6.4单参数指数族分布的双边检验

单参数指数族分布的双边检验 详细讲解与推导证明

我将以多年数理统计教学与研究的视角，从问题起源、核心概念、严格推导到最终总结，完整讲解该知识点，确保逻辑连贯、推导严谨、结论清晰。

一、问题起源：为什么双边检验不能直接用单边的UMPT？

上一节我们已经证明：对于单调似然比分布族，单边假设检验问题存在一致最优检验（UMPT），其核心是单边检验的功效函数是关于参数\(\theta\)的单调函数，能在备择假设的整个参数空间上实现功效一致最优。

但双边检验与单边检验有本质区别：
双边检验的备择假设分布在原假设的两侧，其功效函数无法是单调函数：

• 若备择假设是中间区间（\(H_1:\theta_1<\theta<\theta_2\)），功效函数需要满足「两头小、中间大」；
• 若备择假设是两侧区间（\(H_1:\theta<\theta_1\) 或 \(\theta>\theta_2\)），功效函数需要满足「中间小、两头大」。

单调的单边检验功效函数无法满足上述形态，因此双边检验问题不存在全局的UMPT。我们需要缩小检验的范围，引入「无偏检验」的约束，在无偏检验类中寻找一致最优的检验，即一致最优无偏检验（UMPUT）。

二、双边检验的三类核心问题形式

设总体\(X \sim f(x,\theta), \theta \in \mathbb{R}\)，双边检验分为三类标准形式：

1. 问题(i) 带内检验：\(H_0:\theta\leq\theta_1 \text{ 或 } \theta\geq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2\)
2. 问题(ii) 带外检验：\(H_0:\theta_1\leq\theta\leq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2\)
3. 问题(iii) 点原假设双侧检验：\(H_0:\theta=\theta_0 \longleftrightarrow H_1:\theta\neq\theta_0\)

其中问题(iii)是问题(ii)的特例（令\(\theta_1=\theta_2=\theta_0\)），也是实际应用中最常见的形式。

三、核心概念：无偏检验与UMPUT

3.1 功效函数的核心意义

检验函数\(\phi(x)\)的功效函数定义为：

\[\beta_\phi(\theta) = \mathbb{E}_\theta[\phi(X)] \]

它表示「当参数为\(\theta\)时，拒绝原假设\(H_0\)的概率」。一个合格的水平为\(\alpha\)的检验，必须满足：

• 在原假设\(H_0\)的参数空间上：\(\beta_\phi(\theta) \leq \alpha\)（第一类错误概率不超过显著性水平\(\alpha\)）；
• 在备择假设\(H_1\)的参数空间上：\(\beta_\phi(\theta)\)应尽可能大（第二类错误概率\(1-\beta_\phi(\theta)\)尽可能小）。

3.2 无偏检验的定义

一个水平为\(\alpha\)的检验\(\phi(x)\)，若满足：在备择假设\(H_1\)上，\(\beta_\phi(\theta) \geq \alpha\)，则称\(\phi(x)\)为水平为\(\alpha\)的无偏检验。

定义的合理性

若一个检验在\(H_1\)上的功效小于\(\alpha\)，意味着「\(H_1\)成立时拒绝\(H_0\)的概率，比\(H_0\)成立时错误拒绝\(H_0\)的概率还小」，这是完全不合理的，相当于检验对备择假设没有识别能力，是「有偏」的。

所有水平为\(\alpha\)的无偏检验构成的集合，称为无偏检验类，记为：

\[\Phi_\alpha^* = \left\{ \phi: \mathbb{E}_\theta[\phi(X)] \leq \alpha, \theta\in\Theta_0; \ \mathbb{E}_\theta[\phi(X)] \geq \alpha, \theta\in\Theta_1 \right\} \]

3.3 一致最优无偏检验（UMPUT）

若检验\(\phi(x) \in \Phi_\alpha^*\)，且对任意的\(\tilde{\phi}(x) \in \Phi_\alpha^*\)，都有：

\[\beta_\phi(\theta) \geq \beta_{\tilde{\phi}}(\theta), \quad \forall \theta \in \Theta_1 \]

则称\(\phi(x)\)为该检验问题的一致最优无偏检验，记为UMPUT。

简单来说，UMPUT就是在所有无偏检验中，在备择假设的全空间上功效都最高的检验，是双边检验问题的最优解。

3.4 无偏检验的关键边界性质

对于指数族分布，其功效函数\(\beta(\theta)\)是关于\(\theta\)的连续可导函数，结合无偏性定义，可得到两个核心边界条件，是后续构造检验的核心约束：

1. 对于问题(i)和(ii)，无偏检验必须满足：

   \[\beta(\theta_1) = \mathbb{E}_{\theta_1}[\phi(X)] = \alpha, \quad \beta(\theta_2) = \mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(X)] = \alpha \]

   证明：由连续性，\(\theta \to \theta_1^+\)（问题(i)）或\(\theta \to \theta_1^-\)（问题(ii)）时，\(\beta(\theta) \to \beta(\theta_1)\)，而无偏性要求\(\beta(\theta) \geq \alpha\)，同时\(H_0\)要求\(\beta(\theta_1) \leq \alpha\)，因此只能取等号，\(\theta_2\)同理。

2. 对于问题(iii)，无偏检验必须满足：

   \[\beta(\theta_0) = \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)] = \alpha, \quad \beta'(\theta_0) = \frac{d}{d\theta}\beta(\theta)\bigg|_{\theta=\theta_0} = 0 \]

   证明：\(\beta(\theta_0)=\alpha\)的推导同上；而\(\theta_0\)是功效函数的极小值点（中间小、两头大），因此在该点的导数为0。

四、单参数指数族的标准形式

我们的研究对象是单参数指数族分布，其概率密度（分布律）的标准形式为：

\[f(x,\theta) = C(\theta) \exp\left\{ Q(\theta) T(x) \right\} h(x) \]

其中：

• \(Q(\theta)\)是\(\theta\)的严格单调递增函数（若不满足，可通过参数变换转化为自然参数形式）；
• \(T(x)\)是参数\(\theta\)的充分统计量，包含了样本中关于\(\theta\)的所有信息；
• \(h(x) \geq 0\)为支撑函数，\(C(\theta) > 0\)为归一化常数。

为简化推导，引入自然参数\(\eta = Q(\theta)\)，则指数族可转化为自然形式：

\[f(x,\eta) = C(\eta) \exp\left\{ \eta T(x) \right\} h(x) \]

此时\(\eta\)与\(\theta\)一一对应，假设检验问题可等价转化为关于\(\eta\)的检验，最优检验必然基于充分统计量\(T=T(X)\)构造。

五、三类双边检验的UMPUT推导与证明

5.1 问题(iii)：\(H_0:\theta=\theta_0 \longleftrightarrow H_1:\theta\neq\theta_0\) 的UMPUT

这是最常用的双侧检验，我们先完成其完整推导。

步骤1：转化为自然参数的约束条件

检验问题转化为\(H_0:\eta=\eta_0 \longleftrightarrow H_1:\eta\neq\eta_0\)，其中\(\eta_0=Q(\theta_0)\)。
结合无偏检验的边界条件，检验需满足两个约束：

1. 水平条件：\(\mathbb{E}_{\eta_0}[\phi(T)] = \alpha\)
2. 导数条件：\(\beta'(\eta_0) = 0\)

步骤2：推导功效函数的导数表达式

对于指数族，充分统计量\(T\)的分布仍为指数族，密度为：

\[f_T(t,\eta) = C(\eta) \exp\left\{ \eta t \right\} h_T(t) \]

功效函数为：

\[\beta(\eta) = \mathbb{E}_\eta[\phi(T)] = \int \phi(t) C(\eta) e^{\eta t} h_T(t) dt \]

对\(\eta\)求导（指数族满足正则条件，积分与求导可交换）：

\[\beta'(\eta) = C'(\eta) \int \phi(t) e^{\eta t} h_T(t) dt + C(\eta) \int \phi(t) t e^{\eta t} h_T(t) dt \]

由密度的归一性\(\int C(\eta) e^{\eta t} h_T(t) dt = 1\)，对\(\eta\)求导得：

\[\frac{C'(\eta)}{C(\eta)} = - \mathbb{E}_\eta[T] \]

将其代入导数表达式，化简得核心结论：

\[\beta'(\eta) = \text{Cov}_\eta\left( \phi(T), T \right) = \mathbb{E}_\eta[\phi(T)T] - \mathbb{E}_\eta[\phi(T)]\mathbb{E}_\eta[T] \]

因此，导数条件\(\beta'(\eta_0)=0\)等价于：

\[\mathbb{E}_{\eta_0}[\phi(T)T] = \alpha \cdot \mathbb{E}_{\eta_0}[T] \]

步骤3：基于广义NP引理构造最优检验

我们的目标是：在满足上述两个约束的检验中，找到对任意\(\eta\neq\eta_0\)，\(\beta(\eta)\)最大的检验。

根据广义Neyman-Pearson引理（带多个约束的最优检验构造），对任意固定的\(\eta_1\neq\eta_0\)，最大化\(\mathbb{E}_{\eta_1}[\phi(T)]\)的检验，其拒绝域由似然比决定：

\[\frac{f(t,\eta_1)}{f(t,\eta_0)} = \frac{C(\eta_1)}{C(\eta_0)} \exp\left\{ (\eta_1-\eta_0)t \right\} \]

该似然比是关于\(t\)的指数函数，而约束条件是线性的，因此方程\(\frac{f(t,\eta_1)}{f(t,\eta_0)} = k_1 + k_2 t\)最多有两个解\(c_1,c_2\)（\(c_1<c_2\)）。无论\(\eta_1>\eta_0\)还是\(\eta_1<\eta_0\)，不等式的解均为\(t<c_1\)或\(t>c_2\)，且该形式与\(\eta_1\)无关，满足「一致最优」的要求。

步骤4：最终的UMPUT形式

问题(iii)的UMPUT为：

\[\phi(t) = \begin{cases} 1, & t < c_1 \text{ 或 } t > c_2 \\ \gamma_1, & t = c_1 \\ \gamma_2, & t = c_2 \\ 0, & c_1 < t < c_2 \end{cases} \]

其中临界值\(c_1,c_2\)和随机化参数\(\gamma_1,\gamma_2\)，由以下两个约束唯一确定：

\[\begin{cases} \mathbb{E}_{\eta_0}[\phi(T)] = \alpha \\ \mathbb{E}_{\eta_0}[\phi(T)T] = \alpha \cdot \mathbb{E}_{\eta_0}[T] \end{cases} \]

补充说明：

• 连续分布：\(P(T=c_1)=P(T=c_2)=0\)，因此\(\gamma_1=\gamma_2=0\)，无需随机化；
• 对称分布：若\(T\)的分布关于\(\mathbb{E}_{\eta_0}[T]\)对称，可直接取\(c_1 = \mathbb{E}[T] - k\)，\(c_2 = \mathbb{E}[T] + k\)，两个约束可简化为一个，例如正态分布的双侧z检验、t检验。

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5.2 问题(ii)：\(H_0:\theta_1\leq\theta\leq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2\) 的UMPUT

步骤1：约束条件

转化为自然参数的检验问题\(H_0:\eta_1\leq\eta\leq\eta_2 \longleftrightarrow H_1:\eta<\eta_1 \text{ 或 } \eta>\eta_2\)，无偏检验的约束为边界条件：

\[\mathbb{E}_{\eta_1}[\phi(T)] = \alpha, \quad \mathbb{E}_{\eta_2}[\phi(T)] = \alpha \]

步骤2：检验形式与证明

同样通过广义NP引理，对任意\(\eta\notin[\eta_1,\eta_2]\)，最优检验的拒绝域为\(t<c_1\)或\(t>c_2\)，与\(\eta\)无关，因此是一致最优的。

最终的UMPUT形式与问题(iii)完全一致：

\[\phi(t) = \begin{cases} 1, & t < c_1 \text{ 或 } t > c_2 \\ \gamma_1, & t = c_1 \\ \gamma_2, & t = c_2 \\ 0, & c_1 < t < c_2 \end{cases} \]

其中\(c_1,c_2,\gamma_1,\gamma_2\)由约束\(\mathbb{E}_{\eta_1}[\phi(T)] = \alpha\)、\(\mathbb{E}_{\eta_2}[\phi(T)] = \alpha\)唯一确定。

最优性证明

1. 水平有效性：指数族的功效函数\(\beta(\eta)\)是关于\(\eta\)的凸函数，凸函数在区间\([\eta_1,\eta_2]\)上的最大值在端点取得，因此\(\forall \eta\in[\eta_1,\eta_2]\)，\(\beta(\eta)\leq\alpha\)，满足水平要求；
2. 无偏性：对\(\eta<\eta_1\)或\(\eta>\eta_2\)，由凸函数性质，\(\beta(\eta)\geq\alpha\)，满足无偏性；
3. 一致最优性：对任意无偏检验\(\tilde{\phi}\)，其必然满足边界条件，由广义NP引理，\(\phi\)在所有\(\eta\notin[\eta_1,\eta_2]\)上功效最大，因此是UMPUT。

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5.3 问题(i)：\(H_0:\theta\leq\theta_1 \text{ 或 } \theta\geq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2\) 的UMPUT

步骤1：约束条件

转化为自然参数的检验问题\(H_0:\eta\leq\eta_1 \text{ 或 } \eta\geq\eta_2 \longleftrightarrow H_1:\eta_1<\eta<\eta_2\)，约束仍为边界条件：

\[\mathbb{E}_{\eta_1}[\phi(T)] = \alpha, \quad \mathbb{E}_{\eta_2}[\phi(T)] = \alpha \]

步骤2：检验形式

该问题的备择假设是中间区间，因此最优检验的拒绝域为中间区间，接受域为两侧，最终的UMPUT形式为：

\[\phi(t) = \begin{cases} 1, & c_1 < t < c_2 \\ \gamma_1, & t = c_1 \\ \gamma_2, & t = c_2 \\ 0, & t < c_1 \text{ 或 } t > c_2 \end{cases} \]

其中\(c_1,c_2,\gamma_1,\gamma_2\)由约束\(\mathbb{E}_{\eta_1}[\phi(T)] = \alpha\)、\(\mathbb{E}_{\eta_2}[\phi(T)] = \alpha\)唯一确定。

最优性证明

该问题的功效函数是关于\(\eta\)的凹函数，在区间\((\eta_1,\eta_2)\)内\(\beta(\eta)\geq\alpha\)（满足无偏性），区间外\(\beta(\eta)\leq\alpha\)（满足水平要求），且在区间内的功效一致高于其他无偏检验，因此是UMPUT。

六、核心知识点总结表格

检验问题编号	原假设 \(H_0\)	备择假设 \(H_1\)	UMPUT检验函数形式（基于充分统计量\(T=T(X)\)）	检验的约束条件	功效函数核心性质
(i) 带内检验	\(\theta\leq\theta_1\) 或 \(\theta\geq\theta_2\)	\(\theta_1<\theta<\theta_2\)	$$\phi(t)=\begin{cases}1, & c_1<t<c_2 \ \gamma_1, & t=c_1 \ \gamma_2, & t=c_2 \ 0, & t<c_1 \text{ 或 } t>c_2\end{cases}$$	\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi(T)]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(T)]=\alpha\)	凹函数，「两头小中间大」，在\((\theta_1,\theta_2)\)内\(\beta(\theta)\geq\alpha\)，区间外\(\beta(\theta)\leq\alpha\)
(ii) 带外检验	\(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)	\(\theta<\theta_1\) 或 \(\theta>\theta_2\)	$$\phi(t)=\begin{cases}1, & t<c_1 \text{ 或 } t>c_2 \ \gamma_1, & t=c_1 \ \gamma_2, & t=c_2 \ 0, & c_1<t<c_2\end{cases}$$	\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi(T)]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(T)]=\alpha\)	凸函数，「中间小两头大」，在\((\theta_1,\theta_2)\)内\(\beta(\theta)\leq\alpha\)，区间外\(\beta(\theta)\geq\alpha\)
(iii) 点原假设双侧检验	\(\theta=\theta_0\)	\(\theta\neq\theta_0\)	$$\phi(t)=\begin{cases}1, & t<c_1 \text{ 或 } t>c_2 \ \gamma_1, & t=c_1 \ \gamma_2, & t=c_2 \ 0, & c_1<t<c_2\end{cases}$$	\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(T)]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(T)T]=\alpha \mathbb{E}_{\theta_0}[T]\)（或\(\beta'(\theta_0)=0\)）	凸函数，\(\theta_0\)为极小值点，\(\beta(\theta_0)=\alpha\)，\(\theta\neq\theta_0\)时\(\beta(\theta)\geq\alpha\)

七、补充说明与应用实例

1. 正态分布双侧z检验：设\(X_1,\dots,X_n \sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，检验\(H_0:\mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0\)。充分统计量为\(\bar{X}\)，属于指数族，其UMPUT就是经典的双侧z检验，拒绝域为\(|\bar{X}-\mu_0| > z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)，完全符合上述推导的形式。
2. 二项分布双侧检验：设\(X \sim Bin(n,p)\)，检验\(H_0:p=p_0 \leftrightarrow H_1:p\neq p_0\)，属于指数族，其UMPUT的拒绝域为\(X<c_1\)或\(X>c_2\)，通过两个约束条件确定临界值与随机化参数，解决离散分布的显著性水平匹配问题。
3. 核心结论：单参数指数族的双边检验问题不存在全局UMPT，但在无偏检验类中，一定存在UMPUT，且检验形式均基于充分统计量构造，由无偏性的边界条件唯一确定临界值。

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指数族分布双边检验：推广N-P引理与检验(i)的UMPT完整推导

承接上一讲的内容，本部分我们将完整讲解双边检验最优性的核心工具——推广的Neyman-Pearson引理，并基于该引理完成指数族分布下双边检验(i)的UMPT（一致最优检验）的严格推导，明确三类双边检验的最优性差异。

一、推广的Neyman-Pearson引理（定理6.4.1）：背景与完整证明

1.1 引理的背景意义

经典的Neyman-Pearson（N-P）引理仅能解决单点原假设↔单点备择假设的最优势检验(MPT)问题，仅含1个第一类错误概率的约束条件。
而双边检验的原假设包含两个参数点（如\(H_0:\theta=\theta_1\)或\(\theta=\theta_2\)），对应2个约束条件，因此必须将N-P引理推广到多约束场景，这是构造双边检验最优检验的核心工具。

1.2 引理的正式表述

设概率密度\(f_i(x),i=1,2,3\)关于测度\(\mu(x)\)可积，检验函数满足\(0\leq\phi(x)\leq1\)（\(\phi(x)\)为观测到\(x\)时拒绝原假设的概率）。
定义两类检验类：

• 等式约束检验类：\(\Phi'_\alpha = \left\{ \phi: \int_{\mathcal{X}} \phi(x)f_i(x)d\mu(x) = \alpha_i, i=1,2 \right\}\)（原假设两点的第一类错误概率严格等于\(\alpha\)）
• 不等式约束检验类：\(\Phi_\alpha = \left\{ \phi: \int_{\mathcal{X}} \phi(x)f_i(x)d\mu(x) \leq \alpha_i, i=1,2 \right\}\)（原假设两点的第一类错误概率不超过\(\alpha\)）

定义检验函数：

\[\phi(x) = \begin{cases} 1, & x \in R^+ = \{x: f_3(x) > c_1f_1(x) + c_2f_2(x)\} \\ \gamma, & x \in R^0 = \{x: f_3(x) = c_1f_1(x) + c_2f_2(x)\} \\ 0, & x \in R^- = \{x: f_3(x) < c_1f_1(x) + c_2f_2(x)\} \end{cases} \]

其中\(f_1,f_2\)对应原假设两点的密度，\(f_3\)对应备择假设的密度，\(c_1,c_2\)为拉格朗日常数，\(\gamma\)为随机化参数。

引理的两个核心结论：

1. 若存在常数\(c_1,c_2\)（可正可负）和\(\gamma\)，使得\(\phi(x) \in \Phi'_\alpha\)，则对任意\(\tilde{\phi}(x) \in \Phi'_\alpha\)，有
   \[\int_{\mathcal{X}} \phi(x)f_3(x)d\mu(x) \geq \int_{\mathcal{X}} \tilde{\phi}(x)f_3(x)d\mu(x) \]
   即\(\phi(x)\)是等式约束下的MPT。
2. 若存在常数\(c_1\geq0, c_2\geq0\)和\(\gamma\)，使得\(\phi(x) \in \Phi'_\alpha\)，则对任意\(\tilde{\phi}(x) \in \Phi_\alpha\)，上述不等式仍成立，即\(\phi(x)\)是不等式约束下的MPT。
   同时，\(\phi(x)\)在\(R^+ \cup R^-\)上几乎处处唯一。

1.3 完整证明过程

证明核心思路与经典N-P引理一致：通过构造非负差值函数，利用积分的保号性证明功效的最优性。

步骤1：构造非负差值函数

记

\[A(x) = [\phi(x) - \tilde{\phi}(x)] \cdot [f_3(x) - c_1f_1(x) - c_2f_2(x)] \]

分析\(A(x)\)的符号：

• 当\(x \in R^+\)：\(f_3 > c_1f_1 + c_2f_2\)，且\(\phi(x)=1\)、\(\tilde{\phi}(x)\leq1\)，故\(\phi-\tilde{\phi}\geq0\)，因此\(A(x)\geq0\)；
• 当\(x \in R^-\)：\(f_3 < c_1f_1 + c_2f_2\)，且\(\phi(x)=0\)、\(\tilde{\phi}(x)\geq0\)，故\(\phi-\tilde{\phi}\leq0\)，因此\(A(x)\geq0\)；
• 当\(x \in R^0\)：\(f_3 = c_1f_1 + c_2f_2\)，因此\(A(x)=0\)。

综上，对所有\(x\)有\(A(x)\geq0\)，因此积分满足：

\[\int_{\mathcal{X}} A(x)d\mu(x) = \int_{R^+ \cup R^-} A(x)d\mu(x) \geq 0 \]

步骤2：展开积分得到核心不等式

将\(A(x)\)代入积分并展开，移项后得到：

\[\begin{aligned} \int_{\mathcal{X}} \phi f_3 d\mu \geq &\int_{\mathcal{X}} \tilde{\phi} f_3 d\mu + c_1 \int_{\mathcal{X}} [\phi - \tilde{\phi}]f_1 d\mu \\ &+ c_2 \int_{\mathcal{X}} [\phi - \tilde{\phi}]f_2 d\mu \end{aligned} \tag{1} \]

我们将后两项的和称为「余项」，分两种情形讨论余项的符号。

情形1：等式约束\(\phi, \tilde{\phi} \in \Phi'_\alpha\)

此时\(\int \phi f_i d\mu = \int \tilde{\phi} f_i d\mu = \alpha_i\)，因此\(\int [\phi - \tilde{\phi}]f_i d\mu = 0\)，余项为0，代入(1)式直接得到：

\[\int \phi f_3 d\mu \geq \int \tilde{\phi} f_3 d\mu \]

结论(1)得证。

情形2：不等式约束\(\phi \in \Phi'_\alpha, \tilde{\phi} \in \Phi_\alpha\)，且\(c_1\geq0,c_2\geq0\)

此时\(\int \phi f_i d\mu = \alpha_i\)，\(\int \tilde{\phi} f_i d\mu \leq \alpha_i\)，因此\(\int [\phi - \tilde{\phi}]f_i d\mu \geq 0\)。
结合\(c_1\geq0,c_2\geq0\)，余项\(\geq0\)，代入(1)式仍可得到：

\[\int \phi f_3 d\mu \geq \int \tilde{\phi} f_3 d\mu \]

结论(2)得证。

唯一性证明

若\(\tilde{\phi}\)也达到最大功效，则必须有\(A(x)=0\)几乎处处成立。在\(R^+ \cup R^-\)上，\(f_3 - c_1f_1 - c_2f_2 \neq 0\)，因此必须有\(\phi(x)=\tilde{\phi}(x)\)几乎处处成立，即\(\phi(x)\)在\(R^+ \cup R^-\)上唯一。

1.4 特例验证

当\(f_1(x)\)不存在时，检验退化为单点原假设的经典N-P问题，此时\(R^+ = \{x:f_3(x)>c_2f_2(x)\}\)，与经典N-P引理的检验形式完全一致，验证了推广的合理性。

二、引理6.4.1：指数族下检验(i)'的MPT构造与推导

2.1 检验问题的设定

考虑单参数指数族分布：

\[f(x,\theta) = a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)}, \quad \theta\in\mathbb{R} \]

其中\(Q(\theta)\)是\(\theta\)的严格增函数，\(T(x)\)是\(\theta\)的充分统计量。

我们研究简单假设检验问题：

\[(i)' \quad H_0:\theta=\theta_1 \text{ 或 } \theta=\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta=\theta_3, \quad \theta_1<\theta_3<\theta_2 \]

目标是找到满足\(E_{\theta_1}[\phi(X)]\leq\alpha\)、\(E_{\theta_2}[\phi(X)]\leq\alpha\)的检验中，最大化\(E_{\theta_3}[\phi(X)]\)的MPT。

2.2 拒绝域的化简

对应推广的N-P引理，\(f_1=f(x,\theta_1),f_2=f(x,\theta_2),f_3=f(x,\theta_3)\)，拒绝域为：

\[R^+ = \{x: f(x,\theta_3) > c_1f(x,\theta_1) + c_2f(x,\theta_2)\} \]

将指数族密度代入，两边除以\(h(x)a(\theta_3)e^{Q(\theta_3)T(x)}\)（恒正，不改变不等式方向），令：

\[d_1 = c_1 \cdot \frac{a(\theta_1)}{a(\theta_3)}, \quad d_2 = c_2 \cdot \frac{a(\theta_2)}{a(\theta_3)} \]

\[-b_1 = Q(\theta_1)-Q(\theta_3), \quad b_2 = Q(\theta_2)-Q(\theta_3) \]

由\(\theta_1<\theta_3<\theta_2\)且\(Q(\theta)\)严格递增，得\(b_1>0,b_2>0\)。此时拒绝域等价于：

\[R^+ = \{x: g(T(x)) < 1\}, \quad g(t) = d_1e^{-b_1t} + d_2e^{b_2t} \]

2.3 \(g(t)\)的性质分析与拒绝域形式确定

我们通过分析\(g(t)\)的符号、单调性、凹凸性，确定拒绝域的形式，核心是排除不符合约束的情形。

情形1：\(d_1\leq0\)且\(d_2\leq0\)

此时\(g(t)\leq0<1\)对所有\(t\)成立，\(R^+=\mathcal{X}\)，即\(\phi(x)\equiv1\)，此时\(E_{\theta_1}[\phi]=E_{\theta_2}[\phi]=1\)，与\(0<\alpha<1\)矛盾，排除。

情形2：\(d_1>0,d_2<0\)（\(d_1<0,d_2>0\)对称）

对\(g(t)\)求一阶导数：

\[g'(t) = -b_1d_1e^{-b_1t} + b_2d_2e^{b_2t} \]

两项均恒负，因此\(g'(t)<0\)，\(g(t)\)是严格减函数，\(g(t)<1\)的解为\(t>k\)（单边拒绝域）。

而单边检验的功效函数是\(\theta\)的严格增函数，必有\(\beta(\theta_1)<\beta(\theta_2)\)，无法满足\(\beta(\theta_1)=\beta(\theta_2)=\alpha\)的约束，排除。

唯一可行情形：\(d_1\geq0,d_2\geq0\)且不全为0

对\(g(t)\)求二阶导数：

\[g''(t) = b_1^2d_1e^{-b_1t} + b_2^2d_2e^{b_2t} \]

所有项均非负且不全为0，因此\(g''(t)>0\)，\(g(t)\)是严格凸函数（开口向上的U型曲线）。

严格凸函数\(g(t)=1\)最多有两个解\(k_1<k_2\)，且：

• 当\(k_1<t<k_2\)时，\(g(t)<1\)；
• 当\(t<k_1\)或\(t>k_2\)时，\(g(t)>1\)。

因此拒绝域为：

\[R^+ = \{x: k_1 < T(x) < k_2\} \]

2.4 检验函数的最终形式与最优性

结合拒绝域与随机化检验的要求，检验函数为：

\[\phi_1(x) = \begin{cases} 1, & k_1 < T(x) < k_2 \\ \gamma_{1i}, & T(x)=k_i, \ i=1,2 \\ 0, & T(x)<k_1 \text{ 或 } T(x)>k_2 \end{cases} \]

其中\(k_1,k_2,\gamma_{11},\gamma_{12}\)由约束\(E_{\theta_1}[\phi_1(X)]=\alpha\)、\(E_{\theta_2}[\phi_1(X)]=\alpha\)唯一确定。

最优性证明：
由\(d_1\geq0,d_2\geq0\)得\(c_1\geq0,c_2\geq0\)，根据推广的N-P引理结论(2)，对任意满足\(E_{\theta_1}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)、\(E_{\theta_2}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)的检验\(\tilde{\phi}\)，都有\(E_{\theta_3}[\phi_1(X)]\geq E_{\theta_3}[\tilde{\phi}(X)]\)，即\(\phi_1(x)\)是检验(i)'的MPT。

2.5 关键推论

上述检验\(\phi_1(x)\)的形式与备择假设的\(\theta_3\)无关，仅由\(\theta_1,\theta_2\)和\(\alpha\)决定。因此\(\phi_1(x)\)不仅是单点备择假设的MPT，更是对整个备择空间\(\theta_1<\theta<\theta_2\)的一致最优检验，即：

\(\phi_1(x)\)是检验问题 \((i)'' \ H_0:\theta=\theta_1 \text{ 或 } \theta=\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2\) 的UMPT。

三、检验(i)的全局UMPT证明

检验(i)的完整形式为：

\[(i) \quad H_0:\theta\leq\theta_1 \text{ 或 } \theta\geq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2 \]

我们证明上述\(\phi_1(x)\)是该问题的全局UMPT，需验证两个核心条件：

3.1 水平有效性：原假设空间上满足\(E_\theta[\phi_1(X)]\leq\alpha\)

指数族的功效函数\(\beta(\theta)=E_\theta[\phi_1(X)]\)是关于\(\theta\)的连续可导函数，且为先增后减的单峰函数（凹函数），在区间\((\theta_1,\theta_2)\)内取得最大值。
因此：

• 当\(\theta\leq\theta_1\)时，\(\beta(\theta)\leq\beta(\theta_1)=\alpha\)；
• 当\(\theta\geq\theta_2\)时，\(\beta(\theta)\leq\beta(\theta_2)=\alpha\)。

对所有\(\theta\in\Theta_0\)，都有\(\beta(\theta)\leq\alpha\)，满足水平为\(\alpha\)的要求。

3.2 一致最优性：备择假设空间上功效一致最高

对任意水平为\(\alpha\)的检验\(\tilde{\phi}\)，必然满足\(E_{\theta_1}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)、\(E_{\theta_2}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)。根据引理6.4.1，对所有\(\theta_1<\theta<\theta_2\)，都有\(E_\theta[\phi_1(X)]\geq E_\theta[\tilde{\phi}(X)]\)。

综上，\(\phi_1(x)\)是双边检验(i)的全局UMPT，这是三类双边检验中唯一存在全局UMPT的情形。

四、核心知识点总结表格

检验问题	原假设\(H_0\)	备择假设\(H_1\)	最优检验类型	检验函数形式（基于充分统计量\(T(x)\)）	约束条件	核心性质
检验(i)'	\(\theta=\theta_1\) 或 \(\theta=\theta_2\)	\(\theta=\theta_3\)（\(\theta_1<\theta_3<\theta_2\)）	MPT	$$\phi(x)=\begin{cases}1, & k_1<T(x)<k_2 \ \gamma_i, & T(x)=k_i \ 0, & \text{其他}\end{cases}$$	\(E_{\theta_1}[\phi]=\alpha\) \(E_{\theta_2}[\phi]=\alpha\)	检验形式与\(\theta_3\)无关，由推广的N-P引理保证最优性
检验(i)	\(\theta\leq\theta_1\) 或 \(\theta\geq\theta_2\)	\(\theta_1<\theta<\theta_2\)	全局UMPT	同上	同上	功效函数为单峰凹函数，原假设空间上\(\beta(\theta)\leq\alpha\)，备择空间上功效一致最优
检验(ii)	\(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)	\(\theta<\theta_1\) 或 \(\theta>\theta_2\)	UMPUT（无全局UMPT）	$$\phi(x)=\begin{cases}1, & T(x)<k_1 \text{ 或 } T(x)>k_2 \ \gamma_i, & T(x)=k_i \ 0, & \text{其他}\end{cases}$$	\(E_{\theta_1}[\phi]=\alpha\) \(E_{\theta_2}[\phi]=\alpha\)	功效函数为凸函数，仅在无偏检验类中一致最优
检验(iii)	\(\theta=\theta_0\)	\(\theta\neq\theta_0\)	UMPUT（无全局UMPT）	同上	\(E_{\theta_0}[\phi]=\alpha\) \(\beta'(\theta_0)=0\)	功效函数为凸函数，\(\theta_0\)为极小值点，仅在无偏检验类中一致最优

五、核心结论

1. 推广的N-P引理是解决多约束假设检验问题的核心工具，是经典N-P引理在多约束场景下的直接推广；
2. 单参数指数族的三类双边检验中，仅检验(i)存在全局UMPT，检验(ii)和(iii)不存在全局UMPT，仅能在无偏检验类中找到UMPUT；
3. 所有最优检验均基于参数的充分统计量\(T(x)\)构造，临界值由无偏性的边界约束条件唯一确定，这是指数族分布充分性原则的直接体现。

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引理6.4.2 完整讲解、严格证明与核心应用

承接上一讲的内容，我们已经通过推广的N-P引理得到了检验(i)''（\(H_0:\theta=\theta_1\)或\(\theta=\theta_2 \leftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2\)）的UMPT\(\phi_1(x)\)，但要完成检验(i)全局UMPT的完整证明，还需验证\(\phi_1(x)\)在原假设全空间\(\theta\leq\theta_1\)或\(\theta\geq\theta_2\)上满足水平约束\(\mathbb{E}_\theta[\phi_1(X)]\leq\alpha\)；同时，后续求解检验(ii)的一致最优无偏检验(UMPUT)，也需要一个针对「双边拒绝域检验」的最优性引理。本讲将完整讲解引理6.4.2的内容、严格证明、与引理6.4.1的本质差异，以及其两大核心应用。

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一、引理6.4.2的正式表述与背景

1.1 适用分布与检验问题

针对单参数指数族分布：

\[f(x,\theta) = a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)}, \quad \theta\in\mathbb{R} \]

其中\(Q(\theta)\)为\(\theta\)的严格增函数，\(T(x)\)为\(\theta\)的充分统计量。

考虑简单假设检验问题：

\[(ii)' \quad H_0:\theta=\theta_1 \text{ 或 } \theta=\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta=\theta_4 \ (\theta_4<\theta_1) \text{ 或 } \theta=\theta_5 \ (\theta_5>\theta_2) \]

1.2 检验函数形式

若检验函数\(\phi_2(x)\)具有双边拒绝域的形式：

\[\phi_2(x) = \begin{cases} 1, & T(x) < k_1 \text{ 或 } T(x) > k_2 \\ \gamma_{2i}, & T(x)=k_i \ (i=1,2) \\ 0, & k_1 < T(x) < k_2 \end{cases} \]

其中\(k_1<k_2\)为临界值，\(\gamma_{21},\gamma_{22}\)为随机化参数。

1.3 约束条件与核心结论

若存在\(k_i,\gamma_{2i}\)使得\(\phi_2(x)\)满足等式约束：

\[\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2(X)] = \alpha, \quad \mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2(X)] = \alpha \quad (0<\alpha<1) \]

即\(\phi_2(x)\in\Phi'_\alpha\)，则对所有满足相同等式约束的检验\(\tilde{\phi}(x)\in\Phi'_\alpha\)，有：

\[\mathbb{E}_{\theta_4}[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_{\theta_4}[\tilde{\phi}(X)], \quad \forall \theta_4<\theta_1 \]

\[\mathbb{E}_{\theta_5}[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_{\theta_5}[\tilde{\phi}(X)], \quad \forall \theta_5>\theta_2 \]

且\(\phi_2(x)\)在\(R^+\cup R^-\)上几乎处处唯一。

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二、引理6.4.2的严格证明

我们仅证明\(H_1:\theta=\theta_4 \ (\theta_4<\theta_1)\)的情形，\(H_1:\theta=\theta_5 \ (\theta_5>\theta_2)\)的证明完全对称。

步骤1：基于推广的N-P引理构造拒绝域

对应推广的N-P引理，令：

• 原假设两点的密度：\(f_1(x)=f(x,\theta_1), \ f_2(x)=f(x,\theta_2)\)
• 备择假设的密度：\(f_3(x)=f(x,\theta_4)\)

根据推广的N-P引理，最大化\(\mathbb{E}_{\theta_4}[\phi(X)]\)的检验，其拒绝域为：

\[R^+ = \{x: f(x,\theta_4) > c_1f(x,\theta_1) + c_2f(x,\theta_2)\} \]

将指数族密度代入，两边除以恒正的\(h(x)\)，得：

\[R^+ = \left\{x: a(\theta_4)e^{Q(\theta_4)T(x)} > c_1a(\theta_1)e^{Q(\theta_1)T(x)} + c_2a(\theta_2)e^{Q(\theta_2)T(x)}\right\} \]

由\(\theta_4<\theta_1<\theta_2\)且\(Q(\theta)\)严格递增，得\(Q(\theta_4)<Q(\theta_1)<Q(\theta_2)\)，这是后续分析的核心前提。

步骤2：排除不符合约束的参数情形

我们的目标是找到\(c_1,c_2\)，使得检验满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2]=\alpha\)，因此需要逐一排除不可能的\(c_1,c_2\)符号组合。

情形1：\(c_1\leq0\)且\(c_2\leq0\)

此时不等式右边\(c_1f_1 + c_2f_2 \leq 0\)，而左边\(f(x,\theta_4)>0\)，因此\(R^+=\mathcal{X}\)（全样本空间），即\(\phi_2(x)\equiv1\)。
此时\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2]=1\)，与\(0<\alpha<1\)的前提矛盾，排除。

情形2：\(c_1\leq0\)且\(c_2>0\)

将拒绝域不等式两边除以\(c_2a(\theta_2)e^{Q(\theta_2)T(x)}\)（恒正，不改变不等号方向），整理得：

\[R^+ = \left\{x: T(x)=t, \ g(t) = d_1e^{-b_1t} + d_2e^{-b_2t} > 1\right\} \]

其中：

\[d_1 = \frac{a(\theta_4)}{c_2a(\theta_2)} > 0, \quad d_2 = -\frac{c_1a(\theta_1)}{c_2a(\theta_2)} \geq 0 \]

\[-b_1 = Q(\theta_4)-Q(\theta_2) < 0, \quad -b_2 = Q(\theta_1)-Q(\theta_2) < 0 \implies b_1,b_2>0 \]

对\(g(t)\)求一阶导数：

\[g'(t) = -b_1d_1e^{-b_1t} - b_2d_2e^{-b_2t} < 0 \]

即\(g(t)\)是关于\(t\)的严格减函数，因此\(g(t)>1\)的解为\(T(x)<k\)（单边左拒绝域）。

根据单调似然比分布族的性质，单边左拒绝域对应的检验，其功效函数\(\beta(\theta)=\mathbb{E}_\theta[\phi(X)]\)是\(\theta\)的严格减函数，因此必有\(\beta(\theta_1) > \beta(\theta_2)\)，无法满足\(\beta(\theta_1)=\beta(\theta_2)=\alpha\)的约束，排除。

情形3：唯一可行情形\(c_1>0\)，进一步分析\(c_2\)的符号

由前两种情形的排除，必然有\(c_1>0\)。将拒绝域不等式两边除以\(c_1a(\theta_1)e^{Q(\theta_1)T(x)}\)（恒正），整理得：

\[R^+ = \left\{x: T(x)=t, \ g(t) = d_1e^{-b_1t} + d_2e^{b_2t} > 1\right\} \]

其中：

\[d_1 = \frac{a(\theta_4)}{c_1a(\theta_1)} > 0, \quad d_2 = -\frac{c_2a(\theta_2)}{c_1a(\theta_1)} \]

\[-b_1 = Q(\theta_4)-Q(\theta_1) < 0, \quad b_2 = Q(\theta_2)-Q(\theta_1) > 0 \implies b_1,b_2>0 \]

我们继续分析\(d_2\)的符号（即\(c_2\)的符号）：

• 若\(d_2\leq0\)（即\(c_2\geq0\)），对\(g(t)\)求一阶导数：

  \[g'(t) = -b_1d_1e^{-b_1t} + b_2d_2e^{b_2t} < 0 \]

  \(g(t)\)仍为严格减函数，拒绝域为单边左拒绝域，与情形2一致，无法满足\(\beta(\theta_1)=\beta(\theta_2)=\alpha\)，排除。

• 因此必然有\(d_2>0\)（即\(c_2<0\)），此时对\(g(t)\)求二阶导数：

  \[g''(t) = b_1^2d_1e^{-b_1t} + b_2^2d_2e^{b_2t} > 0 \]

  即\(g(t)\)是关于\(t\)的严格凸函数（开口向上的U型曲线）。

步骤3：确定拒绝域的最终形式

严格凸函数\(g(t)=1\)最多有两个解\(k_1<k_2\)，且：

• 当\(t<k_1\)或\(t>k_2\)时，\(g(t)>1\)，对应拒绝域；
• 当\(k_1<t<k_2\)时，\(g(t)<1\)，对应接受域。

因此拒绝域为：

\[R^+ = \{x: T(x)<k_1 \text{ 或 } T(x)>k_2\} \]

与引理中\(\phi_2(x)\)的形式完全一致。

步骤4：最优性与唯一性证明

由上述推导，\(\phi_2(x)\)满足推广的N-P引理的检验形式，且约束为等式\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2]=\alpha\)，符合推广的N-P引理的结论(1)。

因此对所有满足相同等式约束的\(\tilde{\phi}(x)\in\Phi'_\alpha\)，必有\(\mathbb{E}_{\theta_4}[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_{\theta_4}[\tilde{\phi}(X)]\)。

唯一性证明与经典N-P引理一致：若\(\tilde{\phi}\)也达到最大功效，则必须在\(R^+\cup R^-\)上满足\(\tilde{\phi}(x)=\phi_2(x)\)几乎处处成立，因此\(\phi_2(x)\)在\(R^+\cup R^-\)上唯一。

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三、引理6.4.2与引理6.4.1的核心差异

这两个引理是指数族双边检验的两大核心工具，但存在本质区别，我们通过表格清晰对比：

对比维度	引理6.4.1	引理6.4.2
检验问题	\(H_0:\theta=\theta_1/\theta_2 \leftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2\)（中间备择）	\(H_0:\theta=\theta_1/\theta_2 \leftrightarrow H_1:\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)（两侧备择）
检验形式	中间拒绝域（\(k_1<T<k_2\)时拒绝）	双边拒绝域（\(T<k_1\)或\(T>k_2\)时拒绝）
拉格朗日常数符号	\(c_1\geq0, c_2\geq0\)	\(c_1>0, c_2<0\)
适用的检验类	不等式约束检验类\(\Phi_\alpha\)（\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)）	仅等式约束检验类\(\Phi'_\alpha\)（\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]=\alpha\)）
最优性性质	全局最优势检验(MPT)	仅等式约束下的最优检验，非全局MPT
核心应用	证明检验(i)的全局UMPT	证明检验(ii)的UMPUT，补全检验(i)的水平有效性

关键差异的本质原因

推广的N-P引理的结论(2)（对不等式约束的检验类最优），要求\(c_1,c_2\)均非负；而引理6.4.2中\(c_2<0\)，不满足该条件，因此仅能对等式约束的检验类成立。

但这一限制恰好适配无偏检验的要求：根据无偏检验的边界性质，任何水平为\(\alpha\)的无偏检验，都必须满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi(X)]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(X)]=\alpha\)，因此引理6.4.2是求解UMPUT的核心工具。

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四、引理6.4.2的两大核心应用

应用1：补全检验(i)全局UMPT的证明

检验(i)的完整形式为：

\[(i) \quad H_0:\theta\leq\theta_1 \text{ 或 } \theta\geq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2 \]

我们已经证明\(\phi_1(x)\)是检验(i)''的UMPT，现在需要证明\(\phi_1(x)\)是水平为\(\alpha\)的检验，即对所有\(\theta\leq\theta_1\)或\(\theta\geq\theta_2\)，有\(\mathbb{E}_\theta[\phi_1(X)]\leq\alpha\)。

证明逻辑：

1. 取任意\(\theta_4<\theta_1\)，考虑检验\(\tilde{\phi}(x)\equiv\alpha\)，显然满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\tilde{\phi}]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\tilde{\phi}]=\alpha\)，属于等式约束检验类\(\Phi'_\alpha\)。
2. 引理6.4.2的对称情形（中间拒绝域的最优性）告诉我们，\(\phi_1(x)\)在\(\theta_4<\theta_1\)时的功效\(\beta_{\phi_1}(\theta_4)\)，是所有满足等式约束的检验中最小的，因此\(\beta_{\phi_1}(\theta_4) \leq \beta_{\tilde{\phi}}(\theta_4)=\alpha\)。
3. 同理，对任意\(\theta_5>\theta_2\)，有\(\beta_{\phi_1}(\theta_5) \leq \alpha\)。

因此\(\phi_1(x)\)在原假设全空间上满足\(\beta(\theta)\leq\alpha\)，是水平为\(\alpha\)的检验。结合其在备择空间上的一致最优性，\(\phi_1(x)\)是检验(i)的全局UMPT，完成了完整证明。

应用2：为检验(ii)的UMPUT提供核心支撑

检验(ii)的完整形式为：

\[(ii) \quad H_0:\theta_1\leq\theta\leq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2 \]

该问题不存在全局UMPT，我们需要在无偏检验类中寻找UMPUT。根据无偏检验的定义，所有无偏检验都必须满足边界条件\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi(X)]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(X)]=\alpha\)，恰好属于引理6.4.2的等式约束检验类\(\Phi'_\alpha\)。

引理6.4.2直接证明了：\(\phi_2(x)\)在所有无偏检验中，对任意\(\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)，功效都达到最大，因此\(\phi_2(x)\)就是检验(ii)的一致最优无偏检验(UMPUT)。

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五、核心结论总结

1. 引理6.4.2是推广的N-P引理在「双边拒绝域检验」中的具体应用，解决了两侧备择假设下，等式约束检验类的最优性问题；
2. 该引理的核心限制是仅对等式约束的检验类成立，本质是拉格朗日常数\(c_2<0\)，不满足非负条件，因此无法得到全局MPT，但完美适配无偏检验的边界约束；
3. 该引理是连接「简单假设检验」与「复合假设双边检验」的关键桥梁，既补全了检验(i)全局UMPT的证明，也为检验(ii)和(iii)的UMPUT提供了核心理论支撑。

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推论1与推论2 详细讲解、证明拆解与核心意义

承接之前的引理6.4.1与6.4.2，我们将完整拆解这两个推论的证明逻辑、核心结论与统计意义，完整衔接复合假设双边检验的理论链条。

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前置知识回顾

为保证逻辑连贯，先明确核心前置概念：

1. 单参数指数族：\(f(x,\theta)=a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)}\)，其中\(Q(\theta)\)为\(\theta\)的严格增函数，\(T(x)\)是\(\theta\)的充分统计量，功效函数\(\beta(\theta)=\mathbb{E}_\theta[\phi(X)]\)关于\(\theta\)连续。
2. 检验问题(ii)''：\(H_0:\theta=\theta_1 \text{ 或 } \theta=\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2\)
3. UMPUT（一致最优无偏检验）：需满足两个核心条件
   • 无偏性：原假设上\(\mathbb{E}_\theta[\phi(X)]\leq\alpha\)，备择假设上\(\mathbb{E}_\theta[\phi(X)]\geq\alpha\)；
   • 一致最优性：在所有水平为\(\alpha\)的无偏检验中，对任意备择\(\theta\)，功效\(\mathbb{E}_\theta[\phi(X)]\)达到最大。
4. 引理6.4.2核心结论：双边拒绝域检验\(\phi_2(x)\)（\(T<k_1\)或\(T>k_2\)时拒绝），在等式约束检验类\(\Phi'_\alpha=\{\phi:\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi]=\alpha\}\)中，对任意单点备择\(\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)是最优的，且检验形式与备择\(\theta\)无关。

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一、推论1 详细讲解与完整证明

1. 推论1正式表述

\(\phi_2(x)\)是以下假设检验问题的一致最优无偏检验（UMPUT）：

\[(ii)'' \quad H_0:\theta=\theta_1 \text{ 或 } \theta=\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2 \]

其中\(\phi_2(x)\)为双边拒绝域检验：

\[\phi_2(x) = \begin{cases} 1, & T(x)<k_1 \text{ 或 } T(x)>k_2 \\ \gamma_{2i}, & T(x)=k_i \ (i=1,2) \\ 0, & k_1<T(x)<k_2 \end{cases} \]

且满足约束\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2(X)]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2(X)]=\alpha\)。

2. 证明分步拆解

证明分为三大核心步骤，完整覆盖「一致最优性→无偏性→无偏检验类范围」的完整逻辑链。

步骤1：证明\(\phi_2(x)\)在整个备择空间的一致最优性

引理6.4.2仅证明了\(\phi_2(x)\)对单点备择\(\theta=\theta_4<\theta_1\)或\(\theta=\theta_5>\theta_2\)的最优性，而推论1需要推广到整个备择空间。

关键性质：\(\phi_2(x)\)的临界值\(k_1,k_2\)、随机化参数\(\gamma_{2i}\)，仅由\(\theta_1,\theta_2\)和显著性水平\(\alpha\)决定，与备择假设的具体取值\(\theta_4,\theta_5\)完全无关。

因此引理6.4.2的最优性结论，对所有\(\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)都成立，即对任意\(\tilde{\phi}\in\Phi'_\alpha\)，有：

\[\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)], \quad \forall \theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2 \]

这就证明了\(\phi_2(x)\)在\(\Phi'_\alpha\)类中，对整个备择空间是一致最优的。

步骤2：证明\(\phi_2(x)\)是水平为\(\alpha\)的无偏检验

无偏检验的两个要求，我们逐一验证：

1. 原假设约束：\(\phi_2(x)\)满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2]=\alpha\)，自然满足原假设上\(\mathbb{E}_\theta[\phi_2]\leq\alpha\)的水平要求。
2. 备择假设约束：取基准检验\(\phi^*(x)\equiv\alpha\)（恒等于\(\alpha\)的随机化检验），显然\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi^*]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi^*]=\alpha\)，即\(\phi^*\in\Phi'_\alpha\)。

根据步骤1的最优性结论，对任意备择\(\theta\)，有：

\[\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_\theta[\phi^*(X)] = \alpha \]

完美满足无偏检验在备择假设上的要求。

综上，\(\phi_2(x)\)是水平为\(\alpha\)的无偏检验。

步骤3：证明所有无偏检验都属于\(\Phi'_\alpha\)，完成UMPUT证明

设\(\tilde{\phi}(x)\)是检验(ii)''的任意一个水平为\(\alpha\)的无偏检验，我们证明它必然属于\(\Phi'_\alpha\)。

根据无偏性定义：

• 原假设上：\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)，\(\mathbb{E}_{\theta_2}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)；
• 备择假设上：\(\mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}]\geq\alpha\)，对所有\(\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)。

指数族的功效函数\(\beta(\theta)=\mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)]\)是关于\(\theta\)的连续函数，取\(\theta\to\theta_1^-\)（从左侧趋近\(\theta_1\)），由连续性得：

\[\lim_{\theta\to\theta_1^-} \beta(\theta) = \beta(\theta_1) = \mathbb{E}_{\theta_1}[\tilde{\phi}] \]

无偏性要求\(\lim_{\theta\to\theta_1^-} \beta(\theta)\geq\alpha\)，原假设要求\(\beta(\theta_1)\leq\alpha\)，因此只能取等号：\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\tilde{\phi}]=\alpha\)。

同理，取\(\theta\to\theta_2^+\)，可得\(\mathbb{E}_{\theta_2}[\tilde{\phi}]=\alpha\)。

这就证明了：检验(ii)''的所有水平为\(\alpha\)的无偏检验，都属于等式约束检验类\(\Phi'_\alpha\)。

结合步骤1的结论：\(\phi_2(x)\)在\(\Phi'_\alpha\)中是一致最优的，因此\(\phi_2(x)\)在所有无偏检验中一致最优，即\(\phi_2(x)\)是检验(ii)''的水平为\(\alpha\)的UMPUT。

3. 推论1的核心意义

1. 把引理6.4.2的「单点备择最优检验」推广到「复合备择的一致最优无偏检验」，解决了两点原假设检验(ii)''的UMPUT存在性与构造问题；
2. 明确了无偏检验类的范围：所有无偏检验必须满足原假设两点的功效严格等于\(\alpha\)，为后续复合原假设检验(ii)的UMPUT证明奠定了核心基础。

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二、推论2 详细讲解与完整证明

1. 推论2正式表述

记\(\phi_2'(x) = 1 - \phi_1(x)\)，其中\(\phi_1(x)\)是引理6.4.1中检验(i)''的UMPT（中间拒绝域检验）：

\[\phi_1(x) = \begin{cases} 1, & k_1<T(x)<k_2 \\ \gamma_{1i}, & T(x)=k_i \ (i=1,2) \\ 0, & T(x)<k_1 \text{ 或 } T(x)>k_2 \end{cases} \]

且满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_1(X)]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_1(X)]=\alpha\)。

则\(\phi_2'(x)\)是检验(ii)''的水平为\(1-\alpha\)的UMPUT。

2. 证明分步拆解

证明核心是利用检验的对偶性，结合推论1与引理的唯一性结论完成。

步骤1：推导\(\phi_2'(x)\)的具体形式

由\(\phi_2'(x)=1-\phi_1(x)\)，直接代入\(\phi_1(x)\)的形式，分情况计算：

• 当\(T(x)<k_1\)或\(T(x)>k_2\)时，\(\phi_1(x)=0\)，因此\(\phi_2'(x)=1\)；
• 当\(T(x)=k_i\)时，\(\phi_1(x)=\gamma_{1i}\)，因此\(\phi_2'(x)=1-\gamma_{1i}\)；
• 当\(k_1<T(x)<k_2\)时，\(\phi_1(x)=1\)，因此\(\phi_2'(x)=0\)。

最终\(\phi_2'(x)\)的形式为：

\[\phi_2'(x) = \begin{cases} 1, & T(x)<k_1 \text{ 或 } T(x)>k_2 \\ 1-\gamma_{1i}, & T(x)=k_i \ (i=1,2) \\ 0, & k_1<T(x)<k_2 \end{cases} \]

完全符合引理6.4.2中双边拒绝域检验的标准形式，与推论1中UMPUT的形式一致。

步骤2：验证\(\phi_2'(x)\)的水平为\(1-\alpha\)

由期望的线性性质，对\(i=1,2\)有：

\[\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_2'(X)] = \mathbb{E}_{\theta_i}[1-\phi_1(X)] = 1 - \mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_1(X)] \]

而\(\phi_1(x)\)满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_1(X)]=\alpha\)，因此：

\[\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_2'(X)] = 1-\alpha, \quad i=1,2 \]

即\(\phi_2'(x)\in\Phi'_{1-\alpha}\)，满足水平为\(1-\alpha\)的等式约束。

步骤3：结合唯一性与推论1，证明是UMPUT

根据推论1，检验(ii)''的水平为\(1-\alpha\)的UMPUT，必须是满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi]=1-\alpha\)的双边拒绝域检验；同时根据引理6.4.2，这种检验在\(R^+\cup R^-\)上是几乎处处唯一的。

而\(\phi_2'(x)\)恰好满足：

1. 双边拒绝域的标准形式；
2. 水平\(1-\alpha\)的等式约束；
3. 唯一性保证它就是检验(ii)''的水平为\(1-\alpha\)的UMPUT。

3. 推论2的核心意义：检验的对偶性

这个推论揭示了假设检验中非常重要的对偶性质，大幅简化了双边检验的构造：

1. 拒绝域与接受域的对偶：检验(i)''的UMPT\(\phi_1(x)\)，拒绝域是中间区间\(k_1<T<k_2\)；其补检验\(1-\phi_1(x)\)的拒绝域正好是两侧区间\(T<k_1\)或\(T>k_2\)，完美对应检验(ii)''的拒绝域要求。
2. 检验类型的对偶：中间拒绝域的UMPT，其补检验就是双边拒绝域的UMPUT，仅需调整显著性水平为\(1-\alpha\)，无需重复推导临界值。
3. 计算简化：实际应用中，我们只需要求出检验(i)的临界值，就可以直接得到检验(ii)的临界值，大幅降低计算量。

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三、核心结论总结表格

对比维度	推论1	推论2
核心结论	双边拒绝域检验\(\phi_2(x)\)是检验(ii)''的水平为\(\alpha\)的UMPUT	检验(i)''的UMPT\(\phi_1(x)\)的补检验\(1-\phi_1(x)\)，是检验(ii)''的水平为\(1-\alpha\)的UMPUT
检验形式	双边拒绝域：\(T<k_1\)或\(T>k_2\)时拒绝\(H_0\)	双边拒绝域：\(T<k_1\)或\(T>k_2\)时拒绝\(H_0\)，与\(\phi_1(x)\)的拒绝域完全相反
约束条件	\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2]=\alpha\)	\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2']=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2']=1-\alpha\)
核心逻辑	1. 检验形式与备择\(\theta\)无关，推广到复合备择； 2. 所有无偏检验都属于等式约束类\(\Phi'_\alpha\)； 3. 引理6.4.2保证一致最优性	1. 补检验符合双边拒绝域的标准形式； 2. 期望线性性保证水平匹配； 3. 唯一性保证其为UMPUT
理论价值	完成两点原假设双边检验的UMPUT构造，为复合原假设检验(ii)奠基	揭示中间拒绝域与双边拒绝域检验的对偶性，打通两类双边检验的理论关联
应用价值	给出双边检验UMPUT的标准构造方法	简化双边检验的计算，无需重复求解临界值

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定理6.4.2与6.4.3 完整讲解、证明拆解与核心差异

承接之前的引理与推论，这两个定理是单参数指数族双边检验的核心最终结论，分别解决了两类复合原假设双边检验的最优检验构造问题，明确了全局UMPT与UMPUT的适用场景。

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前置知识回顾

1. 单参数指数族标准形式：\(f(x,\theta) = a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)}\)，其中\(Q(\theta)\)为\(\theta\)的严格增函数，\(T(x)\)是\(\theta\)的充分统计量，功效函数\(\beta(\theta)=\mathbb{E}_\theta[\phi(X)]\)关于\(\theta\)连续。
2. 两类核心复合双边检验：
   • 检验(i)（带内检验）：\(H_0:\theta\leq\theta_1 \text{ 或 } \theta\geq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2\)
   • 检验(ii)（带外检验）：\(H_0:\theta_1\leq\theta\leq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2\)
3. 关键检验形式：
   • 中间拒绝域检验\(\phi_1(x)\)：\(k_1<T(x)<k_2\)时拒绝\(H_0\)，满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_1]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_1]=\alpha\)
   • 双边拒绝域检验\(\phi_2(x)\)：\(T(x)<k_1\)或\(T(x)>k_2\)时拒绝\(H_0\)，满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2]=\alpha\)
4. 核心引理结论：
   • 引理6.4.1：\(\phi_1(x)\)是两点原假设检验(i)''的UMPT，对所有满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)的检验，备择上功效最优（基于推广N-P引理结论(2)，\(c_1,c_2\geq0\)）
   • 引理6.4.2：\(\phi_2(x)\)是两点原假设检验(ii)''的UMPUT，仅对满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]=\alpha\)的检验，备择上功效最优（基于推广N-P引理结论(1)，\(c_1,c_2\)可负）

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一、定理6.4.2 详细讲解与证明拆解

1. 定理正式表述

对于假设检验问题

\[(i) \quad H_0:\theta\leq\theta_1 \text{ 或 } \theta\geq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2 \]

若存在\(k_i,\gamma_{1i}(i=1,2)\)，使得中间拒绝域检验\(\phi_1(x)\)满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_1(X)]=\alpha(i=1,2)\)，则\(\phi_1(x)\)是检验(i)的一致最优检验（UMPT）。

2. 证明分步拆解

证明分为两大核心步骤：第一步证明\(\phi_1(x)\)是水平为\(\alpha\)的检验（原假设上满足第一类错误概率约束）；第二步证明\(\phi_1(x)\)在备择假设上是一致最优的。

步骤1：证明\(\phi_1(x)\)是水平为\(\alpha\)的检验

水平为\(\alpha\)的检验要求：对所有\(\theta\in\Theta_0\)（即\(\theta\leq\theta_1\)或\(\theta\geq\theta_2\)），有\(\mathbb{E}_\theta[\phi_1(X)]\leq\alpha\)。

我们利用检验的对偶性和推论2的结论完成证明：

1. 由推论2，\(\phi_2'(x)=1-\phi_1(x)\)是检验(ii)''的水平为\(1-\alpha\)的UMPUT，即对所有\(\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)，\(\phi_2'(x)\)在所有满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]=1-\alpha\)的检验中功效最优。
2. 取基准检验\(\tilde{\phi}(x)\equiv1-\alpha\)，显然满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]=1-\alpha\)，因此由最优性有：
   \[\mathbb{E}_\theta[\phi_2'(X)] \geq \mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)] = 1-\alpha, \quad \forall \theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2 \]

3. 代入\(\phi_2'(x)=1-\phi_1(x)\)，由期望的线性性质得：
   \[\mathbb{E}_\theta[1-\phi_1(X)] \geq 1-\alpha \]
   移项化简后直接得到：
   \[\mathbb{E}_\theta[\phi_1(X)] \leq \alpha, \quad \forall \theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2 \]

4. 同时，\(\phi_1(x)\)在边界点满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_1]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_1]=\alpha\)，因此对所有\(\theta\in\Theta_0\)，都有\(\mathbb{E}_\theta[\phi_1(X)]\leq\alpha\)，即\(\phi_1(x)\)是水平为\(\alpha\)的检验。

步骤2：证明\(\phi_1(x)\)是一致最优的

一致最优性要求：对任意水平为\(\alpha\)的检验\(\tilde{\phi}(x)\)，以及所有\(\theta\in\Theta_1\)（\(\theta_1<\theta<\theta_2\)），有\(\mathbb{E}_\theta[\phi_1(X)]\geq\mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)]\)。

证明逻辑：

1. 设\(\tilde{\phi}(x)\)是检验(i)的任意一个水平为\(\alpha\)的检验，即对所有\(\theta\leq\theta_1\)或\(\theta\geq\theta_2\)，有\(\mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)]\leq\alpha\)。
2. 特别地，在边界点\(\theta=\theta_1\)和\(\theta=\theta_2\)处，必然满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)、\(\mathbb{E}_{\theta_2}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)，即\(\tilde{\phi}(x)\)属于引理6.4.1中的不等式约束检验类\(\Phi_\alpha\)。
3. 根据引理6.4.1的推论，\(\phi_1(x)\)是检验(i)''的UMPT，对所有\(\tilde{\phi}\in\Phi_\alpha\)，以及任意\(\theta_1<\theta<\theta_2\)，都有：
   \[\mathbb{E}_\theta[\phi_1(X)] \geq \mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)] \]

4. 这就证明了\(\phi_1(x)\)在所有水平为\(\alpha\)的检验中，对备择假设全空间的功效一致最高。

综上，\(\phi_1(x)\)是检验(i)的水平为\(\alpha\)的UMPT。

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二、定理6.4.3 详细讲解与证明拆解

1. 定理正式表述

对于假设检验问题

\[(ii) \quad H_0:\theta_1\leq\theta\leq\theta_2 \longleftrightarrow H_1:\theta<\theta_1 \text{ 或 } \theta>\theta_2 \]

若存在\(k_i,\gamma_{2i}(i=1,2)\)，使得双边拒绝域检验\(\phi_2(x)\)满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_2(X)]=\alpha(i=1,2)\)，则\(\phi_2(x)\)是检验(ii)的一致最优无偏检验（UMPUT）。

2. 证明分步拆解

证明分为两大核心步骤：第一步证明\(\phi_2(x)\)是水平为\(\alpha\)的无偏检验；第二步证明\(\phi_2(x)\)在所有无偏检验中是一致最优的。

步骤1：证明\(\phi_2(x)\)是水平为\(\alpha\)的无偏检验

无偏检验需要满足两个条件：

1. 水平约束：对所有\(\theta\in\Theta_0\)（\(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)），\(\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)]\leq\alpha\)；
2. 无偏性：对所有\(\theta\in\Theta_1\)（\(\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)），\(\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)]\geq\alpha\)。

我们同样利用对偶性和引理6.4.1的结论完成证明：

1. 构造补检验\(\phi_1'(x)=1-\phi_2(x)\)，代入\(\phi_2(x)\)的形式，可得\(\phi_1'(x)\)是中间拒绝域检验：
   \[\phi_1'(x) = \begin{cases} 1, & k_1<T(x)<k_2 \\ 1-\gamma_{2i}, & T(x)=k_i \\ 0, & T(x)<k_1 \text{ 或 } T(x)>k_2 \end{cases} \]

2. 由\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_2]=\alpha\)，得\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_1']=1-\alpha(i=1,2)\)，符合引理6.4.1的检验形式，因此\(\phi_1'(x)\)是检验(i)''的水平为\(1-\alpha\)的UMPT。
3. 取基准检验\(\tilde{\phi}(x)\equiv1-\alpha\)，由最优性得：对所有\(\theta_1<\theta<\theta_2\)，有
   \[\mathbb{E}_\theta[\phi_1'(X)] \geq \mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)] = 1-\alpha \]

4. 代入\(\phi_1'(x)=1-\phi_2(x)\)，化简得：
   \[1-\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)] \geq 1-\alpha \implies \mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)] \leq \alpha, \quad \forall \theta_1<\theta<\theta_2 \]
   结合边界点\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi_2]=\alpha\)，对所有\(\theta\in\Theta_0\)，都有\(\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)]\leq\alpha\)，满足水平约束。
5. 无偏性验证：根据引理6.4.2的推论1，已经证明对所有\(\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)，有\(\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)]\geq\alpha\)，满足无偏性要求。

综上，\(\phi_2(x)\)是检验(ii)的水平为\(\alpha\)的无偏检验。

步骤2：证明\(\phi_2(x)\)是一致最优无偏检验

一致最优无偏性要求：对任意水平为\(\alpha\)的无偏检验\(\tilde{\phi}(x)\)，以及所有\(\theta\in\Theta_1\)，有\(\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)]\geq\mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)]\)。

证明逻辑：

1. 设\(\tilde{\phi}(x)\)是检验(ii)的任意一个水平为\(\alpha\)的无偏检验，根据无偏检验的边界性质，指数族的功效函数连续，因此必然满足：
   \[\mathbb{E}_{\theta_1}[\tilde{\phi}(X)] = \alpha, \quad \mathbb{E}_{\theta_2}[\tilde{\phi}(X)] = \alpha \]
   即\(\tilde{\phi}(x)\)属于等式约束检验类\(\Phi'_\alpha\)。
2. 根据引理6.4.2的推论1，\(\phi_2(x)\)是检验(ii)''的UMPUT，对所有\(\tilde{\phi}\in\Phi'_\alpha\)，以及任意\(\theta<\theta_1\)或\(\theta>\theta_2\)，都有：
   \[\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)] \]

3. 这就证明了\(\phi_2(x)\)在所有水平为\(\alpha\)的无偏检验中，对备择假设全空间的功效一致最高。

综上，\(\phi_2(x)\)是检验(ii)的水平为\(\alpha\)的UMPUT。

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三、两个定理的核心差异与本质原因

1. 核心差异对比表

对比维度	定理6.4.2（检验(i)）	定理6.4.3（检验(ii)）
检验问题	\(H_0:\theta\leq\theta_1/\theta\geq\theta_2 \leftrightarrow H_1:\theta_1<\theta<\theta_2\)	\(H_0:\theta_1\leq\theta\leq\theta_2 \leftrightarrow H_1:\theta<\theta_1/\theta>\theta_2\)
检验形式	中间拒绝域：\(k_1<T<k_2\)时拒绝\(H_0\)	双边拒绝域：\(T<k_1\)或\(T>k_2\)时拒绝\(H_0\)
最优检验类型	全局一致最优检验（UMPT）	一致最优无偏检验（UMPUT）
适用检验类	所有水平为\(\alpha\)的检验（不等式约束\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)）	仅水平为\(\alpha\)的无偏检验（等式约束\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]=\alpha\)）
理论依据	推广N-P引理结论(2)（要求\(c_1\geq0,c_2\geq0\)）	推广N-P引理结论(1)（不要求\(c_1,c_2\)非负）
最优性范围	全检验类中一致最优	仅无偏检验类中一致最优，无全局UMPT

2. 本质原因

两个定理的最优性差异，根源是推广的Neyman-Pearson引理两个结论的适用条件不同：

1. 定理6.4.2对应的\(\phi_1(x)\)，其构造用到的拉格朗日常数\(c_1,c_2\)均非负，满足推广N-P引理结论(2)的条件，因此最优性可以覆盖所有满足不等式约束的水平为\(\alpha\)的检验，得到全局UMPT。
2. 定理6.4.3对应的\(\phi_2(x)\)，其构造用到的拉格朗日常数\(c_2<0\)，不满足结论(2)的非负要求，只能用推广N-P引理的结论(1)，最优性仅能覆盖满足等式约束的检验类。而无偏检验恰好都满足等式约束，因此只能得到无偏检验类中的最优检验（UMPUT），不存在全局UMPT。

3. 关键注释解读

定理6.4.2是双边检验章节唯一的全局UMPT，其余所有双边检验（包括检验(ii)、点原假设的双侧检验(iii)）都不存在全局UMPT，仅能找到UMPUT。这是双边检验与单边检验最核心的区别之一。

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四、最终结论总结

1. 单参数指数族的两类复合双边检验，都可以通过充分统计量\(T(x)\)构造最优检验，临界值由原假设边界点的功效约束\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\phi]=\alpha\)唯一确定。
2. 带内检验（检验(i)）存在全局UMPT，为中间拒绝域检验，在所有水平为\(\alpha\)的检验中功效一致最优。
3. 带外检验（检验(ii)）不存在全局UMPT，仅存在UMPUT，为双边拒绝域检验，在所有无偏检验中功效一致最优。
4. 两类检验的构造具有对偶性：检验(i)的UMPT的补检验，就是检验(ii)的水平为\(1-\alpha\)的UMPUT，大幅简化了实际应用中的计算与构造。

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点原假设双侧检验(iii)与引理6.4.3 完整讲解、推导证明与核心意义

一、检验问题(iii)的背景与核心难点

我们研究的是数理统计中最常用的点原假设双侧检验：

\[(iii) \quad H_0:\theta=\theta_0 \longleftrightarrow H_1:\theta\neq\theta_0 \]

1.1 检验的定位

该检验是区间原假设双边检验(ii)的特例（令\(\theta_1=\theta_2=\theta_0\)），因此其最优检验的形式与检验(ii)一致，为双边拒绝域检验：

\[\phi(x) = \begin{cases} 1, & T(x) < k_1 \text{ 或 } T(x) > k_2 \\ \gamma_i, & T(x)=k_i \ (i=1,2) \\ 0, & k_1 < T(x) < k_2 \end{cases} \]

其中\(T(x)\)是单参数指数族中\(\theta\)的充分统计量。

1.2 核心难点：定解条件不足

• 对于区间原假设检验(ii)，我们通过两个边界条件\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi(X)]=\alpha\)、\(\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(X)]=\alpha\)，可以唯一确定两个临界值\(k_1,k_2\)；
• 对于点原假设检验(iii)，原假设仅含单点\(\theta_0\)，天然只有一个定解条件\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)]=\alpha\)，无法唯一确定两个临界值，必须补充第二个约束条件。

1.3 补充条件的来源：无偏检验的性质

检验(iii)不存在全局UMPT，我们需要在无偏检验类中寻找UMPUT。无偏检验的核心性质是：
功效函数\(\beta(\theta)=\mathbb{E}_\theta[\phi(X)]\)在\(\theta_0\)处取得极小值（原假设处功效为\(\alpha\)，备择假设处功效≥α），而指数族的功效函数连续可导，因此极小值点满足\(\beta'(\theta_0)=0\)，这就是我们需要的第二个定解条件。

引理6.4.3的核心目标，就是推导指数族下功效函数的导数表达式，并给出\(\beta'(\theta_0)=0\)的等价可计算条件。

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二、引理6.4.3 完整表述与分步证明

引理6.4.3 正式表述

对于单参数指数族分布\(f(x,\theta) = a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)}\)，有以下三个核心结论：

1. 充分统计量\(T(X)\)的期望可表示为：
   \[\mathbb{E}_\theta[T(X)] = -\frac{a'(\theta)}{a(\theta)Q'(\theta)} \tag{6.4.18} \]

2. 检验函数\(\phi(x)\)的功效函数\(\beta(\theta)\)的导数为：
   \[\beta'(\theta) = Q'(\theta)\left\{ \mathbb{E}_\theta[\phi(X)T(X)] - \mathbb{E}_\theta[T(X)]\mathbb{E}_\theta[\phi(X)] \right\} \tag{6.4.19} \]

3. 检验(iii)的任一水平为\(\alpha\)的无偏检验，满足\(\beta'(\theta_0)=0\)，其等价条件为：
   \[\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)T(X)] = \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)]\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)] \tag{6.4.20} \]

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分步证明

步骤1：证明充分统计量的期望公式(6.4.18)

指数族的概率密度满足归一性：对任意\(\theta\)，密度在全样本空间的积分等于1，即

\[\int_{\mathcal{X}} a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) = 1 \tag{*} \]

指数族满足正则条件，积分与求导可交换顺序，因此对(*)式两边关于\(\theta\)求导：

\[\frac{d}{d\theta} \int_{\mathcal{X}} a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) = \frac{d}{d\theta}1 = 0 \]

根据乘积求导法则展开左边的导数：

\[\int_{\mathcal{X}} \left[ a'(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} + a(\theta)h(x) \cdot Q'(\theta)T(x) e^{Q(\theta)T(x)} \right] d\mu(x) = 0 \]

将积分拆分为两项，并提取公因子：

\[a'(\theta) \int_{\mathcal{X}} h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) + a(\theta)Q'(\theta) \int_{\mathcal{X}} T(x) h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) = 0 \]

结合密度的定义\(f(x,\theta)=a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)}\)，对两项分别变形：

• 第一项：\(\int_{\mathcal{X}} h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) = \frac{1}{a(\theta)} \int_{\mathcal{X}} f(x,\theta) d\mu(x) = \frac{1}{a(\theta)}\)（归一性）
• 第二项：\(\int_{\mathcal{X}} T(x) h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) = \frac{1}{a(\theta)} \int_{\mathcal{X}} T(x)f(x,\theta) d\mu(x) = \frac{\mathbb{E}_\theta[T(X)]}{a(\theta)}\)（期望定义）

将两项代入求导后的等式：

\[a'(\theta) \cdot \frac{1}{a(\theta)} + a(\theta)Q'(\theta) \cdot \frac{\mathbb{E}_\theta[T(X)]}{a(\theta)} = 0 \]

化简后得到：

\[\frac{a'(\theta)}{a(\theta)} + Q'(\theta)\mathbb{E}_\theta[T(X)] = 0 \]

移项整理，最终得到(6.4.18)式：

\[\mathbb{E}_\theta[T(X)] = -\frac{a'(\theta)}{a(\theta)Q'(\theta)} \]

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步骤2：证明功效函数的导数公式(6.4.19)

功效函数的定义为：

\[\beta(\theta) = \mathbb{E}_\theta[\phi(X)] = \int_{\mathcal{X}} \phi(x) f(x,\theta) d\mu(x) = \int_{\mathcal{X}} \phi(x) a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) \]

同样利用正则条件，交换积分与求导顺序，对\(\theta\)求导：

\[\beta'(\theta) = \int_{\mathcal{X}} \phi(x) \cdot \frac{d}{d\theta}\left[ a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} \right] d\mu(x) \]

展开导数（与步骤1完全一致），拆分为两项：

\[\beta'(\theta) = a'(\theta)\int_{\mathcal{X}} \phi(x)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) + a(\theta)Q'(\theta)\int_{\mathcal{X}} \phi(x)T(x)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) \]

对两项分别变形，结合密度定义：

• 第一项：\(\int_{\mathcal{X}} \phi(x)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) = \frac{1}{a(\theta)} \int_{\mathcal{X}} \phi(x)f(x,\theta) d\mu(x) = \frac{\beta(\theta)}{a(\theta)}\)
• 第二项：\(\int_{\mathcal{X}} \phi(x)T(x)h(x)e^{Q(\theta)T(x)} d\mu(x) = \frac{1}{a(\theta)} \mathbb{E}_\theta[\phi(X)T(X)]\)

代入导数表达式：

\[\beta'(\theta) = a'(\theta) \cdot \frac{\beta(\theta)}{a(\theta)} + a(\theta)Q'(\theta) \cdot \frac{\mathbb{E}_\theta[\phi(X)T(X)]}{a(\theta)} \]

化简后：

\[\beta'(\theta) = \frac{a'(\theta)}{a(\theta)}\beta(\theta) + Q'(\theta)\mathbb{E}_\theta[\phi(X)T(X)] \]

此时将步骤1得到的\(\frac{a'(\theta)}{a(\theta)} = -Q'(\theta)\mathbb{E}_\theta[T(X)]\)代入上式，替换掉\(\frac{a'(\theta)}{a(\theta)}\)：

\[\beta'(\theta) = -Q'(\theta)\mathbb{E}_\theta[T(X)] \cdot \beta(\theta) + Q'(\theta)\mathbb{E}_\theta[\phi(X)T(X)] \]

提取公因子\(Q'(\theta)\)，最终得到(6.4.19)式：

\[\beta'(\theta) = Q'(\theta)\left\{ \mathbb{E}_\theta[\phi(X)T(X)] - \mathbb{E}_\theta[T(X)]\mathbb{E}_\theta[\phi(X)] \right\} \]

补充理解：该式的统计意义是\(\beta'(\theta) = Q'(\theta) \cdot \text{Cov}_\theta\left( \phi(X), T(X) \right)\)，即功效函数的导数与检验函数和充分统计量的协方差成正比，直观反映了参数变化时检验功效的变化速率。

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步骤3：证明无偏检验的等价条件(6.4.20)

对于检验(iii)的水平为\(\alpha\)的无偏检验，满足两个核心性质：

1. 水平条件：原假设为单点\(\theta_0\)，因此\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)] = \beta(\theta_0) = \alpha\)；
2. 无偏性：对所有\(\theta\neq\theta_0\)，\(\beta(\theta) \geq \alpha\)，即\(\theta_0\)是功效函数\(\beta(\theta)\)的极小值点。

由于指数族的功效函数连续可导，极小值点处的一阶导数必为0，即\(\beta'(\theta_0) = 0\)。

将\(\beta'(\theta_0)=0\)代入(6.4.19)式：

\[Q'(\theta_0)\left\{ \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)T(X)] - \mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)] \right\} = 0 \]

由于\(Q(\theta)\)是\(\theta\)的严格增函数，因此\(Q'(\theta_0) \neq 0\)，要使等式成立，必须满足大括号内的项为0：

\[\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)T(X)] - \mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)] = 0 \]

结合水平条件\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)] = \alpha\)，代入后直接得到(6.4.20)式：

\[\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)T(X)] = \alpha \mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)] \]

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三、引理6.4.3的核心意义与应用价值

1. 解决了定解条件不足的核心问题
   该引理为点原假设双侧检验补充了第二个定解条件，结合\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)]=\alpha\)，两个方程可以唯一确定双边检验的两个临界值\(k_1,k_2\)（以及随机化参数），为构造检验(iii)的UMPUT提供了可计算的约束。

2. 揭示了无偏检验的本质特征
   点原假设双侧检验的无偏检验，不仅要满足原假设处的第一类错误概率为\(\alpha\)，还要满足检验函数与充分统计量在原假设下不相关（协方差为0），这是功效函数在原假设处取得极小值的等价条件。

3. 衔接了区间原假设与点原假设双边检验
   区间原假设检验(ii)用两个边界点的功效约束定解，点原假设检验(iii)用原假设点的功效约束+导数约束定解，本质是检验(ii)在\(\theta_1\to\theta_2=\theta_0\)时的极限情况，该引理完成了两类双边检验的理论衔接。

4. 为实际应用提供了直接的计算依据
   实际应用中，正态分布的双侧z检验、t检验，二项分布的双侧检验等常用的点原假设双侧检验，其临界值的确定本质上都基于这两个约束条件，该引理为这些经典检验的最优性提供了理论支撑。

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定理6.4.4 点原假设双侧检验的UMPUT 完整讲解与严格证明

一、问题回顾与核心思路

1.1 检验问题与核心难点

我们研究的是数理统计中最常用的点原假设双侧检验：

\[(iii) \quad H_0:\theta=\theta_0 \longleftrightarrow H_1:\theta\neq\theta_0 \]

该检验是区间原假设双边检验(ii)的特例（\(\theta_1=\theta_2=\theta_0\)），核心难点在于定解条件不足：

• 区间原假设检验(ii)可通过两个边界条件\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi]=\alpha\)、\(\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi]=\alpha\)确定两个临界值；
• 点原假设仅能提供一个天然约束\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)]=\alpha\)，无法唯一确定双边检验的两个临界值\(k_1,k_2\)。

1.2 解决思路：转化为推广N-P引理的双约束问题

根据引理6.4.3，检验(iii)的任一无偏检验必须满足两个条件：

1. 水平约束：\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)] = \alpha\)（原假设处第一类错误概率为\(\alpha\)）；
2. 无偏性等价约束：\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\)（功效函数在\(\theta_0\)处导数为0，即\(\beta'(\theta_0)=0\)）。

这两个等式约束恰好匹配推广的Neyman-Pearson引理的双等式约束条件，因此我们可以通过推广的N-P引理，在满足这两个约束的检验类中，找到备择假设全空间上功效一致最优的检验，即UMPUT。

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二、定理6.4.4 正式表述

定义约束检验类

记满足检验(iii)无偏性双约束的检验类为：

\[\widetilde{\Phi}'_\alpha = \left\{ \phi(x): \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)] = \alpha \triangleq \alpha_1,\ \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)] \triangleq \alpha_2 \right\} \]

定理核心结论

1. 一致最优性：若存在\(k_i,\gamma_{2i}(i=1,2)\)，使得双边拒绝域检验
   \[\phi_2(x) = \begin{cases} 1, & T(x) < k_1 \text{ 或 } T(x) > k_2 \\ \gamma_{2i}, & T(x)=k_i \ (i=1,2) \\ 0, & k_1 < T(x) < k_2 \end{cases} \]
   满足\(\phi_2(x) \in \widetilde{\Phi}'_\alpha\)，则对任意\(\theta_1 \neq \theta_0\)、任意\(\tilde{\phi}(x) \in \widetilde{\Phi}'_\alpha\)，有
   \[\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_{\theta_1}[\tilde{\phi}(X)] \]

2. UMPUT结论：上述\(\phi_2(x)\)是检验问题(iii)的一致最优无偏检验（UMPUT），即检验(iii)的UMPUT必为双边拒绝域形式，且满足约束
   \[\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(X)] = \alpha, \quad \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(X)T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)] \]

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三、定理的分步严格证明

证明(1)：双约束检验类中的一致最优性

步骤1：匹配推广N-P引理的记号

为应用推广的N-P引理，定义三个密度函数：

• 原假设密度：\(f_1(x) = f(x,\theta_0) = a(\theta_0)h(x)e^{Q(\theta_0)T(x)}\)，对应第一个约束\(\int \phi f_1 d\mu = \alpha_1 = \alpha\)；
• 辅助密度：\(f_2(x) = T(x)f(x,\theta_0) = T(x)a(\theta_0)h(x)e^{Q(\theta_0)T(x)}\)，对应第二个约束\(\int \phi f_2 d\mu = \alpha_2 = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\)；
• 备择假设密度：\(f_3(x) = f(x,\theta_1) = a(\theta_1)h(x)e^{Q(\theta_1)T(x)}\)，其中\(\theta_1 \neq \theta_0\)为任意备择点。

根据定义，对任意\(\tilde{\phi}(x) \in \widetilde{\Phi}'_\alpha\)，恰好满足推广N-P引理的双等式约束：

\[\int_{\mathcal{X}} \tilde{\phi}(x)f_1(x)d\mu(x) = \alpha_1, \quad \int_{\mathcal{X}} \tilde{\phi}(x)f_2(x)d\mu(x) = \alpha_2 \]

步骤2：构造推广N-P引理的拒绝域

根据推广的N-P引理，最大化\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi(X)]\)的检验，其拒绝域为：

\[R^+ = \left\{ x: f_3(x) > c_1f_1(x) + c_2f_2(x) \right\} \]

将指数族密度代入，两边除以恒正的\(h(x)e^{Q(\theta_0)T(x)}\)，化简得：

\[a(\theta_1)e^{[Q(\theta_1)-Q(\theta_0)]T(x)} > c_1a(\theta_0) + c_2a(\theta_0)T(x) \]

令\(b = Q(\theta_1)-Q(\theta_0)\)（因\(Q(\theta)\)严格单调，\(b\neq0\)），\(d_1 = \frac{c_1a(\theta_0)}{a(\theta_1)}\)，\(d_2 = \frac{c_2a(\theta_0)}{a(\theta_1)}\)，则拒绝域等价于：

\[R^+ = \left\{ x: T(x)=t,\ e^{bt} > d_1 + d_2t \right\} \]

步骤3：排除无效的拒绝域形式

指数函数\(e^{bt}\)与直线\(d_1+d_2t\)的交点数仅有3种可能，我们逐一排除不符合约束的情形：

1. 无交点：此时\(e^{bt} > d_1+d_2t\)对所有\(t\)成立，\(R^+=\mathcal{X}\)，即\(\phi_2(x)\equiv1\)，此时\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2]=1\)，与\(0<\alpha<1\)矛盾，排除。
2. 仅有1个交点：此时拒绝域为单边形式\(R^+=\{T(x)<k\}\)或\(\{T(x)>k\}\)，对应的检验是单边检验。
   单边检验的功效函数是关于\(\theta\)的严格单调函数，因此\(\beta'(\theta_0) \neq 0\)，不满足无偏性的等价约束\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi T] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T]\)，即无法满足\(\phi_2(x) \in \widetilde{\Phi}'_\alpha\)，排除。
3. 有2个交点：这是唯一可行的情形。设两个交点为\(k_1<k_2\)，则\(e^{bt} > d_1+d_2t\)的解为\(t<k_1\)或\(t>k_2\)，即拒绝域为：
   \[R^+ = \{x: T(x)<k_1 \text{ 或 } T(x)>k_2\} \]
   完全匹配双边拒绝域检验\(\phi_2(x)\)的形式。

步骤4：一致最优性证明

若\(\phi_2(x) \in \widetilde{\Phi}'_\alpha\)，则满足推广N-P引理的双等式约束，根据推广N-P引理的结论(1)，对任意\(\tilde{\phi}(x) \in \widetilde{\Phi}'_\alpha\)，有：

\[\int_{\mathcal{X}} \phi_2(x)f_3(x)d\mu(x) \geq \int_{\mathcal{X}} \tilde{\phi}(x)f_3(x)d\mu(x) \]

即\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_{\theta_1}[\tilde{\phi}(X)]\)。

同时，\(\phi_2(x)\)的形式与备择点\(\theta_1\)无关，因此该不等式对所有\(\theta_1 \neq \theta_0\)成立，即\(\phi_2(x)\)在\(\widetilde{\Phi}'_\alpha\)中是一致最优的。

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证明(2)：\(\phi_2(x)\)是检验(iii)的UMPUT

要证明\(\phi_2(x)\)是UMPUT，需完成两步：证明\(\phi_2(x)\)是无偏检验 + 证明\(\phi_2(x)\)在所有无偏检验中一致最优。

步骤1：证明\(\phi_2(x)\)是水平为\(\alpha\)的无偏检验

无偏检验要求：

• 原假设上：\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(X)] = \alpha\)（已由约束满足）；
• 备择假设上：对任意\(\theta \neq \theta_0\)，\(\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)] \geq \alpha\)。

取基准检验\(\tilde{\phi}(x) \equiv \alpha\)，验证其属于\(\widetilde{\Phi}'_\alpha\)：

• \(\mathbb{E}_{\theta_0}[\tilde{\phi}(X)] = \mathbb{E}_{\theta_0}[\alpha] = \alpha\)，满足第一个约束；
• \(\mathbb{E}_{\theta_0}[\tilde{\phi}(X)T(X)] = \mathbb{E}_{\theta_0}[\alpha T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\)，满足第二个约束。

因此\(\tilde{\phi}(x) \in \widetilde{\Phi}'_\alpha\)，根据证明(1)的最优性结论，对任意\(\theta \neq \theta_0\)，有：

\[\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)] = \alpha \]

完美满足无偏性要求，即\(\phi_2(x)\)是检验(iii)的水平为\(\alpha\)的无偏检验。

步骤2：证明在所有无偏检验中一致最优

设\(\tilde{\phi}(x)\)是检验(iii)的任意一个水平为\(\alpha\)的无偏检验，根据引理6.4.3，无偏检验必须满足：

1. \(\mathbb{E}_{\theta_0}[\tilde{\phi}(X)] = \alpha\)；
2. \(\beta'(\theta_0)=0\)，等价于\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\tilde{\phi}(X)T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\)。

因此\(\tilde{\phi}(x) \in \widetilde{\Phi}'_\alpha\)，根据证明(1)的结论，对任意\(\theta \neq \theta_0\)，有：

\[\mathbb{E}_\theta[\phi_2(X)] \geq \mathbb{E}_\theta[\tilde{\phi}(X)] \]

即\(\phi_2(x)\)在所有水平为\(\alpha\)的无偏检验中，对备择假设全空间的功效一致最高，因此\(\phi_2(x)\)是检验(iii)的UMPUT。

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四、定理的核心意义与补充说明

1. 理论价值

1. 彻底解决了点原假设双侧检验的最优性问题：证明了单参数指数族下，点原假设双侧检验的UMPUT必为双边拒绝域检验，给出了检验的标准形式与定解条件。
2. 完成了双边检验的理论闭环：从单边检验的UMPT，到区间原假设双边检验的UMPT/UMPUT，再到点原假设双侧检验的UMPUT，形成了完整的单参数指数族假设检验最优性理论体系。
3. 揭示了经典双侧检验的理论依据：我们常用的正态分布双侧z检验、t检验，二项分布双侧检验等，本质上都是该定理的特例，其最优性由该定理保证。

2. 应用说明

定理给出的定解条件\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(X)T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\)在计算中可大幅简化：

• 若充分统计量\(T(X)\)的分布关于\(\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\)对称（如正态分布），可直接取对称临界值\(k_1 = \mathbb{E}[T] - k\)，\(k_2 = \mathbb{E}[T] + k\)，此时两个约束可合并为\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(X)] = \alpha\)，无需额外计算第二个约束。
• 对于非对称分布（如指数分布、二项分布），需通过两个约束方程联立求解临界值\(k_1,k_2\)。

3. 与全局UMPT的区别

该定理得到的是UMPUT（一致最优无偏检验），而非全局UMPT，原因与检验(ii)一致：
检验构造中用到的推广N-P引理结论(1)仅对等式约束的检验类成立，无法覆盖所有水平为\(\alpha\)的检验，因此仅能在无偏检验类中得到最优性，不存在全局UMPT。

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五、三类双边检验核心结论总结表

检验问题	原假设\(H_0\)	备择假设\(H_1\)	最优检验类型	检验形式	定解条件
检验(i)	\(\theta\leq\theta_1\) 或 \(\theta\geq\theta_2\)	\(\theta_1<\theta<\theta_2\)	全局UMPT	中间拒绝域：\(k_1<T<k_2\)时拒绝	\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi]=\alpha\)
检验(ii)	\(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)	\(\theta<\theta_1\) 或 \(\theta>\theta_2\)	UMPUT	双边拒绝域：\(T<k_1\)或\(T>k_2\)时拒绝	\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi]=\alpha\)
检验(iii)	\(\theta=\theta_0\)	\(\theta\neq\theta_0\)	UMPUT	双边拒绝域：\(T<k_1\)或\(T>k_2\)时拒绝	\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi T]=\alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T]\)

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定理6.4.5 对称分布下双侧检验的简化UMPUT 完整讲解与证明

一、定理背景与核心价值

在定理6.4.4中，我们得到了点原假设双侧检验\(H_0:\theta=\theta_0 \longleftrightarrow H_1:\theta\neq\theta_0\)的UMPUT，但其需要两个联立的定解条件：

\[\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)] = \alpha, \quad \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)] \]

实际计算中需要通过这两个方程求解两个临界值\(k_1,k_2\)，过程较为复杂。

而在数理统计的实际应用中，大量常见分布（如正态分布、t分布、对称二项分布等）的充分统计量\(T(X)\)，在原假设\(\theta=\theta_0\)下服从对称分布。定理6.4.5正是针对这一高频场景，给出了简化的UMPUT形式，证明了对称场景下第二个定解条件会自动满足，仅需一个条件即可确定检验的临界值，大幅降低了计算难度。

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二、定理6.4.5 正式表述

条件：同定理6.4.4，针对单参数指数族分布的点原假设双侧检验问题(iii)，且当\(\theta=\theta_0\)时，充分统计量\(T=T(X)\)的分布关于点\(\mu_0\)对称。

结论：检验问题(iii)的UMPUT可表示为对称等尾形式：

\[\phi_2(t) = \begin{cases} 1, & |t - \mu_0| > k \\ \gamma, & |t - \mu_0| = k \\ 0, & |t - \mu_0| < k \end{cases} \tag{6.4.25} \]

其中临界值\(k\)和随机化参数\(\gamma\)，仅由条件\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(T)] = \alpha\)唯一确定，第二个定解条件\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(X)T(X)] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)]\)可自动满足，无需额外计算。

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三、定理的分步严格证明

证明的核心目标：验证对称形式的检验函数\(\phi_2(t)\)，会自动满足定理6.4.4的第二个定解条件，因此仅需一个约束即可确定检验。

步骤1：明确对称分布的核心性质

设\(\theta=\theta_0\)时，\(T(X)\)的概率密度为\(g(t)\)（离散分布可替换为分布律，证明逻辑完全一致），分布关于\(\mu_0\)对称，即满足两个核心性质：

1. 密度对称性：对任意\(\tau\)，有\(g(\mu_0 + \tau) = g(\mu_0 - \tau)\)，即\(g(\mu_0+\tau)\)是关于\(\tau\)的偶函数；
2. 期望匹配对称中心：若\(T\)的期望存在，则\(\mathbb{E}_{\theta_0}[T(X)] = \mu_0\)（对称分布的期望等于其对称中心）。

同时，我们构造的检验函数\(\phi_2(t)\)仅由\(|t-\mu_0|\)决定，因此也关于\(\mu_0\)对称，即\(\phi_2(\mu_0+\tau) = \phi_2(\mu_0-\tau)\)，\(\phi_2(\mu_0+\tau)\)也是关于\(\tau\)的偶函数。

步骤2：展开目标期望的积分式

我们需要验证的第二个定解条件为\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(T)T] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T]\)，根据期望的定义展开：

\[\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(T)T] = \int_{-\infty}^{+\infty} \phi_2(t) \cdot t \cdot g(t) dt \]

做变量替换，令\(t = \mu_0 + \tau\)，则\(dt=d\tau\)，积分上下限不变，代入后拆分积分：

\[\begin{aligned} \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(T)T] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \phi_2(\mu_0+\tau) \cdot (\mu_0 + \tau) \cdot g(\mu_0+\tau) d\tau \\ &= \mu_0 \int_{-\infty}^{+\infty} \phi_2(\mu_0+\tau) g(\mu_0+\tau) d\tau + \int_{-\infty}^{+\infty} \tau \cdot \phi_2(\mu_0+\tau) g(\mu_0+\tau) d\tau \end{aligned} \]

步骤3：分别计算两个积分项

第一项积分：匹配定解条件

对第一项做变量回代\(\tau = t-\mu_0\)，积分可还原为期望形式：

\[\mu_0 \int_{-\infty}^{+\infty} \phi_2(\mu_0+\tau) g(\mu_0+\tau) d\tau = \mu_0 \cdot \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(T)] \]

根据检验的水平约束，\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(T)] = \alpha\)，且对称分布满足\(\mathbb{E}_{\theta_0}[T] = \mu_0\)，因此第一项可化简为：

\[\mu_0 \cdot \alpha = \alpha \cdot \mathbb{E}_{\theta_0}[T] \]

这正是我们需要验证的定解条件的右侧。

第二项积分：奇函数的对称积分等于0

令被积函数\(h(\tau) = \tau \cdot \phi_2(\mu_0+\tau) \cdot g(\mu_0+\tau)\)，我们证明\(h(\tau)\)是关于\(\tau\)的奇函数：

\[\begin{aligned} h(-\tau) &= (-\tau) \cdot \phi_2(\mu_0 - \tau) \cdot g(\mu_0 - \tau) \\ &= -\tau \cdot \phi_2(\mu_0 + \tau) \cdot g(\mu_0 + \tau) \quad (\phi_2和g均为关于\tau的偶函数) \\ &= -h(\tau) \end{aligned} \]

根据积分性质，奇函数在对称区间\((-\infty,+\infty)\)上的定积分恒为0，因此第二项积分：

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \tau \cdot \phi_2(\mu_0+\tau) g(\mu_0+\tau) d\tau = 0 \]

步骤4：合并结果完成证明

将两项积分的结果合并，得到：

\[\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(T)T] = \alpha \mathbb{E}_{\theta_0}[T] + 0 = \alpha \mathbb{E}_{\theta_0}[T] \]

这说明对称形式的检验函数\(\phi_2(t)\)，自动满足定理6.4.4的第二个定解条件。结合定理6.4.4的结论，\(\phi_2(t)\)满足UMPUT的所有要求，因此是检验问题(iii)的UMPUT，且仅需通过\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi_2(T)]=\alpha\)即可确定临界值\(k\)和随机化参数\(\gamma\)。

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四、定理的核心应用与经典实例

该定理是绝大多数常用双侧检验的理论依据，我们以最经典的正态分布双侧检验为例说明：

实例1：正态总体均值的双侧z检验

设样本\(X_1,X_2,\dots,X_n \sim N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(\sigma^2\)已知，检验问题为：

\[H_0:\mu=\mu_0 \longleftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0 \]

1. 充分统计量为样本均值\(\bar{X}\)，在\(H_0\)下，\(\bar{X} \sim N\left(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n}\right)\)，分布关于\(\mu_0\)对称，符合定理6.4.5的条件。
2. 根据定理，UMPUT为对称等尾形式：当\(|\bar{X}-\mu_0|>k\)时拒绝\(H_0\)。
3. 临界值\(k\)仅由水平条件\(\mathbb{P}_{\mu_0}(|\bar{X}-\mu_0|>k)=\alpha\)确定，解得\(k = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)，其中\(z_{\alpha/2}\)为标准正态分布的上\(\alpha/2\)分位数。

这就是我们日常使用的双侧z检验，定理6.4.5严格证明了该检验是无偏检验类中的一致最优检验。

实例2：正态总体均值的双侧t检验

设样本\(X_1,X_2,\dots,X_n \sim N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(\sigma^2\)未知，检验问题同上。

1. 构造检验统计量\(t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\)（\(S\)为样本标准差），在\(H_0\)下，\(t\)服从自由度为\(n-1\)的t分布，分布关于0对称，符合定理条件。
2. UMPUT为对称等尾形式：当\(|t|>k\)时拒绝\(H_0\)，临界值\(k=t_{\alpha/2}(n-1)\)，即t分布的上\(\alpha/2\)分位数，仅由水平条件\(\mathbb{P}(|t|>k)=\alpha\)确定。

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五、定理的核心意义总结

1. 计算简化：将对称分布下双侧检验的两个定解条件合并为一个，无需求解复杂的联立方程，大幅降低了实际应用的计算成本。
2. 理论支撑：为经典的双侧z检验、t检验、对称分布的双侧卡方检验等常用方法，提供了严格的最优性理论依据，证明了这些检验在无偏检验类中是一致最优的。
3. 实践指导：明确了对称分布下双侧检验的最优形式是等尾对称拒绝域，解释了为什么实际应用中双侧检验几乎都采用等尾临界值，而非非对称的临界值组合。
4. 适用范围：不仅适用于连续对称分布，对离散对称分布（如\(p=0.5\)的二项分布）同样适用，仅需通过随机化参数\(\gamma\)匹配显著性水平\(\alpha\)即可。

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小节归纳

单参数指数族双边检验 全知识点汇总表

以下表格完整覆盖上述所有核心知识点，从基础概念、检验分类、核心引理、关键定理、维度对比到实际应用，形成完整的知识体系。

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表1 核心基础概念定义表

术语	符号/数学定义	核心含义
单参数指数族	\(f(x,\theta) = a(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)}\)	数理统计核心分布族，\(Q(\theta)\)为\(\theta\)的严格增函数，\(T(x)\)是\(\theta\)的充分统计量，包含样本中关于\(\theta\)的全部信息
检验函数	\(\phi(x)\)	观测到样本\(x\)时拒绝原假设\(H_0\)的概率，满足\(0\leq\phi(x)\leq1\)；非随机化检验中仅取0（接受）或1（拒绝）
功效函数	\(\beta(\theta) = \mathbb{E}_\theta[\phi(X)]\)	参数为\(\theta\)时拒绝\(H_0\)的概率；原假设上为第一类错误概率，备择假设上\(1-\beta(\theta)\)为第二类错误概率
水平为\(\alpha\)的检验	对所有\(\theta\in\Theta_0\)，\(\beta(\theta)\leq\alpha\)	原假设成立时，错误拒绝\(H_0\)的概率不超过显著性水平\(\alpha\)
无偏检验	原假设上\(\beta(\theta)\leq\alpha\)；备择假设上\(\beta(\theta)\geq\alpha\)	备择假设成立时拒绝\(H_0\)的概率，不低于原假设成立时错误拒绝的概率，保证检验对备择假设的识别能力
UMPT（一致最优检验）	所有水平为\(\alpha\)的检验中，对任意\(\theta\in\Theta_1\)，\(\beta(\theta)\)一致最大的检验	全检验类中的全局最优检验，在备择全空间上功效最高
UMPUT（一致最优无偏检验）	所有水平为\(\alpha\)的无偏检验中，对任意\(\theta\in\Theta_1\)，\(\beta(\theta)\)一致最大的检验	无偏检验类中的局部最优检验，双边检验无全局UMPT时的最优解

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表2 三类标准双边检验问题汇总表

检验编号	别称	原假设\(H_0\)	备择假设\(H_1\)	核心特征
(i)	带内检验/区间备择检验	\(\theta\leq\theta_1\) 或 \(\theta\geq\theta_2\)	\(\theta_1<\theta<\theta_2\)	备择假设在原假设的中间区间，功效函数为「两头小中间大」的单峰凹函数
(ii)	带外检验/区间原假设检验	\(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)	\(\theta<\theta_1\) 或 \(\theta>\theta_2\)	备择假设在原假设的两侧区间，功效函数为「中间小两头大」的凸函数
(iii)	点原假设双侧检验	\(\theta=\theta_0\)	\(\theta\neq\theta_0\)	检验(ii)的特例（\(\theta_1=\theta_2=\theta_0\)），最常用的双侧检验，功效函数以\(\theta_0\)为极小值点的凸函数

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表3 核心引理汇总表

引理名称	核心适用场景	核心内容与结论	理论价值
推广的Neyman-Pearson引理	多约束条件下的最优势检验(MPT)构造	最优检验拒绝域为\(f_3(x) > c_1f_1(x)+c_2f_2(x)\)； 1. 等式约束：\(c_1,c_2\)可正可负，仅对等式约束检验类最优； 2. 不等式约束：要求\(c_1,c_2\geq0\)，对所有水平为\(\alpha\)的检验最优	双边检验最优性的核心工具，是经典N-P引理在多约束场景的推广，解决了两点原假设检验的MPT构造问题
引理6.4.1	两点原假设、中间备择检验（检验(i)'/(i)''）	中间拒绝域检验\(\phi_1(x)\)（\(k_1<T<k_2\)时拒绝），满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_1]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_1]=\alpha\)时，是所有满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]\leq\alpha\)的检验中的MPT	证明了中间拒绝域检验在全检验类中的最优性，为检验(i)的全局UMPT奠定基础
引理6.4.2	两点原假设、两侧备择检验（检验(ii)'/(ii)''）	双边拒绝域检验\(\phi_2(x)\)（\(T<k_1\)或\(T>k_2\)时拒绝），满足\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi_2]=\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi_2]=\alpha\)时，是所有满足\(\mathbb{E}_{\theta_i}[\tilde{\phi}]=\alpha\)的检验中的MPT	证明了双边拒绝域检验在等式约束检验类中的最优性，为检验(ii)的UMPUT奠定基础
引理6.4.3	点原假设双侧检验(iii)的无偏检验约束	1. 充分统计量期望：\(\mathbb{E}_\theta[T] = -\frac{a'(\theta)}{a(\theta)Q'(\theta)}\)； 2. 功效函数导数：\(\beta'(\theta) = Q'(\theta)\left[\mathbb{E}_\theta[\phi T] - \mathbb{E}_\theta[T]\mathbb{E}_\theta[\phi]\right]\)； 3. 无偏检验等价条件：\(\beta'(\theta_0)=0 \iff \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi T] = \alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T]\)	解决了点原假设双侧检验定解条件不足的问题，给出了第二个约束的可计算形式，为检验(iii)的UMPUT提供核心约束

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表4 四大核心定理汇总表

定理编号	对应检验问题	最优检验类型	检验拒绝域形式	定解条件	核心价值
6.4.2	检验(i) 带内检验	全局UMPT	中间区间拒绝：\(k_1<T<k_2\)时拒绝\(H_0\)	\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi]=\alpha\)	证明了带内检验存在全局UMPT，是双边检验中唯一的全局最优检验
6.4.3	检验(ii) 带外检验	UMPUT（无全局UMPT）	双侧区间拒绝：\(T<k_1\) 或 \(T>k_2\)时拒绝\(H_0\)	\(\mathbb{E}_{\theta_1}[\phi]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_2}[\phi]=\alpha\)	证明了区间原假设双侧检验的UMPUT存在性与构造方法，明确了无偏检验类中的最优形式
6.4.4	检验(iii) 点原假设双侧检验	UMPUT（无全局UMPT）	双侧区间拒绝：\(T<k_1\) 或 \(T>k_2\)时拒绝\(H_0\)	\(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi]=\alpha\) \(\mathbb{E}_{\theta_0}[\phi T]=\alpha\mathbb{E}_{\theta_0}[T]\)	彻底解决了点原假设双侧检验的最优性问题，证明了常用双侧检验的UMPUT性质
6.4.5	检验(iii) 对称分布场景	UMPUT（简化形式）	对称等尾拒绝：$	T-\mu_0	>k\(时拒绝\)H_0$

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表5 三类双边检验核心维度对比表

对比维度	检验(i) 带内检验	检验(ii) 带外检验	检验(iii) 点原假设双侧检验
原假设参数空间	\(\theta\leq\theta_1\) 或 \(\theta\geq\theta_2\)	\(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)	\(\theta=\theta_0\)
备择假设参数空间	\(\theta_1<\theta<\theta_2\)	\(\theta<\theta_1\) 或 \(\theta>\theta_2\)	\(\theta\neq\theta_0\)
最优检验类型	全局UMPT	UMPUT（无全局UMPT）	UMPUT（无全局UMPT）
检验拒绝域形式	中间区间拒绝	双侧区间拒绝	双侧区间拒绝（对称分布下为等尾对称拒绝）
定解条件数量	2个边界等式约束	2个边界等式约束	2个约束，对称分布下简化为1个
功效函数形态	单峰凹函数，「两头小中间大」	凸函数，「中间小两头大」	凸函数，以\(\theta_0\)为极小值点
最优性覆盖范围	所有水平为\(\alpha\)的检验	仅水平为\(\alpha\)的无偏检验	仅水平为\(\alpha\)的无偏检验
核心理论依据	推广N-P引理结论(2)（\(c_1,c_2\geq0\)）	推广N-P引理结论(1)	推广N-P引理结论(1)+引理6.4.3

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表6 实际应用场景与经典案例表

分布类型	检验问题	核心统计量	最优检验类型	经典检验形式	定解方式
正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)（\(\sigma^2\)已知）	\(H_0:\mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0\)	样本均值\(\bar{X}\)	UMPUT（对称简化形式）	双侧z检验：\(|\bar{X}-\mu_0|>z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)时拒绝	仅由\(\mathbb{P}_{\mu_0}(|\bar{X}-\mu_0|>k)=\alpha\)确定临界值
正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)（\(\sigma^2\)未知）	\(H_0:\mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0\)	样本均值\(\bar{X}\)、样本标准差\(S\)	UMPUT（对称简化形式）	双侧t检验：\(\left|\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\right|>t_{\alpha/2}(n-1)\)时拒绝	仅由\(\mathbb{P}_{\mu_0}(|t|>k)=\alpha\)确定临界值
二项分布\(Bin(n,p)\)	\(H_0:p=p_0 \leftrightarrow H_1:p\neq p_0\)	成功次数\(X\)	UMPUT	双侧拒绝域：\(X<k_1\)或\(X>k_2\)时拒绝	联立水平约束+无偏性约束确定临界值
指数分布\(Exp(\lambda)\)	\(H_0:\lambda=\lambda_0 \leftrightarrow H_1:\lambda\neq\lambda_0\)	样本和\(\sum_{i=1}^n X_i\)	UMPUT	双侧拒绝域：\(\sum X_i<k_1\)或\(\sum X_i>k_2\)时拒绝	联立水平约束+无偏性约束确定临界值
泊松分布\(Pois(\lambda)\)	\(H_0:\lambda=\lambda_0 \leftrightarrow H_1:\lambda\neq\lambda_0\)	样本和\(\sum_{i=1}^n X_i\)	UMPUT	双侧拒绝域：\(\sum X_i<k_1\)或\(\sum X_i>k_2\)时拒绝	联立水平约束+无偏性约束确定临界值