到错误结果；
3. 对于刚性微分方程（\(\lambda\) 的模很大），优先选择隐式方法，其绝对稳定域更大，对步长的限制更宽松。

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例9.10 辛普森方法的稳定性分析 完整推导与深度解读

本案例是常微分方程数值解法中“零稳定、收敛但绝对稳定域为空”的经典反例，核心是区分「零稳定性（理论收敛性）」与「绝对稳定性（实际计算可用性）」，以下是完整分步推导与知识点解读。

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一、基础信息与前置准备

1. 辛普森方法的格式

我们研究的辛普森方法是线性二步隐式多步法，格式为：

\[y_{n+2} = y_n + \frac{h}{3}\left(f_n + 4f_{n+1} + f_{n+2}\right), \quad n=0,1,2,\dots \]

其中 \(f_{n+i}=f(x_{n+i},y_{n+i})\)，\(h\) 为步长，该方法源自数值积分中的辛普森公式，是四阶精度的数值方法。

2. 线性多步法的特征多项式回顾

线性k步法的核心分析工具是两个特征多项式：

• 第一特征多项式（齐次项）：\(\rho(\xi) = \xi^k - \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i \xi^i\)
• 第二特征多项式（导数项）：\(\sigma(\xi) = \sum_{i=0}^k \beta_i \xi^i\)

将辛普森方法整理为线性k步法的标准形式：

\[y_{n+2} - y_n = h\left( \frac{1}{3}f_n + \frac{4}{3}f_{n+1} + \frac{1}{3}f_{n+2} \right) \]

对比标准格式，可得系数：

• 齐次项系数：\(k=2\)，\(\alpha_0=1\)，\(\alpha_1=0\)
• 导数项系数：\(\beta_0=\frac{1}{3}\)，\(\beta_1=\frac{4}{3}\)，\(\beta_2=\frac{1}{3}\)

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二、第一步：零稳定性（收敛性）分析

1. 写出第一特征多项式

代入系数得：

\[\rho(\xi) = \xi^2 - 1 \]

2. 验证零点条件（零稳定的充要条件）

零稳定的充要条件是：\(\rho(\xi)\) 的所有零点满足 \(|\xi|\leq1\)，且单位圆上的零点为单零点。

求解特征方程 \(\rho(\xi)=0\)：

\[\xi^2 -1 =0 \implies \xi_1=1,\ \xi_2=-1 \]

两个根的模均为1，且均为单根，完全满足零点条件，因此辛普森方法是零稳定的。

补充说明

结合辛普森方法的四阶相容性（\(p=4\geq1\)），根据Dahlquist等价定理，该方法是收敛的（理论上步长\(h\to0\)时数值解收敛到精确解）。

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三、第二步：绝对稳定性分析

绝对稳定性的核心是：有限步长下，数值计算中的扰动是否会随步数指数衰减，判定依据是稳定性多项式的零点分布。

1. 写出稳定性多项式

稳定性多项式的通用形式为：

\[\pi(\xi,\mu) = \rho(\xi) - \mu \sigma(\xi), \quad \mu=h\lambda \]

其中 \(\mu\) 为复步长参数，\(\lambda\) 是测试方程 \(y'=\lambda y\) 的系数。

首先写出辛普森方法的第二特征多项式：

\[\sigma(\xi) = \frac{1}{3}\xi^2 + \frac{4}{3}\xi + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\left(\xi^2 +4\xi +1\right) \]

代入稳定性多项式得：

\[\pi(\xi,\mu) = \xi^2 - 1 - \frac{1}{3}\mu\left(\xi^2 +4\xi +1\right) \]

2. 求绝对稳定域的边界轨迹

绝对稳定域的边界，是稳定性多项式存在模为1的零点时 \(\mu\) 的集合。模为1的复数可表示为 \(\xi=e^{i\theta}\)（\(\theta\in[0,2\pi]\)，\(i\) 为虚数单位）。

将 \(\xi=e^{i\theta}\) 代入 \(\pi(\xi,\mu)=0\)，解出边界轨迹的参数方程：

\[\rho(e^{i\theta}) - \mu \sigma(e^{i\theta}) = 0 \implies \mu(\theta) = \frac{\rho(e^{i\theta})}{\sigma(e^{i\theta})} \]

步骤1：代入多项式化简

\[\mu(\theta) = \frac{e^{i2\theta} - 1}{\frac{1}{3}\left(e^{i2\theta} +4e^{i\theta} +1\right)} = 3\cdot\frac{e^{i2\theta}-1}{e^{i2\theta}+4e^{i\theta}+1} \]

利用欧拉公式 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)，对分子分母做因式分解化简：

• 分子：\(e^{i2\theta}-1 = e^{i\theta}\left(e^{i\theta} - e^{-i\theta}\right) = e^{i\theta}\cdot 2i\sin\theta\)
• 分母：\(e^{i2\theta}+4e^{i\theta}+1 = e^{i\theta}\left(e^{i\theta} +4 + e^{-i\theta}\right) = e^{i\theta}\cdot\left(2\cos\theta +4\right)\)

约去公共项 \(e^{i\theta}\)，最终化简得：

\[\mu(\theta) = 3\cdot\frac{2i\sin\theta}{2\cos\theta +4} = \frac{3i\sin\theta}{2+\cos\theta} \]

步骤2：分析边界轨迹的范围

从化简结果可以看出，\(\mu(\theta)\) 的实部为0，完全落在复平面的虚轴上，仅虚部随 \(\theta\) 变化。

令 \(f(\theta)=\frac{3\sin\theta}{2+\cos\theta}\)，求其在 \(\theta\in[0,2\pi]\) 上的取值范围：

1. 求导找极值点：\(f'(\theta)=\frac{3(2\cos\theta+1)}{(2+\cos\theta)^2}\)，令 \(f'(\theta)=0\)，得 \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\)，对应 \(\theta=\frac{2\pi}{3}\) 和 \(\theta=\frac{4\pi}{3}\)。
2. 计算极值：
   • 当 \(\theta=\frac{2\pi}{3}\) 时，\(f(\theta)=\sqrt{3}\)；
   • 当 \(\theta=\frac{4\pi}{3}\) 时，\(f(\theta)=-\sqrt{3}\)；
   • 端点处 \(\theta=0,\pi,2\pi\) 时，\(f(\theta)=0\)。

因此 \(f(\theta)\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]\)，即绝对稳定域的边界 \(\partial R\) 是虚轴上从 \(-\sqrt{3}i\) 到 \(\sqrt{3}i\) 的线段。

3. 绝对稳定域的判定

绝对稳定域是复平面上所有使得 \(\pi(\xi,\mu)\) 的零点都满足 \(|\xi|<1\) 的 \(\mu\) 的集合。我们通过测试点验证：

1. 取 \(\mu=0\)：稳定性多项式退化为 \(\rho(\xi)=\xi^2-1\)，零点为 \(\pm1\)，模等于1，不满足绝对稳定要求；
2. 取左半平面任意点（如 \(\mu=-1\)）：求解稳定性多项式，得到零点模大于1，不稳定；
3. 取右半平面任意点（如 \(\mu=1\)）：求解稳定性多项式，得到零点模大于1，不稳定；
4. 取虚轴上边界内的点（如 \(\mu=i\)）：稳定性多项式的零点模等于1，仅在边界上，不满足绝对稳定。

综上，复平面上不存在任何使得辛普森方法绝对稳定的 \(\mu\)，即辛普森方法的绝对稳定域为空集。

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四、最终结论与核心启示

1. 稳定性结论

1. 辛普森方法满足零点条件，是零稳定的，结合四阶相容性，方法是收敛的（理论上 \(h\to0\) 时数值解收敛）；
2. 辛普森方法的绝对稳定域为空集，对任意步长 \(h>0\)，方法都不是绝对稳定的，实际计算中扰动会随步数无限放大，数值解发散。

2. 核心工程启示

1. 零稳定≠绝对稳定：零稳定性是 \(h\to0\) 时的理论收敛性保证，而绝对稳定性是有限步长下实际计算的可用性保证，二者不可混淆；
2. 收敛的方法不一定实用：哪怕方法理论上收敛，若绝对稳定域过小（甚至为空），实际计算中无法找到合适的步长，最终会得到完全错误的结果；
3. 辛普森方法的适用边界：辛普森公式在定积分数值计算中是高效的四阶方法，但在常微分方程初值问题的求解中，因绝对稳定域为空，不能用于长时间的数值积分。

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五、核心知识点总结表

分析维度	核心结论	判定依据
第一特征多项式	\(\rho(\xi)=\xi^2-1\)	线性二步法齐次项系数
第二特征多项式	\(\sigma(\xi)=\frac{1}{3}(\xi^2+4\xi+1)\)	导数项加权系数
零稳定性	零稳定	特征根为 \(\pm1\)，满足零点条件
收敛性	收敛	四阶相容 + 零稳定，满足等价定理
稳定性多项式	\(\pi(\xi,\mu)=\xi^2-1-\frac{1}{3}\mu(\xi^2+4\xi+1)\)	绝对稳定性的核心判定工具
绝对稳定域边界	虚轴上 \([-\sqrt{3}i,\sqrt{3}i]\) 线段	边界轨迹法 \(\mu(\theta)=\frac{3i\sin\theta}{2+\cos\theta}\)
绝对稳定域	空集	复平面无满足 $
实际可用性	不可用于ODE初值问题求解	任意步长下均不绝对稳定，扰动会发散