7.6求根问题的敏感性与多项式的零点

求根问题的敏感性与多项式的零点 深度讲解与推导证明

各位同学，今天我们来学习数值分析中决定求根结果可靠性的核心问题——求根的敏感性与病态代数方程。我们之前学习的牛顿法、弦截法等迭代算法，解决的是「如何快速收敛到根」的问题；而今天的内容，解决的是「这个根求得到底准不准、方程本身能不能可靠求根」的本质问题。哪怕迭代算法再完美，若方程本身是病态的，我们也可能得到完全失真的结果。

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一、求根问题敏感性的本质：正问题与反问题的病态性

1.1 函数求值（正问题）的误差传递

我们先从最基础的微分误差分析入手，明确「正问题」的误差规律。
对于可微函数 \(y=f(x)\)，正问题是：给定自变量 \(x\)，求函数值 \(y=f(x)\)。
若自变量 \(x\) 存在微小误差 \(\Delta x\)，则函数值的误差 \(\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)\)，由微分的定义，当 \(|\Delta x|\) 充分小时，有一阶近似：

\[\Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \]

两边取绝对值，得到误差放大倍数：

\[\left| \frac{\Delta y}{\Delta x} \right| \approx |f'(x)| \]

这个式子的意义是：函数求值的误差放大倍数，等于函数在该点导数的绝对值。\(|f'(x)|\) 越大，自变量的微小误差会被放大为函数值的巨大误差；反之则误差被抑制。

1.2 方程求根（反问题）的误差传递与敏感性

方程求根是典型的反问题：我们的目标是找到 \(x^*\) 使得 \(f(x^*)=0\)（即给定目标函数值 \(y=0\)，反求自变量 \(x\)）。
假设我们通过数值方法得到了近似根 \(\bar{x}\)，对应的函数值误差为：

\[\Delta y = f(\bar{x}) - f(x^*) = f(\bar{x}) \]

（因为真实根满足 \(f(x^*)=0\)）
我们关心的是解的误差 \(\Delta x = |\bar{x} - x^*|\)，将正问题的误差关系反过来，即可得到反问题的误差放大规律：

\[|\Delta x| \approx \frac{|\Delta y|}{|f'(x^*)|} \]

若我们的数值计算满足函数值的精度要求 \(|f(\bar{x})| \leq \varepsilon\)（\(\varepsilon\) 为允许的函数值误差），则解的误差上限为：

\[\boldsymbol{|\Delta x| \leq \frac{\varepsilon}{|f'(x^*)|}} \]

这就是求根问题敏感性的核心公式，我们可以得到两个关键结论：

1. 求根问题的误差放大倍数，与函数求值的误差放大倍数互为倒数，二者的病态性完全相反；
2. 当 \(|f'(x^*)|\) 非常小时（曲线在根附近几乎与x轴平行），哪怕函数值的误差 \(\varepsilon\) 极小，解的误差 \(|\Delta x|\) 也会被放大到非常大的数值，此时求根问题是敏感（病态）的；
3. 当 \(|f'(x^*)|\) 较大时（曲线在根附近陡峭），函数值的误差不会被过度放大，求根问题是不敏感（良态）的。

1.3 良态与病态求根问题的几何意义

结合图7-8，我们可以直观理解二者的区别：

• 良态求根（图a）：曲线 \(y=f(x)\) 在根 \(x^*\) 附近陡峭，\(|f'(x^*)|\) 大。哪怕函数值有微小波动，曲线与x轴交点的偏移量也极小，解的误差可控。
• 病态求根（图b）：曲线 \(y=f(x)\) 在根 \(x^*\) 附近极度平缓，几乎与x轴重合，\(|f'(x^*)|\) 趋近于0。函数值的微小波动，会导致曲线与x轴交点的巨大偏移，解的误差完全不可控。

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二、多项式方程的根对系数扰动的敏感性分析

工程中最常见的非线性求根问题，就是n次代数多项式方程的求根，我们接下来专门分析多项式的根对系数扰动的敏感性，推导核心的灵敏度公式。

2.1 基础定义与扰动模型

首先定义n次标准多项式：

\[p(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0, \quad a_0 \neq 0 \tag{7.27} \]

设该多项式的n个根为 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，满足 \(p(x_k)=0, \ k=1,2,\dots,n\)。

在实际计算中，多项式的系数往往存在微小误差（如测量误差、浮点舍入误差），我们用扰动模型描述这种情况：

\[p_\varepsilon(x) = p(x) + \varepsilon q(x) = 0 \tag{7.28} \]

其中：

• \(\varepsilon\) 是一个绝对值极小的扰动参数；
• \(q(x)\) 是次数不超过n的非零多项式，描述扰动的形式（例如给某一项系数加扰动，对应 \(q(x)\) 为对应次数的单项式）；
• \(p_\varepsilon(x)\) 的根记为 \(x_1(\varepsilon), x_2(\varepsilon), \dots, x_n(\varepsilon)\)，显然当 \(\varepsilon=0\) 时，\(x_k(0)=x_k\)，即原多项式的根。

我们的核心目标是：分析当 \(\varepsilon\) 极小时，根的变化量 \(|x_k(\varepsilon)-x_k|\) 有多大，也就是根对系数扰动的灵敏度。

2.2 根的灵敏度公式的严格推导

由于 \(p_\varepsilon(x_k(\varepsilon))=0\) 对任意充分小的 \(\varepsilon\) 成立，因此等式两边可以对 \(\varepsilon\) 求全导数，利用链式法则和乘积求导法则推导灵敏度。

步骤1：对扰动方程两边求全导数

\[\frac{d}{d\varepsilon}\left[ p(x(\varepsilon)) + \varepsilon q(x(\varepsilon)) \right] = \frac{d}{d\varepsilon}(0) = 0 \]

步骤2：分别求导展开

• 第一项 \(\frac{d}{d\varepsilon}p(x(\varepsilon))\)：由链式法则，先对 \(x\) 求导，再对 \(\varepsilon\) 求导，得：
  \[\frac{d}{d\varepsilon}p(x(\varepsilon)) = p'(x(\varepsilon)) \cdot \frac{dx}{d\varepsilon} \]

• 第二项 \(\frac{d}{d\varepsilon}\left[\varepsilon q(x(\varepsilon))\right]\)：由乘积求导法则 + 链式法则，得：
  \[\frac{d}{d\varepsilon}\left[\varepsilon q(x(\varepsilon))\right] = q(x(\varepsilon)) + \varepsilon \cdot q'(x(\varepsilon)) \cdot \frac{dx}{d\varepsilon} \]

步骤3：整理方程，解出 \(\frac{dx}{d\varepsilon}\)

将两项代入求导后的等式，合并含 \(\frac{dx}{d\varepsilon}\) 的项：

\[p'(x) \cdot \frac{dx}{d\varepsilon} + q(x) + \varepsilon q'(x) \cdot \frac{dx}{d\varepsilon} = 0 \]

\[\frac{dx}{d\varepsilon} \cdot \left[ p'(x) + \varepsilon q'(x) \right] = -q(x) \]

最终得到导数的通用表达式：

\[\frac{dx}{d\varepsilon} = \frac{-q(x)}{p'(x) + \varepsilon q'(x)} \]

步骤4：代入 \(\varepsilon=0\)，得到根的灵敏度

当 \(\varepsilon=0\) 时，\(x=x_k(0)=x_k\)，代入上式，得到根对扰动的灵敏度公式：

\[\boldsymbol{\frac{dx_k(0)}{d\varepsilon} = \frac{-q(x_k)}{p'(x_k)}} \]

这个导数的绝对值，直接描述了根对系数扰动的敏感程度：绝对值越大，\(\varepsilon\) 的微小变化会引起根的巨大偏移，方程越病态。

2.3 根的一阶扰动近似公式

当 \(|\varepsilon|\) 充分小时，我们将 \(x_k(\varepsilon)\) 在 \(\varepsilon=0\) 处做一阶泰勒展开，忽略高阶无穷小项，得到根的扰动近似公式：

\[x_k(\varepsilon) \approx x_k(0) + \frac{dx_k(0)}{d\varepsilon} \cdot \varepsilon \]

将灵敏度公式代入，得到教材中的核心公式(7.29)：

\[\boldsymbol{x_k(\varepsilon) \approx x_k - \frac{q(x_k)}{p'(x_k)} \cdot \varepsilon, \quad k=1,2,\dots,n} \tag{7.29} \]

2.4 病态代数方程的定义

对于多项式方程(7.27)，若系数的微小扰动 \(\varepsilon\)，会导致根的变化量 \(|x_k(\varepsilon)-x_k|\) 非常大，我们就称这个代数方程是病态的；反之则为良态的。

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三、经典例题解析：Wilkinson多项式的病态性分析

例7.11是数值分析史上最经典的病态方程案例——Wilkinson多项式，由英国数值分析大师James Wilkinson提出，用来揭示高次多项式求根的极端病态性。

3.1 例题背景与扰动设置

原多项式为7次Wilkinson多项式：

\[\begin{aligned} p(x) &= (x-1)(x-2)\cdots(x-7) \\ &= x^7 -28x^6 +322x^5 -1960x^4 +6769x^3 -13132x^2 +13068x -5040 \end{aligned} \]

该多项式的根为 \(x_k=k, \ k=1,2,\dots,7\)，都是分离的整数实根，看起来形式极其简单。

我们给多项式的 \(x^6\) 项系数施加一个极小的扰动：取 \(q(x)=x^6\)，\(\varepsilon=-0.002\)，即扰动后的多项式为：

\[p_\varepsilon(x) = p(x) -0.002x^6 \]

这个扰动仅为原 \(x^6\) 项系数（-28）的 \(0.007\%\)，几乎可以忽略不计，我们来分析根的变化。

3.2 灵敏度计算与扰动根的近似

步骤1：计算 \(p'(x_k)\)

对于多项式 \(p(x)=\prod_{j=1}^7 (x-j)\)，由乘积求导法则，导数为：

\[p'(x) = \sum_{i=1}^7 \prod_{j \neq i} (x-j) \]

代入 \(x=k\)（原根），除了 \(i=k\) 的项，其余项都包含 \((x-k)\) 因子，代入后为0，因此：

\[p'(k) = \prod_{j \neq k} (k-j) \]

将乘积拆分为两部分化简：

• 前半部分：\(j=1\) 到 \(k-1\)，\(k-j = 1,2,\dots,k-1\)，乘积为 \((k-1)!\)
• 后半部分：\(j=k+1\) 到 \(7\)，\(k-j = -1,-2,\dots,-(7-k)\)，乘积为 \((-1)^{7-k} \cdot (7-k)!\)

因此最终化简为：

\[p'(k) = (-1)^{7-k} \cdot (k-1)! \cdot (7-k)! \]

步骤2：代入扰动近似公式

已知 \(q(x)=x^6\)，因此 \(q(k)=k^6\)，\(\varepsilon=-0.002\)，代入公式(7.29)：

\[x_k(\varepsilon) \approx k - \frac{k^6}{(-1)^{7-k} \cdot (k-1)! \cdot (7-k)!} \cdot (-0.002) \]

化简符号后得到教材中的近似式：

\[x_k(\varepsilon) \approx k + \frac{(-1)^{k-1} \cdot 0.002 \cdot k^6}{(k-1)! \cdot (7-k)!} \]

3.3 结果分析与病态性判定

我们直接给出扰动后方程的真实根：

\[1.0000028,\ 1.9989382,\ 3.0331253,\ 3.8195692,\ 5.4586758 \pm 0.54012578i,\ 7.2330128 \]

我们可以得到三个颠覆性的结论：

1. 极小的系数扰动，导致根出现了巨大偏移：比如原根5，扰动后变成了一对共轭复根，实部偏移量超过0.45，虚部绝对值超过0.54；
2. 原本全部为实根的多项式，在微小扰动后出现了复根，根的性质都发生了改变；
3. 哪怕是根分离、形式简单的低次（7次）多项式，也可能存在极端病态性。

因此，这个Wilkinson多项式方程是严重病态的。

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四、影响多项式求根病态性的核心因素

结合理论推导与例题，我们总结出决定多项式病态性的4个核心因素：

1. 根的密集程度：根之间的距离越小、分布越密集，多项式在根附近的导数 \(|p'(x_k)|\) 越小，病态性越严重；
2. 多项式的次数：多项式的次数越高，病态性越容易出现，高次多项式的求根结果往往可靠性极低；
3. 根的模长大小：模长大的根，对高次项系数的扰动更敏感；模长小的根，对低次项系数的扰动更敏感；
4. 系数的量级差异：多项式各项系数的量级差距越大，舍入误差带来的扰动影响越明显，病态性越严重。

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五、核心知识点归纳总结表

核心概念	定义与公式	核心意义	关键判断标准
求根问题的敏感性	解的误差上限：$	\Delta x	\leq \frac{\varepsilon}{
根的灵敏度公式	\(\frac{dx_k(0)}{d\varepsilon} = \frac{-q(x_k)}{p'(x_k)}\)	描述多项式的根对系数微小扰动的敏感程度	导数绝对值越大，根对扰动越敏感，方程越病态
根的一阶扰动近似	\(x_k(\varepsilon) \approx x_k - \frac{q(x_k)}{p'(x_k)} \cdot \varepsilon\)	量化系数微小扰动后，根的偏移量的近似值	偏移量 $
良态求根问题	系数/函数值的微小扰动，仅导致根/解的微小偏移	数值求根结果可靠，迭代算法的精度可以得到保证	1. 根附近 $
病态代数方程	系数的微小扰动，导致根的巨大偏移，甚至根的性质发生改变	数值求根结果不可靠，哪怕迭代算法收敛，结果也可能完全失真	1. 根附近 $
正问题与反问题的病态性关系	函数求值（正问题）误差放大倍数：$	f'(x^*)	\(；求根（反问题）误差放大倍数：\)\frac{1}{

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多项式的零点（全部根求解）深度讲解与方法推导

各位同学，上一节课我们讲解了多项式求根的病态性，明确了「方程本身是否能可靠求根」的核心问题；今天我们来解决工程中最核心的需求——如何求解n次多项式的全部零点（全部根，含实根与复根）。

根据代数基本定理，在复数域内，n次多项式

\[p(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n, \quad a_0 \neq 0 \]

有且仅有n个根（重根按重数计）。为了简化计算，我们通常将多项式首一化，两边除以首项系数\(a_0\)，得到首一多项式的标准形式：

\[\boldsymbol{x^n + p_1x^{n-1} + \dots + p_{n-1}x + p_n = 0} \tag{7.30} \]

我们所有的求解方法，都围绕这个首一多项式展开。

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一、核心方法1：牛顿法结合多项式降阶法

这是求解多项式单根、逐步获取全部根的基础方法，核心思想是「求一个根，降一次阶，反复迭代直到求出全部根」。

1.1 基础工具：秦九韶算法（霍纳算法）

牛顿法每步迭代都需要计算\(p(x_k)\)和\(p'(x_k)\)，对于高次多项式，直接展开计算的时间复杂度极高，而秦九韶算法可以将n次多项式求值的计算量降到O(n)，是多项式计算的核心工具。

1.1.1 多项式求值的秦九韶算法

对于n次多项式\(p(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n\)，我们将其改写为嵌套乘法形式：

\[p(x) = (\dots((a_0x + a_1)x + a_2)x + \dots)x + a_n \]

定义递推序列：

\[\begin{cases} b_0 = a_0 \\ b_k = b_{k-1}x + a_k, \quad k=1,2,\dots,n \end{cases} \]

则最终\(b_n = p(x)\)，这就是秦九韶算法的核心，仅需n次乘法和n次加法即可完成多项式求值。

1.1.2 多项式导数的秦九韶算法

对上述递推式求导，我们可以同步计算\(p'(x)\)。对\(p(x)\)求导得：

\[p'(x) = (\dots((n a_0x + (n-1)a_1)x + (n-2)a_2)x + \dots)x + a_{n-1} \]

我们可以在求值的递推过程中，同步计算导数的递推序列：

\[\begin{cases} c_0 = b_0 = a_0 \\ c_k = c_{k-1}x + b_k, \quad k=1,2,\dots,n-1 \end{cases} \]

则最终\(c_{n-1} = p'(x)\)。

这意味着，我们可以用秦九韶算法，在一次嵌套计算中，同时得到\(p(x_k)\)和\(p'(x_k)\)，完美适配牛顿法的迭代需求，计算效率极高。

1.2 牛顿法求多项式单根

针对多项式\(p(x)\)，牛顿法的迭代公式为：

\[\boldsymbol{x_1^{(k+1)} = x_1^{(k)} - \frac{p(x_1^{(k)})}{p'(x_1^{(k)})}, \quad k=0,1,2,\dots} \]

迭代终止条件为\(|x_1^{(k+1)} - x_1^{(k)}| \leq \varepsilon\)（\(\varepsilon\)为预设的允许误差），此时得到第一个根的近似值\(x_1 \approx x_1^{(k+1)}\)。

1.3 多项式降阶与全部根求解

根据多项式因式分解定理，若\(x_1\)是\(p(x)=0\)的根，则\(p(x)\)可以分解为：

\[p(x) = (x - x_1) q_1(x) \]

其中\(q_1(x)\)是n-1次多项式，称为\(p(x)\)的商多项式。我们可以通过多项式带余除法（同样用秦九韶算法实现）求出\(q_1(x)\)的全部系数。

接下来，我们对\(q_1(x)\)重复上述过程：用牛顿法求\(q_1(x)=0\)的一个根\(x_2\)，再分解为\(q_1(x)=(x-x_2)q_2(x)\)，\(q_2(x)\)是n-2次多项式。

以此类推，直到\(q_{n-2}(x)\)为二次多项式，直接用求根公式求出最后两个根，即可得到原多项式的全部n个根。

1.4 误差累积问题与修正方案

问题本质

在反复降阶的过程中，前一个根的求解误差会传递到商多项式中，随着降阶次数增加，误差会不断累积，导致后续根的精度严重下降，甚至完全失真。

修正方案

每求出一个根\(x_i\)后，不直接用降阶后的商多项式迭代下一个根，而是将\(x_i\)作为初值，代入原多项式\(p(x)\) 用牛顿法做1-2次迭代修正，得到精度更高的根，再用修正后的根做多项式降阶。这样可以极大抑制误差的累积，保证所有根的求解精度。

1.5 复根的共轭成对处理

对于实系数多项式，复根一定是共轭成对出现的：若\(x_1 = a + ib\)是\(p(x)=0\)的根，则其共轭\(\overline{x_1} = a - ib\)也一定是根。

此时，我们可以直接构造二次实系数因子：

\[(x - x_1)(x - \overline{x_1}) = x^2 - 2a x + (a^2 + b^2) \]

将原多项式除以这个二次因子，直接得到n-2次的商多项式，一次降阶2次，避免了两次单根降阶的误差累积，同时无需处理复数运算的商多项式。

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二、核心方法2：抛物线法（密勒法）求多项式全部零点

抛物线法是求解多项式全部零点的更优方法，尤其适合求解复根，也是工程中常用的方法。

2.1 抛物线法的核心优势

对比牛顿法，抛物线法有三个不可替代的优势：

1. 无需计算导数：仅需多项式的函数值，避免了导数计算的开销和误差；
2. 天然支持复根求解：即使初始值全为实数，迭代过程也能自动得到复根，无需设置复初值；
3. 收敛阶更高：收敛阶约1.84，接近牛顿法的二阶收敛，收敛速度极快；
4. 适配二次降阶：求出一个复根后，利用共轭成对特性，直接构造二次因子降阶2次，效率远高于牛顿法的单次降阶。

2.2 抛物线法的迭代流程（针对多项式）

1. 选取三个初始值\(x_0, x_1, x_2\)，计算对应的多项式值\(p(x_0), p(x_1), p(x_2)\)；
2. 计算一阶差商\(f[x_1,x_0], f[x_2,x_1]\)和二阶差商\(f[x_2,x_1,x_0]\)；
3. 计算\(\omega = f[x_2,x_1] + f[x_2,x_1,x_0](x_2 - x_1)\)；
4. 代入迭代公式，选取使分母模最大的符号，计算\(x_3\)：
   \[x_3 = x_2 - \frac{2p(x_2)}{\omega \pm \sqrt{\omega^2 - 4p(x_2)f[x_2,x_1,x_0]}} \]

5. 迭代直到\(|p(x_k)| < \varepsilon\)，得到根\(x^*\)；
6. 若\(x^*\)为复根，利用共轭特性构造二次因子，将多项式降阶2次；若为实根，可直接降阶1次，或再求一个实根降阶2次；
7. 对降阶后的多项式重复上述过程，直到求出全部根。

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三、核心方法3：友矩阵特征值法

这是现代数值计算软件（MATLAB、Python numpy）中求解多项式根的主流工业级方法，核心思想是将多项式求根问题，转化为矩阵特征值求解问题，彻底避免了迭代法的初值选择、误差累积、收敛性等问题。

3.1 友矩阵的构造

对于首一多项式(7.30)：

\[x^n + p_1x^{n-1} + \dots + p_{n-1}x + p_n = 0 \]

我们构造其友矩阵（伴随矩阵）：

\[\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} -p_1 & -p_2 & \dots & -p_{n-1} & -p_n \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

这是一个n阶方阵，第一行为多项式系数的相反数，次对角线全为1，其余元素为0。

3.2 核心定理：友矩阵的特征值就是多项式的根

我们可以严格证明，友矩阵\(P\)的特征多项式，就是原多项式(7.30)：

\[\det(\lambda I - P) = \lambda^n + p_1\lambda^{n-1} + \dots + p_{n-1}\lambda + p_n \]

因此，友矩阵\(P\)的全部特征值，就是原多项式的全部n个根。

3.3 方法优势

1. 无初值依赖：无需选择迭代初值，彻底避免了初值选择不当导致的发散问题；
2. 数值稳定性极高：矩阵特征值求解有成熟的QR算法，数值稳定性远高于迭代降阶法，尤其适合高次、病态多项式的求根；
3. 一次性求出全部根：无需逐次降阶，一次特征值分解即可得到全部实根和复根，效率极高；
4. 适配工业级软件：所有主流数值计算软件的多项式求根函数，底层均采用友矩阵+QR算法实现，可靠性经过了几十年的工程验证。

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四、例题解析（例7.12）：求4次多项式的全部零点

例题题干

求多项式\(p(x)=16x^4 -40x^3 +5x^2 +20x +6\)的全部零点。

解题步骤详解

步骤1：方法选择与初始值设置

我们采用抛物线法求解，因为多项式是4次的，可能存在复根，抛物线法天然适配复根求解。选取初始值\(x_0=0.5, x_1=-0.5, x_2=0\)，迭代终止条件为\(|p(x_i)| < 10^{-5}\)。

步骤2：抛物线法迭代求解复根

我们按照抛物线法的迭代公式，逐步计算，迭代结果如下表：

迭代步数\(i\)	迭代值\(x_i\)	多项式值\(p(x_i)\)
3	\(-0.555556+0.598352i\)	\(-29.4007-3.89872i\)
4	\(-0.435450+0.102101i\)	\(1.33222-1.19310i\)
5	\(-0.390631+0.141852i\)	\(-0.375058-0.670168i\)
6	\(-0.357698+0.169926i\)	\(-0.146750-0.00744623i\)
7	\(-0.356051+0.162856i\)	\(-0.184022\times10^{-2}+0.538456\times10^{-3}i\)
8	\(-0.356062+0.162758i\)	\(0.164836\times10^{-5}+0.892713\times10^{-6}i\)

迭代8步后，\(|p(x_i)| < 10^{-5}\)，满足精度要求，得到第一个复根：

\[x_1 = -0.356062 + 0.162758i \]

步骤3：利用共轭特性得到第二个复根

实系数多项式的复根共轭成对，因此第二个复根为：

\[x_2 = \overline{x_1} = -0.356062 - 0.162758i \]

步骤4：构造二次因子，多项式降阶

由两个共轭复根，构造二次实因子：

\[\begin{aligned} (x-x_1)(x-x_2) &= x^2 - 2\mathrm{Re}(x_1)x + |x_1|^2 \\ &= x^2 + 0.712124x + 0.153270 \end{aligned} \]

原多项式首项系数为16，因此分解为：

\[p(x) = 16(x^2 + 0.712124x + 0.153270)(x^2 - 3.212124x + 2.446658) \]

得到降阶后的二次多项式：\(q(x)=x^2 - 3.212124x + 2.446658\)。

步骤5：求解二次方程的两个实根

对二次方程\(x^2 - 3.212124x + 2.446658=0\)，用求根公式得：

\[x_{3,4} = \frac{3.212124 \pm \sqrt{3.212124^2 - 4\times1\times2.446658}}{2} \]

计算得：

\[x_3=1.2416774, \quad x_4=1.970446 \]

步骤6：牛顿法修正根的精度

将\(x_3, x_4\)作为初值，代入原多项式\(p(x)\)用牛顿法迭代1次，得到更高精度的根：

\[x_3^*=1.24167744, \quad x_4^*=1.97044608 \]

最终结果

原多项式的全部零点为：

1. 一对共轭复根：\(-0.356062 \pm 0.162758i\)
2. 两个实根：\(1.24167744\)、\(1.97044608\)

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五、多项式全部零点求解方法归纳总结表

方法名称	核心原理	收敛阶/求解特性	核心优点	核心缺点	适用场景
牛顿法+逐次降阶法	牛顿法求单根，多项式因式分解逐次降阶，直到求出全部根	单根二阶收敛，逐次降阶	公式简单，收敛速度快，秦九韶算法计算效率高	1. 需要计算导数；2. 逐次降阶存在误差累积；3. 求复根需要复初值；4. 对初值敏感，可能发散	低次多项式、导数易计算、仅需求实根的场景
抛物线法（密勒法）+二次降阶法	三点二次插值构造抛物线，求抛物线与x轴交点作为根，共轭复根二次降阶	超线性收敛（≈1.84），一次可降2阶	1. 无需计算导数；2. 天然支持复根求解，无需复初值；3. 收敛速度接近牛顿法；4. 二次降阶减少误差累积	公式较复杂，需要三个初始值，计算量略高于牛顿法	中低次多项式、存在复根、导数难以计算的场景，工程中最常用的通用方法
友矩阵特征值法	构造多项式的友矩阵，求解矩阵的全部特征值，即为多项式的全部根	一次性求出全部根，无迭代收敛问题	1. 无初值依赖，彻底避免发散问题；2. 数值稳定性极高，适配病态多项式；3. 一次性得到全部实根和复根；4. 工业级算法，可靠性强	需要掌握矩阵特征值求解算法，手动计算困难，依赖数值计算工具	高次多项式、病态多项式、需要一次性求出全部根的工程场景，是MATLAB、Python等软件的底层实现方法

补充关键注意事项

1. 对于高次多项式，优先选择友矩阵特征值法，避免迭代法的初值选择和误差累积问题；
2. 实系数多项式求根时，利用复根共轭成对的特性，优先采用二次降阶，减少迭代次数和误差累积；
3. 无论采用哪种方法，求出根后，都建议代入原多项式验证\(|p(x^*)|\)的大小，确认根的精度；
4. 对于病态多项式，需采用双精度浮点计算，避免舍入误差被放大，导致根完全失真。