7.5弦截法与抛物线法

弦截法与抛物线法知识点深度讲解与推导

我们之前讲解的牛顿法，核心优势是二阶收敛、迭代速度快，但存在一个核心局限：每步迭代都需要计算函数的导数 \(f'(x_k)\)，当函数 \(f(x)\) 形式复杂、导数难以计算时，牛顿法的应用会受到极大限制。

本节课讲解的弦截法与抛物线法，核心思想是利用已计算的函数值构造插值多项式，用插值多项式的根逼近原方程的根，完全避免了导数的计算，是工程中求解非线性方程的核心实用方法。

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一、弦截法（割线法）

1.1 核心思想与迭代公式推导

弦截法的核心是以直代曲：利用方程根的两个相邻近似值 \(x_k, x_{k-1}\) 及其对应的函数值 \(f(x_k), f(x_{k-1})\)，构造一次插值多项式（直线），用该直线与x轴的交点，作为原方程根的新近似值 \(x_{k+1}\)。

公式严格推导

已知两个点 \((x_{k-1}, f(x_{k-1}))\)、\((x_k, f(x_k))\)，构造一次牛顿插值多项式（直线的点斜式）：

\[p_1(x) = f(x_k) + \frac{f(x_k) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}} \cdot (x - x_k) \]

该式就是过两点的直线方程，我们令 \(p_1(x)=0\)，求解得到的根即为 \(x_{k+1}\)：

1. 移项得：\(-f(x_k) = \frac{f(x_k) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}} \cdot (x_{k+1} - x_k)\)
2. 两边同乘 \((x_k - x_{k-1})\)：\(-f(x_k)(x_k - x_{k-1}) = \left[f(x_k) - f(x_{k-1})\right] \cdot (x_{k+1} - x_k)\)
3. 整理求解 \(x_{k+1}\)：

\[\boldsymbol{x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f(x_k) - f(x_{k-1})} \cdot (x_k - x_{k-1})} \tag{7.25} \]

与牛顿法的关联

牛顿法的迭代公式为：

\[x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \]

弦截法本质是用一阶差商 \(\frac{f(x_k) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}}\) 代替了牛顿法中的导数 \(f'(x_k)\)，是牛顿法的导数离散化形式，因此也叫割线法。

1.2 几何意义

方程 \(f(x)=0\) 的根 \(x^*\) 是曲线 \(y=f(x)\) 与x轴的交点。
弦截法中，\(x_{k+1}\) 是过曲线上两点 \(P_k(x_k, f(x_k))\)、\(P_{k-1}(x_{k-1}, f(x_{k-1}))\) 的弦（割线）与x轴交点的横坐标，因此得名弦截法。

方法	几何本质	所需信息
牛顿法	曲线在单点的切线与x轴的交点	1个点的函数值+导数值
弦截法	曲线过两点的割线与x轴的交点	2个点的函数值，无需导数

1.3 收敛性分析

核心收敛定理

定理7.6 假设 \(f(x)\) 在根 \(x^*\) 的邻域 \(\Delta: |x-x^*| \leq \delta\) 内具有二阶连续导数，且对任意 \(x \in \Delta\) 有 \(f'(x) \neq 0\)，初值 \(x_0, x_1 \in \Delta\)，那么当邻域 \(\Delta\) 充分小时，弦截法将按阶

\[\boldsymbol{p = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618} \]

收敛到根 \(x^*\)。

收敛特性说明

1. 弦截法是超线性收敛，收敛阶1.618（黄金分割比），快于不动点迭代的线性收敛，慢于牛顿法的二阶收敛；
2. 收敛阶的来源：迭代误差满足渐近关系 \(e_{k+1} \approx C \cdot e_k \cdot e_{k-1}\)，其收敛阶是方程 \(\lambda^2 = \lambda + 1\) 的正根，即 \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)；
3. 弦截法是两步迭代法，计算 \(x_{k+1}\) 需要用到前两步的结果 \(x_k, x_{k-1}\)，因此需要给定两个初始值 \(x_0, x_1\)。

1.4 例题计算（例7.9）

用弦截法求解方程 \(f(x)=xe^x -1=0\)，取初始值 \(x_0=0.5, x_1=0.6\)。

分步计算过程

1. 计算初始点函数值：
   \(f(x_0)=f(0.5)=0.5e^{0.5}-1 \approx -0.175639\)
   \(f(x_1)=f(0.6)=0.6e^{0.6}-1 \approx 0.093271\)

2. 计算 \(x_2\)：

   \[x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)(x_1-x_0)}{f(x_1)-f(x_0)} = 0.6 - \frac{0.093271 \times 0.1}{0.093271 - (-0.175639)} \approx 0.56532 \]

3. 计算 \(x_3\)：
   先算 \(f(x_2)=f(0.56532) \approx -0.005031\)

   \[x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)} = 0.56532 - \frac{(-0.005031) \times (-0.03468)}{-0.005031 - 0.093271} \approx 0.56709 \]

4. 计算 \(x_4\)：
   先算 \(f(x_3) \approx -0.00007\)
   迭代后得到 \(x_4 \approx 0.56714\)，与真实根一致，迭代4步收敛。

计算结果汇总

迭代步数 \(k\)	0	1	2	3	4
\(x_k\)	0.5	0.6	0.56532	0.56709	0.56714

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二、抛物线法（密勒(Müller)法）

2.1 核心思想与迭代公式推导

抛物线法是弦截法的高阶推广，核心思想是以曲代曲：利用方程根的三个相邻近似值 \(x_k, x_{k-1}, x_{k-2}\) 及其函数值，构造二次插值多项式（抛物线），用抛物线与x轴的一个交点，作为原方程根的新近似值 \(x_{k+1}\)。

公式严格推导

已知三个点 \((x_k, f(x_k))\)、\((x_{k-1}, f(x_{k-1}))\)、\((x_{k-2}, f(x_{k-2}))\)，构造二次牛顿插值多项式：

\[\begin{aligned} p_2(x) &= f(x_k) + f[x_k, x_{k-1}](x - x_k) + f[x_k, x_{k-1}, x_{k-2}](x - x_k)(x - x_{k-1}) \\ &= f(x_k) + \left[f[x_k, x_{k-1}] + f[x_k, x_{k-1}, x_{k-2}](x - x_{k-1})\right](x - x_k) \end{aligned} \]

其中：

• 一阶差商：\(f[x_i, x_j] = \frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j}\)
• 二阶差商：\(f[x_k, x_{k-1}, x_{k-2}] = \frac{f[x_k, x_{k-1}] - f[x_{k-1}, x_{k-2}]}{x_k - x_{k-2}}\)

为简化求根，令：

\[\omega = f[x_k, x_{k-1}] + f[x_k, x_{k-1}, x_{k-2}](x_k - x_{k-1}) \]

令 \(p_2(x)=0\)，得到关于 \((x-x_k)\) 的一元二次方程，用求根公式求解后，整理得到迭代公式：

\[\boldsymbol{x_{k+1} = x_k - \frac{2f(x_k)}{\omega \pm \sqrt{\omega^2 - 4f(x_k)f[x_k, x_{k-1}, x_{k-2}]}}} \tag{7.26} \]

根的选取规则

二次方程有两个根，为保证迭代收敛，我们需要选取更接近 \(x_k\) 的根，具体规则为：
根号前的符号与 \(\omega\) 的符号保持一致，使分母的模最大，从而让迭代步长的绝对值最小，保证 \(x_{k+1}\) 最接近当前近似值 \(x_k\)，避免迭代发散。

2.2 几何意义与核心特性

1. 几何意义：用通过曲线上三个点的抛物线 \(y=p_2(x)\) 与x轴的交点，逼近原曲线 \(y=f(x)\) 与x轴的交点（真实根），相比弦截法的直线近似，抛物线对非线性曲线的拟合精度更高。
2. 核心优势：
   • 无需计算导数，仅需函数值；
   • 收敛阶更高，超线性收敛，收敛速度更接近牛顿法；
   • 即使三个初始点均为实数，也可以求解复数根，是工程中求解多项式复根的核心方法。

2.3 收敛性分析

在根 \(x^*\) 的邻域内，若 \(f(x)\) 具有三阶连续导数，且 \(f'(x^*) \neq 0\)，则抛物线法的迭代误差满足渐近关系：

\[\frac{|e_{k+1}|}{|e_k|^{1.840}} \to \left| \frac{f'''(x^*)}{6f'(x^*)} \right|^{0.42} \]

其收敛阶为 \(\boldsymbol{p \approx 1.840}\)，是方程 \(\lambda^3 = \lambda^2 + \lambda + 1\) 的正根，快于弦截法的1.618阶，更接近牛顿法的二阶收敛。

2.4 例题计算（例7.10）

用抛物线法求解方程 \(f(x)=xe^x -1=0\)，取初始值 \(x_0=0.5, x_1=0.6, x_2=0.56532\)。

分步计算过程

1. 计算函数值：
   \(f(x_0) \approx -0.175639\)，\(f(x_1) \approx 0.093271\)，\(f(x_2) \approx -0.005031\)

2. 计算差商：
   一阶差商：\(f[x_1, x_0] = \frac{0.093271 - (-0.175639)}{0.6-0.5} = 2.68911\)
   一阶差商：\(f[x_2, x_1] = \frac{-0.005031 - 0.093271}{0.56532-0.6} = 2.83454\)
   二阶差商：\(f[x_2, x_1, x_0] = \frac{2.83454 - 2.68911}{0.56532-0.5} = 2.22651\)

3. 计算 \(\omega\)：

   \[\omega = f[x_2, x_1] + f[x_2, x_1, x_0](x_2 - x_1) = 2.83454 + 2.22651 \times (-0.03468) \approx 2.75733 \]

4. 计算 \(x_3\)：
   \(\omega\) 为正，根号前取+号，计算分母：

   \[\text{分母} = 2.75733 + \sqrt{2.75733^2 - 4 \times (-0.005031) \times 2.22651} \approx 5.52277 \]

   代入迭代公式：

   \[x_3 = 0.56532 - \frac{2 \times (-0.005031)}{5.52277} \approx 0.56714 \]

   仅迭代1步，就得到了与弦截法4步、牛顿法3步一致的收敛结果，收敛速度显著更快。

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三、非线性方程求根方法核心特性对比表

方法名称	迭代公式核心形式	收敛阶	所需初始值	是否需要导数	核心优点	核心缺点	适用场景
标准牛顿法	\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)	二阶（2.0）	1个	是	收敛速度最快，迭代步数少，公式简单	需计算导数，仅局部收敛，初值敏感	导数易计算，初值能取到根附近的单根求解
弦截法（割线法）	\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}\)	超线性（≈1.618）	2个	否	无需计算导数，实现简单，收敛速度快于线性迭代	收敛速度慢于牛顿法，需要两个初始值	导数难以计算，对收敛速度有一定要求的工程场景
抛物线法（密勒法）	\(x_{k+1}=x_k-\frac{2f(x_k)}{\omega \pm \sqrt{\omega^2-4f(x_k)f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}]}}\)	超线性（≈1.840）	3个	否	无需计算导数，收敛速度接近牛顿法，可求解复根	公式复杂，需要三个初始值，计算量略大	导数难以计算，需要高精度求解，尤其是多项式的实根与复根求解

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